第三节三重积分 、三重积分的概念 设∫(x,y,z)是空间闭区域g2上的有界函数,将g2任意地分划成n1 其中△v表示第个小区域,也表示它的体积 在每个小区域△v2上任取一点(5,7,5), 作乘积f∫(5;,仍,5)v 作和式∑∫(5,,5)Av 以元记这程个小区域直径的最大者, lim∑f(51,T1,)Av 若极限→0:=1 存在 则称此极限值为函数∫(x,y,2)在区域Ω上的三重积分,记作 盯∫(x,y,z 盯f(x,y,2)h=im∑f(51,,5v 即 其中cv叫体积元素 自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成ddz 重积分的计算 1、利用直角坐标计算三重积分 假设积分区域S的形状如下图所示 2在x面上的投影区域为1xy,过1y上任意一点,作平行于z轴的直线穿过 曲面相交不多于两点.亦即,的边界曲面可分为上、下两片部分曲面 Z=Z1r y),S2:z=z2(x,y) 其中z(x,y),z2(x,y)在Dy上连续,并且z1(x,y)≤z2(x,y)
第三节 三重积分 一、三重积分的概念 设 是 空 间 闭 区 域 上 的 有 界 函 数 , 将 任 意 地 分 划 成 个 其中 表示第 个小区域,也表示它的体积. 在每个小区域 上任取一点 , 作乘积 作和式 以 记这 个小区域直径的最大者, 若极限 存在, 则称此极限值为函数 在区域 上的三重积分,记作 , 即 其中 叫体积元素. 自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成 . 二、三重积分的计算 1、利用直角坐标计算三重积分 假设积分区域 的形状如下图所示 在 面上的投影区域为 , 过 上任意一点, 作平行于 轴的直线穿过 曲面相交不多于两点. 亦即, 的边界曲面可分为上、下两片部分曲面. , 其中 , 在 上连续, 并且
S,:z S1: z=21(,y) x. y y=y,(x) y=y2() ∫∫(x,y,z)h 如何计算三重积分g 呢? 不妨先考虑特殊情况f(x,y,2)=1,则 =ad=』z2(x,y)-z1(x,y)1 ddv dz 即 z1 般情况下,类似地有 盯=』ab∫f(x,y,z)dz Z1(x,y ∫(x,y,z)dz 显然积分21(x,y) 只是把∫(x,y,2)看作z的函数在区间[z1(x,y),z2 定积分,因此,其结果应是x,y的函数,记 22(xy) F(x,y)=∫∫(x,y,z)在z 盯∫(x,y,z)=』F(x,y)小 那么 如上图所示,区域Dy可表示为 η(x)sy≤y2(x) b y2(x) ∫F(x,y)d=」aJF(x,y)z 从而2 n1(x)
如何计算三重积分 呢? 不妨先考虑特殊情况 ,则 即 一般情况下,类似地有 显然积分 只是把 看作 的函数在区间 定积分, 因此,其结果应是 的函数, 记 那么 如上图所示, 区域 可表示为 从而
a≤xsb,y(x)sysy2(x),z(x,y)sz≤z2(x,y) (x)z2(x,y) 盯∫(x,y,z)=」a∫∫∫(x,y,z)d 则 yI(x) z1(x,y) 这就是三重积分的计算公式,它将三重积分化成先对积分变量z,次对y,最后对 如果平行于z轴且穿过g内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重 的方法,将2剖分成若干个部分,(如S21,S2),使在g2上的三重积分化为各部分区 的三重积分,当然各部分区域(S21,S2)应适合对区域的要求 盯∫(x,y,z) 例如,求 ,其中豆为1≤x-+y-+z≤4 z 将面将区域剖分成上下两个部分区域 C21={(x,y,z)|z≥0,1≤x-+y+z≤4} 2={(x,y,2)|≤0,1≤x2+y2+z≤4} 盯=∫+』「 则 盯 xyzdxdyd 例1计算c 其中g为球面X+y+z2=1及三坐标面所围成的仨 体 解:(1)、画出立体的简图 x +y+z =1 ty
则 这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量 , 次对 ,最后对 如果平行于 轴且穿过 内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积 的方法, 将 剖分成若干个部分,(如 ),使在 上的三重积分化为各部分区 的三重积分,当然各部分区域 ( ) 应适合对区域的要求. 例如,求 ,其中 为 . 将面将区域剖分成上下两个部分区域 则 例1计算 , 其中 为球面 及三坐标面所围成的位 体. 解:(1)、画出立体的简图 ( ) 找出立体 在某坐标面上的投影区域并画出简图
