第四节重积分的应用 教学目的:掌握重积分的几何和物理方面的应用 教学重点:利用重积分的解决实际问题 教学难点:重积分的思想如何用于实际问题 教学内容: 、曲面的面积 设曲面S由方程z=f(x,给出,Dx为曲面S在x面上的投影区域函数∫(xy)在D f.【x,y)和f(x,y),现计算曲面的面积A do 在闭区域上任取一直径很小的闭区域da(它的面积也记作da),在da内取一点风x 点M(x,,f(x,y),曲面S在点M处的切平面设为T。以小区域da的边界为准线作母线平 柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片平面,由于da的直径很小,那一小片平 小片曲面面积 曲面S在点M处的法线向量(指向朝上的那个)为 万=(-fx(x,y),-(xy),1) 它与Z轴正向所成夹角y的方向余弦为 COS= +(x,y)+(x,) 而 COs 所以dA-小+f(x)+(x,)口 这就是曲面S的面积元素,故 A=+(x”)+/7( 十
第四节 重积分的应用 教学目的：掌握重积分的几何和物理方面的应用 教学重点：利用重积分的解决实际问题 教学难点：重积分的思想如何用于实际问题 教学内容： 一、曲面的面积 设曲面 由方程 给出, 为曲面 在 面上的投影区域,函数 在 和 ,现计算曲面的面积 。 图9-3-1 在闭区域 上任取一直径很小的闭区域 (它的面积也记作 ),在 内取一点 一点 ,曲面 在点 处的切平面设为 。 以小区域 的边界为准线作母线平 柱面在曲面 上截下一小片曲面,在切平面 上截下一小片平面,由于 的直径很小,那一小片平 一小片曲面面积。 曲面 在点 处的法线向量( 指向朝上的那个 )为 它与 轴正向所成夹角 的方向余弦为 而 所以 这就是曲面 的面积元素, 故 即
例1求球面x+y+2=a含在柱面x+y=a(a>0)内部的面积 解所求曲面在Xo”面的投影区域 Dy={(y)x2+y2≤ax} 图9-3-2 曲面方程应取为z=√2-x2-y2,则 曲面在xy面上的投影区域2为 os 6 据曲面的对称性,有 ay-2/sr° a 9=2a (a 4a(a-asine)de 若曲面的方程为x=g(y,z)或=(x,x),可分别将曲面投影到yoz面或ax面,设所得到的 或Dx,类似地有 y 或
例1 求球面 含在柱面 ( ) 内部的面积。 解 所求曲面在 面的投影区域 图9-3-2 曲面方程应取为 , 则 , 曲面在 面上的投影区域 为 图9-3-3 据曲面的对称性,有 若曲面的方程为 或 ,可分别将曲面投影到 面或 面,设所得到的投 或 ,类似地有 或
二、平面薄片的质 1.平面上的质点系的质心 设在x平面上有n个质点,它们分别位于点(x1y1),(x2,y2)…(xn,y)处,质量分别为 学知道,该质点系的质点的坐标为 ∑mx n3 2.平面薄片的质心 设有一平面薄片,占有x面上的闭区域D,在点(x,y处的面密度为风(x,y),假定风x,y 定该薄片的质心坐标(xy)。 在闭区域D上任取一直径很小的闭区域da,【x,y是这小闭区域内的一点,由于da的直径 上连续,所以薄片中相应于da的部分的质量近似等于以(x,y)da,于是静矩元素dx;dy为 x, yaa 又平面薄片的总质量为 从而,薄片的质心坐标为 ∫x减(xy)a ∫ya(xy) ∫o(x,y)d ∫xy)a 特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则 x=一∫ Jxd,ys1myda(A=da为闭区域的面积 这时薄片的质心称为该平面薄片所占平面图形的形心 例2设薄片所占的闭区域D为介于两个圆r=acos日,r=bcos (0<a<b)之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的质心(形心) 图9-3-4 解由D的对称性可知:5=0
