定理:设曲面∑的方程z=z(x,y),∑在xOy面的投影D,若f(x,y,2)在D上具有 阶连续偏导数,在∑上连续,则 J]/ (x,y, 2)4s[. /(x,y, i(x 1+2, +z;dxdy 说明:(1)设2=2(x,y)为单值函数 (2)若∑:x=x(,2)或y=y(x,2)可得到相应的计算公式 (3)若∑为平面里与坐标面平行或重合时 xy2)』10 1=(x+y)ds 例1.计算 ,∑为立体√x2+y2≤z≤1的边界 解:设∑=∑1+∑2,∑1为锥面z=√x2+y2,0≤z≤1 E2为z=1上x2+y2≤1部分, ∑1,22在x°y面投影为x2+y2≤1 cx2+y)2dxdy+(x2+y2Xxdy 2+刂(x2+y2)=(+2)a9b=2 例.计算(1+x+y)2,∑由x+y+z≤1,x≥0,y≥0,z≥0的边界 解:∑=∑1+22+3+24 ∑1:z=0,∑2:x=0,Σ3:y=0,Σ4:x+y+z=1 由对称性2(1+x+y)2=123(1+x+y)2=1m(1x+y) 1-血n2 (1+y r'axr'-x dy=In 2-1 (1+x+y)2=,(1+x+y)2 (1+x+y) Jz 1+x+3? =√3(1n2- 1-,(1+x+y 原式L In 2 (1+x+y)2=2(1-hn2)+( /3m -1)hn 例3.计算 ∑为x+y=z被平面z=1所割得部分 解:设第一象限内的部分为∑1:x≥0,y≥0,x2+y≤z定理：设曲面 的方程 ， 在 面的投影 ，若 在 上具有 一阶连续偏导数，在 上连续，则 = 说明：（1）设 为单值函数 （2）若 ： 或 可得到相应的计算公式. （3）若 为平面里与坐标面平行或重合时 = 例1． 计算 ， 为立体 的边界 解：设 ， 为锥面 ， 为 上 部分， 在 面投影为 = ， ∴ + = = 例2． 计算 ， 由 ， ， ， 的边界 解： ： ， ： ， ： ， ： 由对称性 = = = . = = = = ∴ 原 式 = = ） + （ ） + （ ）= 例3． 计算 ， 为 被平面 所割得部分 解：设第一象限内的部分为 ： ，