《物理习题分析与解答》课程PPT教学课件（讲稿）第十三章 电磁感应（部分习题分析与解答1）

章习题愿分衍与解答

133如图所示,用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆使 这根半圆形导线在磁感应强度为B的匀强磁场中以频率f 旋转,整个电路的电阻为R,求感应电流的表达式和最大值 分析:电路中的￥圆在做切割感 X CX XB 量在发生变化,半圆中产生 感应电动势 AX×BⅩ 鏘霉:连接半圆的两端构成闭 合回路ABCA 设某时刻t,半圆ABCA平面的法向与磁场的夹角为 0,则穿过ABCA的磁通量为 p(t)=BS= BS cos0=2r B cos 6 据电磁感 应定右E=bm2BSm6:①=m2 Basin e

13.3 如图所示,用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆.使 这根半圆形导线在磁感应强度为B的匀强磁场中以频率f 旋转,整个电路的电阻为R,求感应电流的表达式和最大值. r  B  G 电路中的半圆在做切割磁感 线的运动,穿过回路的磁通 量在发生变化,半圆中产生 感应电动势. 连接半圆的两端,构成闭 合回路ABCA. A B C 设某时刻t,半圆ABCA平面的法向与磁场的夹角为 θ,则穿过ABCA的磁通量为 ( ) cos  cos 2 2 1 t = BS = BS = r B   据电磁感 应定律有        sin sin 2 2 2 1 2 1 r B dt d r B dt d E = − =  =

若设初始时刻,半圆ABCA平面的法向与磁场的夹角为0, 即回路的环绕方向为顺时针(A→B→C→A则 6=at=2/fi 而对闭合回路ABCA来说辅助线AB不产生电动势于是 得到半圆中产生的电动势即为 E=r Bf sin( 2nyft) 易知电路中的 E丌2r2 Bf sin(2mf 感应电流为 R R 可见电路的电流随时间做正弦变化.在图中位置时,电流 沿顺时针感应电流的最大值为 Im=z2r Bf/R

若设初始时刻,半圆ABCA平面的法向与磁场的夹角为0, 即回路的环绕方向为顺时针(A→B →C →A).则  =t = 2ft 而对闭合回路ABCA来说,辅助线AB不产生电动势.于是 得到半圆中产生的电动势即为 sin( 2 ) 2 2 E =  r Bf ft 易知电路中的 感应电流为 R r Bf ft R E I sin( 2 ) 2 2   = = 可见电路的电流随时间做正弦变化.在图中位置时,电流 沿顺时针.感应电流的最大值为 I m r Bf R 2 2 = 

134有两根相距为d的无限长平行直导线它们通以大 小相等流向相反的电流,且电流均以dl/dt的变化率增长 若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内 如图所示求线圈中的感应电动势 分析:长直导线中的电流发生变 化,其周围的磁场也发生改 变,那么穿过矩形线圈的磁 通量就随时间改变,线圈中 就会产生感应电动势 簖卷:建立如图坐标系,并在x处 X:x+dx 取宽为dx的矩形面元 矩形面元处的磁感应强度为 B= 27(x+a)2mx 向里为正向

13.4 有两根相距为d的无限长平行直导线.它们通以大 小相等流向相反的电流,且电流均以dI/dt的变化率增长. 若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内, 如图所示.求线圈中的感应电动势. O X I I x x＋dx 长直导线中的电流发生变 化,其周围的磁场也发生改 变,那么穿过矩形线圈的磁 通量就随时间改变,线圈中 就会产生感应电动势. 建立如图坐标系,并在x处 取宽为dx的矩形面元. 矩形面元处的磁感应强度为 x I x d I B     2 ( ) 2 0 0 − + = 向里为正向

若取矩形面元的法向也向里则穿过面元的磁通量为 do= b ds= 2(x+d)2 穿过整个矩形回路的磁通量为 小=(d6}L2z(x+d)2mx 2x4 根据电磁感应定律得到 E _( d,4)d In dt 23)dt 电动势为正,说明与矩形平面法向成右手螺旋关系,即沿顺 时针当然也可根据楞次定律来判断

若取矩形面元的法向也向里.则穿过面元的磁通量为 d dx x I x d I d B ds         − + =  =      2 ( ) 2 0 0  穿过整个矩形回路的磁通量为 4 3 ln 2 ( ) 2 2 0 2 0 0         Id d dx x I x d I d d d   =       − + = =   根据电磁感应定律得到 dt d dI dt d E       = − = 3 4 ln 2 0    电动势为正,说明与矩形平面法向成右手螺旋关系,即沿顺 时针.当然也可根据楞次定律来判断

137如图所示把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感 强度为B的均匀磁场中,当导线以速率V水平向右平动时, 求导线中感应电动势的大小,哪一端电势高? 鏘霉:建立如图坐标系并在导线上 取线元a,其产生的电动势为 Y B d=(×B)d 由于线元运动方向与磁场垂直,而 二者叉乘方向沿Y轴,所以得到 R de=vDl cos 8=v Bcos oRde ×X 整个半圆导体中产生的电动势为 E OP vCOs ORd8=2 RvB EoP为正,说明电动势方向从O指向P即P端电势较高

