arctan+In 2+ cosx +=+arctan(tan)+In 2+cosx +c sIn x cosx sin x+ cosx sin x cos x dx=一 Ir1+2sin x cos x-1 sin x+ cosx sin x+ cos x lr(sin x++ cos)-dx= (sin x+ cos x)dx-i sin x+ cos x 2sin x +cosx d(x os x) sin(x+ =-(sin x-coS x In tan(+I 第三章一元函数积分学(定积分) 若在a,b上连续证明:对于任意选定的连续函数0N均有/(x)p(xk=0 则fx)=0. 证明:假设)≠0,a<5<b,不妨假设(2)>0.因为fx)在a,b上连续,所以存在δ>0,使 得在-6.5+6上y>0令m=mm。f(x),按以下方法定义,上p在一8 5+8上0(x)=√62-(x-5)2,其它地方④()=0.所以 ∫/x=/x)tm2>0 和[f(xyd(x)dx=0矛盾.所以(x)=0 二设为任意实数,证明:= dx I+(tanx) 1+cot x) 证明:先证 f(sin x) f(cos x) f(sin x)+f(cos x) f(sin x)+f(cos x) 所以 f∫(snx) dx f(cost) d(-1) f(sin x)+f(cos x) f(cost)+f(sint) dt f(cosx) f(cost)+f(sin n) f(cos x)+f(sin x) 于是 f∫(snx) f(sin x)+f(cos x +( COSX du= x  c  x  x  c  t + + + = ) + ln | 2 + cos | + 2  (tan  3  1  arctan  3  4  ln | 2  cos |  3  arctan  3  4  2. Ú + dx  x  x  x x  sin cos  sin cos  解. Ú Ú + + - = + dx  x  x  x  x  dx  x  x  x x  sin cos  1 2 sin cos  1 2 1 sin cos  sin cos  = Ú Ú Ú + = + - + + - dx  x  x  dx  x  x  dx  x  x  x sin  cos 1  2  1  (sin  cos ) 2  1  sin  cos (sin  cos) 1  2  1  2 = Ú + + - - ) 4  sin( ) 4  ( 4  2  (sin  cos ) 2  1 p p x  d  x  x x  = c  x  x - x  - + ) | + 2  8  ln | tan( 4  2  (sin  cos ) 2  1 p 第三章 一元函数积分学(定积分) 一．若 f(x)在[a，b]上连续,  证明:  对于任意选定的连续函数F(x),  均有 ( )F( ) = 0 Ú b a f x  x  dx  ,  则 f(x) º 0.  证明:  假设 f(x)¹ 0, a < x < b,  不妨假设 f(x) > 0.  因为 f(x)在[a，b]上连续,  所以存在d > 0,  使 得在[x－d, x + d]上 f(x) > 0.  令 m =  min f (x ) x -d £ x£ x + d .  按以下方法定义[a，b]上F(x):  在[x－d, x + d]上F(x) =  2 2 d - (x -x ) ,  其它地方F(x) = 0.  所以 0  2  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 F = F ³ > Ú Ú + - x d pd x d f  x  x  dx  f  x  x  dx  m  b a .  和 ( )F( ) = 0 Ú b a f x  x  dx  矛盾.  所以 f(x) º 0.  二.  设l为任意实数,  证明: Ú + = 2 0 1  (tan  ) 1 p l dx  x  I =  1  (cot  ) 4  1  2 0 p p l = + Ú dx  x .  证明:  先证:  (sin  ) (cos ) 4  (sin  ) 2 0 p p = + Ú dx  f  x  f  x  f x  = Ú + 2 0 (sin  ) (cos ) (cos ) p dx  f  x  f  x  f  x  令 t = - x 2 p ,  所以 = + Ú 2 0 (sin  ) (cos ) (sin ) p dx  f  x  f  x  f x  Ú - + 0 2 ( ) (cos ) (sin  ) (cos ) p d  t  f  t  f  t  f t  = = + Ú 2 0 (cos ) (sin  ) (cos ) p dt  f  t  f  t  f t  Ú + 2 0 (cos ) (sin  ) (cos ) p dx  f  x  f  x  f  x  于是 = + Ú 2 0 (sin  ) (cos ) (sin  ) 2 p dx  f  x  f  x  f x  + + Ú 2 0 (sin  ) (cos ) (sin ) p dx  f  x  f  x  f x  Ú + 2 0 (cos ) (sin  ) (cos ) p dx  f  x  f  x  f x