第八节多元函数的极值及其求法 教学目的:了解多元函数极值的定义,熟练掌握多元函数无条件极值存在的判 能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点:多元函数极值的求法 教学难点:利用拉格朗日乘数法求条件极值 教学内容 多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数z=f(x,y)在点(x,y0)的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于(x ∫(x,y)f(x0,y), 则称函数∫(xy)在点(x,0)有极小值J(x0y).极大值、极小值统称为极值。使函数 例1函数z=3x+4y在点(0,0)处有极小值。因为对于点(0,0)的任一邻域1 为正,而在点(0,0)处的函数值为零。从几何上看这是显然的,因为点(0,0,0 z=3x2+4y2的顶点。 例2函数z=x2+y2在点(0,0)处有极大值。因为在点(0,0)处函数值为 邻域内异于(0,0)的点,函数值都为负,点(0,0,0)是位于xC平面下方的锥面2 例3函数2三矿)在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点(0 (0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点 定理1(必要条件)设函数z=f(x,y在点(x0,y)具有偏导数,且在点(x,y0) 数必然为零: Jx(x0,y)=0.J,(x0,y0)=0 证不妨设2=f(x,y)在点(xy)处有极大值。依极大值的定义,在点(x0,y0)的 适合不等式 f(x,y)<f(*o, yo 特殊地,在该邻域内取y=y0,而x≠x的点,也应适合不等式 f(x,y)<f(x0,y0) 这表明一元函数J(x,y0)在x=x0处取得极大值,因此必有 Jx(x0,y0)=0 类似地可证 J(x,y0)=0 从几何上看,这时如果曲面z=f(x,y)在点(x,y0,20)处有切平面,则切平面 z-20=x(x0,y0)(x-x0)+y(x0,y0(-y0) 成为平行于xO坐标面的平面2-z0 仿照一元函数,凡是能使(x,y)=0.J(xy)=0同时成立的点(x,0)称为函数z
第八节 多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判 能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 ， 则称函数 在点 有极大值 。如果都适合不等式 ， 则称函数 在点 有极小值 ．极大值、极小值统称为极值。使函数 例1 函数 在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内 为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0 的顶点。 例２ 函数 在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零 邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于 平面下方的锥面 例３ 函数 在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0， （0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件） 设函数 在点 具有偏导数，且在点 处 数必然为零： 证 不妨设 在点 处有极大值。依极大值的定义，在点 的某 适合不等式 特殊地，在该邻域内取 ，而 的点，也应适合不等式 这表明一元函数 在 处取得极大值，因此必有 类似地可证 从几何上看，这时如果曲面 在点 处有切平面，则切平面 成为平行于 坐标面的平面 。 仿照一元函数，凡是能使 同时成立的点 称为函数
怎样判定一个驻点是否是极值点呢?下面的定理回答了这个问题 定理2(充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有 J(x0,y0)=0.J,(x0)y0)=0,令 fm(xo, yo)=A, y(*o, o)=B,y(xo,yo)=C 则(x,y)在(x,y0)处是否取得极值的条件如下 (1)AC-B2>0时具有极值,且当A0时有极小值 (2)AC-B20又A>0,所以函数在(,0)处有极小值f(0)= 在点(12)处,AC-B2=12(-6)0又A<0所以函数在(32)处有极大值∫(3 例2某厂要用铁板作成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎 省 解设水箱的长为xm,宽为ym2,则其高应为 此水箱所用材料的面积 2(x 22 A=2(xy+-+ 即 可见材料面积A是x和y的二元函数,这就是目标函数,下面求使这函数取得最小值的点 )=0
怎样判定一个驻点是否是极值点呢 ？下面的定理回答了这个问题。 定理2（充分条件） 设函数 在点 的某邻域内连续且有一 ，令 则 在 处是否取得极值的条件如下： (1) 时具有极值，且当 时有极大值，当 时有极小值； (2) 时没有极值； (3) 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。 这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数 的 第一步 解方程组 求得一切实数解，即可以得到一切驻点。 第二步 对于每一个驻点 ，求出二阶偏导数的值 ， 和 。 第三步 定出 的符号，按定理2的结论判定 是否是极值、是极大值还 例1 求函数 的极值。 解 先解方程组 求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。 再求出二阶偏导数 在点(1,0) 处， 又 ，所以函数在 处有极小值 在点(1,2) 处， ，所以 (1,2)不是极值； 在点(-3,0) 处， ，所以 (-3,0)不是极值； 在点(-3,2) 处， 又 所以函数在(-3,2)处有极大值 (-3, 例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎 省。 解 设水箱的长为 ，宽为 ，则其高应为 ，此水箱所用材料的面积 ， 即 （ ， ） 可见材料面积 是 和 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点 令
从这个例子还可看出,在体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小 二、条件极值拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法要找函数z=f(x,y)在附加条件(x,y)=0下的可能极值点,可以 F(x,y)=f(x,y)+no(x, y) 其中为某一常数求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与方程(2)联立 f2(x,y)+2(x,y)=0 力(x,y)+(x,y)= p(x,y)=0 由这方程组解出x,y及孔,则其中x,y就是函数f(x,y)在附加条件下x,y)=0的 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如,要求函数 l4=f(x,y,z2,4) 在附加条件 叭(x,y,z,)=0,v(x,y,z,)=0 下的极值,可以先构成辅助函数 F(x,y,z,)=f(x,y,2,)+1(x,y,z,)+a2(x,y,2z,D 其中马,A2均为常数,求其一阶偏导数,并使之为零,然后与(2)中的两个方程联 x、y、z、t就是函数f(x,y,z,)在附加条件(2)下的可能极值点的坐标 至于如何确定所求得的点是否极值点,在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判 例3求表面积为a“而体积为最大的长方体的体积 解设长方体的三棱长为x,y,2,则问题就是在条件 u(x,y, z, t)=2xy+2yz+2xz 下,求函数 = xz 的最大值。构成辅助函数 F(x,, z)=xyz+2(2xy+2yz+2xz-a) 求其对x、y、z的偏导数,并使之为零,得到 xz+2(x+z)=0 2(y+2)=0 再与(10)联立求解 因x、y、z都不等于零,所以由(1)可得 X y 由以上两式解得 将此代入式(10),便得 X=y=2=6
从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。 二、条件极值 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法 要找函数 在附加条件 下的可能极值点，可以 其中 为某一常数求其对 与 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立 由这方程组解出 ， 及 ，则其中 ， 就是函数 在附加条件下 的 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数 在附加条件 ， 下的极值，可以先构成辅助函数 其中 ， 均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联 就是函数 在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。 至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判 例3 求表面积为 而体积为最大的长方体的体积。 解 设长方体的三棱长为 ， 则问题就是在条件 下，求函数 的最大值。构成辅助函数 求其对 、z的偏导数，并使之为零，得到 再与(10)联立求解。 因 、 都不等于零，所以由(11)可得 ＝ ， ＝ ． 由以上两式解得 将此代入式(10)，便得 =
这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在,所以最大值就在这个可 6 说,表面积为a2的长方体中,以棱长为6的正方体的体积为最大,最大体积36 本节以一元函数极值为基础,研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小 极值的定义后,介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤,讨论 际问题的最值问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用
这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可 说，表面积为 的长方体中，以棱长为 的正方体的体积为最大，最大体积 小结： 本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小 极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了 际问题的最值问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用