2在xo面上的投影区域为Dy:x2+y2s1,x≥0,y≥0 (3)、确定另一积分变量的变化范围 在已知积分变量x,y的变化范围为1y的情况下,再确定另一积分变量z的变化范目 点,作一过此点且平行于z轴的直线穿过区域g,则此直线与g边界曲面的两交 的变化范围 0z5④1-x2-y2 (4)、选择一种次序,化三重积分为三次积分 xyz xdydz xy(-x-y)dy 1 y--xy)dy 1 xQ-x2)-2x:Q-x2) -x2)2d 0g sin 1.tcos t- sin t cost cos tat SInL cos at sin t t sin t cos tdt 4 1212.214·2 44·246·4·286·4·2 48 2、利用柱面坐标计算三重积分 (1)、柱面坐标 设M(x,y,2)为空间的一点该点在x面上的投影为P,P点的极坐标为r, 数称作点M的柱面坐标
在 面上的投影区域为 (3)、确定另一积分变量的变化范围 在已知积分变量 的变化范围为 的情况下, 再确定另一积分变量 的变化范围 一点, 作一过此点且平行于 轴的直线穿过区域 , 则此直线与 边界曲面的两交点 的变化范围. (4)、选择一种次序,化三重积分为三次积分 2、利用柱面坐标计算三重积分 （1）、柱面坐标 设 为空间的一点,该点在 面上的投影为 , 点的极坐标为 数称作点 的柱面坐标
, P(,y, O 规定P,,z的取值范围是 0≤r<+a,0≤θ≤2x,-∞<z<+ 柱面坐标系的三组坐标面分别为 r=常数,即以z轴为轴的圆柱面 9=常数,即过z轴的半平面 z=常数,即与x面平行的平面 点M的直角坐标与柱面坐标之间有关系亍 盯∫f(x,y,2) 重积分c 在柱面坐标系中的 dz d 用三组坐标面r=常数,日=常数,z=常数,将Ω分割成许多小区域,除了含 规则小区域外,这种小闭区域都是柱体 老察由P,O,z各取得微小增量d,dO,d所成的柱休该柱体是底面积为H
规定 的取值范围是 ， ， 柱面坐标系的三组坐标面分别为 ,即以 轴为轴的圆柱面； ,即过 轴的半平面； ,即与 面平行的平面. 点 的 直 角 坐 标 与 柱 面 坐 标 之 间 有 关 系 式 （ 2 ） 、 三 重 积 分 在 柱 面 坐 标 系 中 的 用三组坐标面 , , ,将 分割成许多小区域,除了含 的 规则小区域外,这种小闭区域都是柱体. 考察由 各取得微小增量 所成的柱体,该柱体是底面积为
dv= rare 这便是柱面坐标系下的体积元素,并注意到(1)式有 盯∫(x,y,z)d=∫( rcos 6, rsin e,z)dhdb (2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式 (2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量,6,z的三次积分,其积 分限要由,6z在g中的变化情况来确定 3、用柱面坐标r,,z表示积分区域S2的方法 (1)、找出9在x面上的投影区域Dxy,并用极坐标变量r,O表示之: (2)、在D内任取一点(r,O,过此点作平行于z轴的直线穿过区域,此直线与S 点之竖坐标(将此竖坐标表示成r,O的函数)即为z的变化范围 例1求下述立体在柱面坐标下的表示形式 1:球面x2,2+2=1与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分 g2:由锥面z=√x2+y2与平面z=1所围成的立体 g21在xy面上的投影区域为D:x2+y2s1,x≥0,y≥0 0≤≤-,0≤r≤1 其极坐标下的表示形式为 2 z在S1的变化范围是 0≤z 即 0<z g1:0≤日≤-,0≤r≤1,0≤z≤ 2 n(2).v2⊥y2<1
这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有 (2) (2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式. (2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量 的三次积分,其积 分限要由 在 中的变化情况来确定. 3、用柱面坐标 表示积分区域 的方法 (1)、找出 在 面上的投影区域 , 并用极坐标变量 表示之； (2)、在 内任取一点 , 过此点作平行于 轴的直线穿过区域, 此直线与 点之竖坐标( 将此竖坐标表示成 的函数 )即为 的变化范围. 例1求下述立体在柱面坐标下的表示形式 球面 与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分. 由锥面 与平面 所围成的立体. 在 面上的投影区域为 , 其极坐标下的表示形式为 在 的变化范围是 , 即 在 面上的投影区域为
其极坐标下的表示形式为 0≤≤2丌,0≤r≤1 z在22的变化范围是 x2+y2≤z≤1 g2:0≤9≤2x,0≤r≤1,PSz1 r<Z 故 、利用球坐标计算三重积分 球面坐标 上 如图所示,空间任意一点M(x,y,2)也可用三个数唯一表示。 其中 为原点O到点M的距离; 为有向线段M与z轴正向所成夹角 0为从正z轴来看自x轴依逆时针方向转到有向线段OP的角度,而点P是点M 规定r啊日的取值范围为 0<r<+0≤φ≤丌 ≤6≤ 不难看出,点M的直角坐标与球面坐标间的关系为 2.球面坐标系的特点 =常数,是以原点为心的球面 p=常数,是以原点为顶,z轴为轴的圆锥面 日=常数,是过Z轴的半平面。 粗略地讲,变量γ刻划点M到原点的距离,即“远近”; 变量刻划点M在空间的上下位置,即“上下” 变量日刻划点M在水平面上的方位,即“水平面上方位” 3.三重积分在球面坐标系下的计算公式 14 A