二、平面薄片的质心 1. 平面上的质点系的质心 设在 平面上有 个质点,它们分别位于点 处,质量分别为 学知道,该质点系的质点的坐标为 , 2. 平面薄片的质心 设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 定该薄片的质心坐标 。 在闭区域 上任取一直径很小的闭区域 , 是这小闭区域内的一点,由于 的直径很 上连续,所以薄片中相应于 的部分的质量近似等于 ,于是静矩元素 为 又平面薄片的总质量为 从而,薄片的质心坐标为 特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则 这时薄片的质心称为该平面薄片所占平面图形的形心。 例2 设薄片所占的闭区域 为介于两个圆 , ( )之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的质心(形心)。 图9-3-4 解 由 的对称性可知:
2 bcos e A=』da=jde∫h=(b2-a2) M,=』xa=Ja9Jr2 cos edr r3 cose de (b3-a)cos 8ke (b3- 2 a cos a0==(b3-a) (4-1)丌 2-3m8 (3-a) M. b+be 2(b+a) 、平面薄片的转动惯量 1.平面质点系对坐标轴的转动惯量 设平面上有n个质点,它们分别位于点(x1,y1(x2,y2)…,(xn,y)处,质量分别为m1,m 设质点系对于x轴以及对于y轴的转动惯量依次为 x=∑ ∑ =1 2.平面薄片对于坐标轴的转动惯量 设有一薄片,占有x0y面上的闭区域D,在点(x,y处的面密度为(x,y),假定风x,在D 薄片对于x轴、”轴的转动惯量Ix,y。 与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为 d =y Ar, y)do, d =x plr, oddo 以这些元素为被积表达式,在闭区域D上积分,便得 1,=Jy'adx, yedo I,=='dx,yda 例3求由抛物线y=x2及直线y=1所围成的均匀薄片(面密度为常数P)对于直线y=-1的转
所以 三、平面薄片的转动惯量 1. 平面质点系对坐标轴的转动惯量 设平面上有 个质点, 它们分别位于点 处, 质量分别为 设质点系对于 轴以及对于 轴的转动惯量依次为 2. 平面薄片对于坐标轴的转动惯量 设有一薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 , 假定 在 薄片对于 轴、 轴的转动惯量 , 。 与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为 以这些元素为被积表达式,在闭区域 上积分,便得 例3 求由抛物线 及直线 所围成的均匀薄片(面密度为常数 )对于直线 的转
y 解转动惯量元素为 d=(y+1)2 +1)2=y+13 3)+13ax=2∫8-(x2+1 1664368 335~-105 尸 四、平面薄片对质点的引力 设有一平面薄片,占有x0面上的闭区域D,在点【x,y处的面密度为烈x,y,假定x, 算该薄片对位于z轴上点M(04)处的单位质量质点的引力 在区域D上任取一个小的闭区域da,(x,y是dσ内的任一点,他的质量近似等于rx,y kp, y)d 的引力近似值为 引力的方向于向量(x,y0-1)一致,其中r=√x2+y2+x2,k 片对质点的引力元素dF在三个坐标轴上的分量4Fx;dFy,dz为 d ko( xdo df kp(x,)ydo dE.=p(,)0o-1 故 F二 p(x,y)xdo Fy=k p(,))y (x, y)d 小结 几何应用:曲面的面积 物理应用:重心、转动惯量、平面薄片对质点的引力
图9-3-5 解 转动惯量元素为 四、平面薄片对质点的引力 设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 算该薄片对位于 轴上点 处的单位质量质点的引力。 在闭区域 上任取一个小的闭区域 , 是 内的任一点,他的质量近似等于 的引力近似值为 ,引力的方向于向量 一致,其中 , 为 片对质点的引力元素 在三个坐标轴上的分量 为 , , 故 小结： 几何应用：曲面的面积 物理应用：重心、转动惯量、平面薄片对质点的引力
