第四节对面积的曲面积分 教学目的:理解和掌握对面积的曲面积分的概念性质及计算 教学重点:对面积的曲面积分的计算 教学难点:对面积的曲面积分的计算 教学内容: 对面积的曲面积分的概念与性质 空间曲面质量 在对平面曲线弧长的曲线积分中,将曲线换为曲面,线密度换为面密度,二元函数换为 三元函数即可得对面积的曲面积分设有一曲面其上不均匀分布着面密度为S上的连续函数 μ=μ(x,y,2),求曲面S的质量经分割,代替,求和,取极限四步 M=limf(5,72,)△S 2.定义 设曲面∑是光滑的,f(x,y,2)在∑上有界,把∑分成n小块,任取(5,m,5:)∈△S 作乘积f(5,,5)△1(=12,……,n),再作和 ∑f(5,7,5)Ax:(=1,2,……,n) 当各 小块曲面直径的最大值→0时,这和的极限存在,则称此极限为∫(x,y,z)在∑上对面积 f(x,,z)d 的曲面积分或第一类曲面,记 盯f(xyz)din∑(5,m,)△ f(x, y, z)ds 说明:(1)z 为封闭曲面上的第一类曲面积分 f(x,,z)ds (2)当f(x,y,z)连续时, 存在 f(r,y, z)ds (3)当f(x,y2)为光滑曲面的密度函数时,质量M=2 (4)Jf(x,y,2)=1时, 为曲面面积 (5)性质同第一类曲线积分E=E1+22 f(x,y,z)ds (6)若∑为有向曲面,则 与∑的方向无关 二、对面积的曲面积分的计算方法
第四节 对面积的曲面积分 教学目的：理解和掌握对面积的曲面积分的概念性质及计算 教学重点：对面积的曲面积分的计算 教学难点：对面积的曲面积分的计算 教学内容： 一、对面积的曲面积分的概念与性质 1．空间曲面质量 在对平面曲线弧长的曲线积分中，将曲线换为曲面，线密度换为面密度，二元函数换为 三元函数即可得对面积的曲面积分.设有一曲面 .其上不均匀分布着面密度为 上的连续函数 ，求曲面 的质量.经分割，代替，求和，取极限四步， 2．定义 设曲面 是光滑的， 在 上有界，把 分成 小块，任取 ， 作乘积 ，再作和 ，当各 小块曲面直径的最大值 时，这和的极限存在，则称此极限为 在 上对面积 的曲面积分或第一类曲面，记 ，即 = 说明：（1） 为封闭曲面上的第一类曲面积分 （2）当 连续时， 存在 （3）当 为光滑曲面的密度函数时，质量 （4） =1时， 为曲面面积 （5）性质同第一类曲线积分 （6）若 为有向曲面，则 与 的方向无关. 二、对面积的曲面积分的计算方法
定理:设曲面∑的方程z=z(x,y),∑在xOy面的投影D,若f(x,y,2)在D上具有 阶连续偏导数,在∑上连续,则 J]/ (x,y, 2)4s[. /(x,y, i(x 1+2, +z;dxdy 说明:(1)设2=2(x,y)为单值函数 (2)若∑:x=x(,2)或y=y(x,2)可得到相应的计算公式 (3)若∑为平面里与坐标面平行或重合时 xy2)』10 1=(x+y)ds 例1.计算 ,∑为立体√x2+y2≤z≤1的边界 解:设∑=∑1+∑2,∑1为锥面z=√x2+y2,0≤z≤1 E2为z=1上x2+y2≤1部分, ∑1,22在x°y面投影为x2+y2≤1 cx2+y)2dxdy+(x2+y2Xxdy 2+刂(x2+y2)=(+2)a9b=2 例.计算(1+x+y)2,∑由x+y+z≤1,x≥0,y≥0,z≥0的边界 解:∑=∑1+22+3+24 ∑1:z=0,∑2:x=0,Σ3:y=0,Σ4:x+y+z=1 由对称性2(1+x+y)2=123(1+x+y)2=1m(1x+y) 1-血n2 (1+y r'axr'-x dy=In 2-1 (1+x+y)2=,(1+x+y)2 (1+x+y) Jz 1+x+3? =√3(1n2- 1-,(1+x+y 原式L In 2 (1+x+y)2=2(1-hn2)+( /3m -1)hn 例3.计算 ∑为x+y=z被平面z=1所割得部分 解:设第一象限内的部分为∑1:x≥0,y≥0,x2+y≤z
定理：设曲面 的方程 ， 在 面的投影 ，若 在 上具有 一阶连续偏导数，在 上连续，则 = 说明：（1）设 为单值函数 （2）若 ： 或 可得到相应的计算公式. （3）若 为平面里与坐标面平行或重合时 = 例1． 计算 ， 为立体 的边界 解：设 ， 为锥面 ， 为 上 部分， 在 面投影为 = ， ∴ + = = 例2． 计算 ， 由 ， ， ， 的边界 解： ： ， ： ， ： ， ： 由对称性 = = = . = = = = ∴ 原 式 = = ） + （ ） + （ ）= 例3． 计算 ， 为 被平面 所割得部分 解：设第一象限内的部分为 ： ，
+244 +4x2+4y2d 42de rsin acos 8.r.1+4rrdr (x2-1)2ad √5 √1+4x2=al.a 420 8.-24g8 secede gl 1 tg6sec 6d8 48sec 2 d sec g 324b(se0-n2ec2se25/5-1 420 练习:P158,4,5,6, 小结:(1)对面积的曲线积分的概念和性质 (2)对面积的曲线积分的计算
= = = = = 或 = = = = 练习： ，4，5，6， 小结：（1）对面积的曲线积分的概念和性质 （2）对面积的曲线积分的计算