其极坐标下的表示形式为 在 的变化范围是 即 故 三、利用球坐标计算三重积分 1. 球面坐标 如图所示,空间任意一点 也可用三个数 唯一表示。 图9-5-3 其中： 为原点 到点 的距离； 为有向线段 与 轴正向所成夹角； 为从正 轴来看自 轴依逆时针方向转到有向线段 的角度,而点 是点 在 点。 规定 的取值范围为 , , 不难看出,点 的直角坐标与球面坐标间的关系为 2. 球面坐标系的特点 =常数,是以原点为心的球面； =常数,是以原点为顶, 轴为轴的圆锥面； =常数,是过 轴的半平面。 粗略地讲, 变量 刻划点 到原点的距离,即“远近”； 变量 刻划点 在空间的上下位置,即“上下”； 变量 刻划点 在水平面上的方位,即“水平面上方位”。 3. 三重积分在球面坐标系下的计算公式 用三组坐标面 常数 常数 常数 将 分划成许多小区域 考虑当
这就是球面坐标系下的体积元素 rsin d8 图9-5-4 由直角坐标与球面坐标的关系式(3)有 f(x, y, z)dv=l f(rsin cocos e, rsin sin e, rcos p)r sin card qai (4)式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。 (4)式右端的三重积分可化为关于积分变量”飘日的三次积分来实现其计算,当然, Ω用球面坐标日加以表示 4.积分区域的球面坐标表示法 积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变 实际中经常遇到的积分区域Ω是这样的,Ω是一包围原点的立体,其边界曲面是 闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程r=r(p,,据球面坐标变量的特点有 0≤6≤2丌 Q2:{0≤@≤丌 0≤r≤r(9,6 例如,若是球体x+y2+z2≤d2a>0),则Ω2的球坐标表示形式为 曲面x =a的球坐标方程为 (rsin cos 8)*+(rsin opsin 8)+(rcos =a 于是 g:0≤6≤2丌,0≤q≤丌,0≤r≤a 例2求曲面=a+a2-x2-y2(a>0与曲面-2+y2所围成的立体的体积 解Ω的图形为
这就是球面坐标系下的体积元素。 图9-5-4 由直角坐标与球面坐标的关系式(3)有 (4)式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。 (4)式右端的三重积分可化为关于积分变量 的三次积分来实现其计算,当然,这 用球面坐标 加以表示。 4. 积分区域的球面坐标表示法 积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量 实际中经常遇到的积分区域 是这样的, 是一包围原点的立体, 其边界曲面是包 闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程 ,据球面坐标变量的特点有 例如, 若 是球体 , 则 的球坐标表示形式为 曲面 的球坐标方程为 于是 例2 求曲面 与曲面 所围成的立体 的体积。 解 的图形为
图9-5-5 下面根据图形及球坐标变量的特点决定Ω的球坐标表示式。 (1)Ω在xy面的投影区域o包围原点,故变化范围应为0,2 (2)在Ω中为z轴转到锥面的侧面,而锥面的半顶角为4,故φ的变化范围应为 多0≤0≤2x0≤如4内任取一值(动,作射线穿过Q,它与有两个交点,一个在 面z=a+√2-x2-y2上,用球坐标可分别表示为r=0及F=2 丌 2:0≤6≤2丌,0≤9≤-,0≤r≤2ncos 故 v=J av=sin oadrdode 2ac0sφ =∫ded∫r2sinc=∫ doj o d 827 fdefsa'cos sin alo= ade cos' sin ado ==a23.2丌 16 (1 小结三重积分的定义和计算 (化三重积分为三次积分) 直角坐标系下的体积元素 dy= dxdydz 柱面坐标 三重积分换元法球面坐标 柱面坐标的体积元素xah=m 球面坐标的体积元素ax= r*sin ard dag
图9-5-5 下面根据图形及球坐标变量的特点决定 的球坐标表示式。 (1) 在 面的投影区域 包围原点,故 变化范围应为 ； (2) 在 中 为 轴转到锥面的侧面,而锥面的半顶角为 ,故 的变化范围应为 ； (3) 在 内任取一值 , 作射线穿过 ,它与有两个交点,一个在 曲 面 上 , 用 球 坐 标 可 分 别 表 示 为 及 故 小结 三重积分的定义和计算 （化三重积分为三次积分） 直角坐标系下的体积元素 三重积分换元法 柱面坐标的体积元素 球面坐标的体积元素