13.7 如图所示,把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感 强度为B的均匀磁场中,当导线以速率v水平向右平动时, 求导线中感应电动势的大小,哪一端电势高? R O O X Y v   dθ P v B     dl  建立如图坐标系,并在导线上 取线元 dl ,其产生的电动势为  d (v B) dl     =  • 由于线元运动方向与磁场垂直,而 二者叉乘方向沿Y轴,所以得到 d = vBdl cos = vBcosRd 整个半圆导体中产生的电动势为  −  = = = 2 2 cos 2   d v B Rd RvB P O OP EOP为正,说明电动势方向从O指向P,即P端电势较高

分新:此题也可用电磁感应定律来解决使用电磁感应 定律的前提是,要求得穿过一个面的磁通量,这 就必然要求导体为闭合回路但本题中运动的半 圆形导体并不是闭合的,这时可以做辅助线构 成闭合回路 鏘謇。连接OP构成闭合回路OAPO 由于整个回路在磁场中一起运动, 显然穿过回路所在平面的磁通量 保持不变根据电磁感应定律有 OAPO 0 即整个回路中产生的总电动势为0所以半圆导体产生的 电动势应与直径OP中的相等即有 EDp=2RBv容易判断方向从O指向P

此题也可用电磁感应定律来解决.使用电磁感应 定律的前提是,要求得穿过一个面的磁通量,这 就必然要求导体为闭合回路.但本题中运动的半 圆形导体并不是闭合的,这时可以做辅助线,构 成闭合回路. v  O 连接OP,构成闭合回路OAPO P 由于整个回路在磁场中一起运动, A 显然穿过回路所在平面的磁通量 保持不变.根据电磁感应定律有  = − = 0 dt d OAPO  即整个回路中产生的总电动势为0.所以半圆导体产生的 电动势应与直径OP中的相等.即有 RBv OP = 2 容易判断方向从O指向P

139如图所示,长为L的导体棒OP,处于均匀磁场中,并绕 OO轴以角速度ω旋转,棒与转轴间夹角恒为θ,磁感强 度B与转轴平行求OP棒在图示位置处的电动势 鏘霉。在导体棒OP上取线元 B 其中产生的 Q 电动势为 da B●a SIn 而由图示可知线元运动方向与磁场垂直, 二者叉乘方向与转轴垂直所以 v×B de=vEal cos a= oBsin0ldl O 导体棒OP上产生的电动势为 OP no de=l oB sin eld =oB(Lsin 0) EoP为正值,说明电动势方向由O指向P,即P端电势较高

13.9 如图所示,长为L的导体棒OP,处于均匀磁场中,并绕 OO′轴以角速度ω旋转,棒与转轴间夹角恒为θ ,磁感强 度B与转轴平行.求OP棒在图示位置处的电动势. B  O Q P   v B     在导体棒OP上取线元 其中产生的 电动势为 d (v B) dl     =  • 而由图示可知,线元运动方向与磁场垂直, 二者叉乘方向与转轴垂直.所以 d vBdl  B ldl 2 = cos = sin 导体棒OP上产生的电动势为 ( ) 2 0 2 sin 2 1 d Bsin ldl B L  P L O O P    = = = EOP为正值,说明电动势方向由O指向P,即P端电势较高. l lsin dl 

鏘卷此问题也可用电磁感应定律来 解决.做辅助线构成○OPQO闭合 回路. B O P 由于闭合回路OPQO所在平面始终与 磁场平行(平面法向与磁场垂直),所以 由电磁感应定律知,闭合回路OPQO中的 O 感应电动势为0即 E OPTO 2=0 ort 7p 即有 Eon+ete PO OO 0 所以ED=-E=Bo( Lsin e)2

B  O Q P   此问题也可用电磁感应定律来 解决.做辅助线构成OPQO闭合 回路. 由于闭合回路OPQO所在平面始终与 磁场平行(平面法向与磁场垂直),所以   0 由电磁感应定律知,闭合回路OPQO中的 感应电动势为0.即  = − = 0 dt d OPQO  即有 EOP + EPQ + EQO = 0 2 2 1 E E B(Lsin ) 所以 OP = − PQ = O Q P

13.10如图所示,金属杆AB以匀速Ⅴ20m/s平行于一长 直导线移动此导线通有电流|=40A问:此杆中的感应电 动势为多大?哪一端的电势高? 鏘霉。建立如图坐标系并在导体棒 AB上取线元a=ad 其中所产生的电动势为如=6× v×B_1 根据图示,d= vBdxcos T=-B A B X 可以得到 ax 又因为 B=∠ 2 所以 AB vBox hn1l=-3.84×10- 0.1 2 2丌 EA为负值,说明电动势方向由B指向A,即A端电势较高

13.10 如图所示,金属杆AB以匀速v=2.0m/s平行于一长 直导线移动,此导线通有电流I=40A.问:此杆中的感应电 动势为多大?哪一端的电势高? I v  A B dx v B    O X 建立如图坐标系,并在导体棒 AB上取线元 dl dxi   = 其中所产生的电动势为 d (v B) dl     =   根据图示, 可以得到 d = vBdxcos = −vBdx 又因为 x I B   2 0 = 所以 V Iv dx x I E vBdx v B A A B 0 5 1.1 0.1 0 ln 11 3.84 10 2 2 − = − = − = − = −        EAB为负值,说明电动势方向由B指向A,即A端电势较高