第二节常数项级数的审敛法 教学目的:掌握数项级数收敛性的判别方法 教学重点:正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,交错级数的莱布尼兹 收敛的概念。 教学难点:任意项级数收敛性的判别方法 教学内容 正项级数及其审敛法 每项均为非负的级数称为正项级数 设级数+2+3+…+2+…是一个正项级数,≥0),它的部分和数列{S S≤S2≤S3≤…≤S≤…,从而有 定理!正项级数收敛台它的部分和数列{有界 推论:如果正项级数2”发散,则它的部分和数列S→+(n→ 定理2(比较审敛法)己知二正项级数1+2+23+…+2+…(4) v1+v2+3+…+y2+…(B) )若级数(4)收敛且对大于某个正整数的一切n,都有V≤u则级数(2)也收敛 (2)若级数4)发散且对大于某个正整数的一切x,都有V≥,则级数(2)也发散 证明设AR月存在,又因]个,故三A。根据级数基本性质3,不妨认 分别表示级数(4)和(B)的前x项和 ④已知A ∑ν≤∑…,即5A,故2,≤,即(B有上界,所以如气 存在,即 (2)用反证法,若幻”收敛,则因已设x≤V2,由(推知幻收敛,与题设矛盾, 推论设 和2 都是正项级数,如果级数x1收敛,且存在自然数N,使得 立,则级数幻收敛:如果级数红"发散,且当时有22知(>0)成立,则 1+二+-+…+二 例1证明调和级数23 是发散的 y=1h(1+x)
第二节 常数项级数的审敛法 教学目的：掌握数项级数收敛性的判别方法 教学重点：正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布尼兹 收敛的概念。 教学难点：任意项级数收敛性的判别方法 教学内容： 一、 正项级数及其审敛法 每项均为非负的级数称为正项级数 设级数 是一个正项级数 ，它的部分和数列 ，从而有 定理1 正项级数 收敛 它的部分和数列 有界。 推论：如果正项级数 发散，则它的部分和数列 定理2（比较审敛法）已知二正项级数 ⑴ 若级数 收敛且对大于某个正整数的一切 ，都有 则级数 也收敛； ⑵ 若级数 发散且对大于某个正整数的一切 ，都有 ，则级数 也发散。 证明 设 和 分别表示级数 和 的前 项和 ⑴ 已知 存在，又因 ，故 。根据级数基本性质3，不妨认 ，即 ，故 ，即 有上界，所以 存在，即 ⑵ 用反证法，若 收敛，则因已设 ，由⑴推知 收敛，与题设矛盾， 推论 设 和 都是正项级数，如果级数 收敛，且存在自然数N，使得 立，则级数 收敛；如果级数 发散，且当n³N时有 成立，则 例1 证明调和级数 是发散的
h6+)+hn|1+ 由 n+1 34n+1 =血n2+1n=+1n-+…+1n =(1+)→+0→a 级数发散 1+ +…+一+… 例2讨论P-级数2 的收敛性,其中常数P>0 解设P≤1,则刀2万,但调和级数发散,由定理2可知,当P≤1时级数n发 设P>1,当n-1≤x≤时,有n 所以n P-1(x-12x2x」(n=2,3… 考虑级数2(x-1nx灬…( 其部分和 y-1 +1) 理2知,级数n2当P>1时收敛,综上,得 当P-级数,当P>1时收敛,当P≤1时发散 定理3(比较法的极限形式)设x和都是正项级数,如果 l,(0≤l0或mn2=+o, 且级数1发散,则级数x-发散。 +1, 证明(1)由极限定义可知,对于E=1,彐N,使当n>N时,有V Ix 法可得级数-1收敛。 (2)按已知条件可知极限”n存在,如果级数x1“收敛,则由结论(1)必有级 Ix 26x -1发散,因此级数-1不可能收敛,即级数-1发散。 例3判别级数-1的收敛性 解 ∴由定理3知此级数发散
由 级数发散。 例2 讨论 级数 的收敛性，其中常数 解 设 ，则 ，但调和级数发散，由定理2可知，当 时级数 发散 设 ，当 时，有 ， 所以 考虑级数 其部分和 理2知，级数 当 时收敛，综上，得 当 级数，当 时收敛，当 时发散 定理3（比较法的极限形式）设 和 都是正项级数，如果 （1） ，且级数 收敛，则级数 收敛。 （2） 且级数 发散，则级数 发散。 证明（1） 由极限定义可知，对于 ， ，使当 时，有 ，即 法可得级数 收敛。 （2）按已知条件可知极限 存在，如果级数 收敛，则由结论(1)必有级 发散，因此级数 不可能收敛，即级数 发散。 例3 判别级数 的收敛性 解 ∵ ∴由定理3知此级数发散
定理4(比值审敛法)若正项级数1的后项与前项之比值的极限等于P 收敛:>1(或以)时级数发散:O=1时级数可能收敛也可能发散。 证明(1)当P 个适当正数E,使尸+E=y1,取一个适当正数e,使-E>1,依极限定义,当n≥m时,有x ltm 可知x-1发散,类似可证,当 1发散。 3)当=1时,由P-级数可知结论正确。 例4判别级数幻x2的收敛性 +1) 2 (n+1) +1 1+ 2 = lim ∴ 故级数收敛 定理5(根值审敛法)设1“为正项级数,如果它的一般项x的n次根的极限等 1(或mv,=+0)时级数发散,=1时级数可能收敛也 证明与定理4相仿,这里从略。 例5判别级数 +1)的收敛性 1 2n+12所以级数收敛。 ∑ 定理6(极限审敛法)设x1为正项级数, 2>0 In (1)如果x→ (或x→ ),则级数x1发散; mn2y2=l(0≤}1,而→ 则级数x-1收敛
定理4（比值审敛法）若正项级数 的后项与前项之比值的极限等于 ： 收敛； （或 ）时级数发散； 时级数可能收敛也可能发散。 证 明 ⑴ 当 ， 取 一 个 适 当 正 数 ， 使 ， 依 极 限 定 义 ， ，因此， 这样，级数 各项小于收敛的等比级数 的各对应项，所以它也收敛。由于 只比它多 敛。 ⑵ 当 ，取一个适当正数 ，使 ，依极限定义，当 时，有 而 ，可知 发散，类似可证，当 ， 发散。 ⑶ 当 时，由 级数可知结论正确。 例4 判别级数 的收敛性 解 ∵ ∴ 故级数收敛。 定理5（根值审敛法）设 为正项级数，如果它的一般项 的 次根的极限等 时，级数收敛， （或 ）时级数发散， 时级数可能收敛也可 证明与定理4相仿，这里从略。 例5 判别级数 的收敛性 解 所以级数收敛。 定理6（极限审敛法）设 为正项级数， （1）如果 （或 ），则级数 发散； （2）如果p>1,而 则级数 收敛
(2)在极限形式的比较审敛法中,取_n2,当p>1时,p级数an2收敛,故结 ∑√+11-c0s) 例6判定级数1 n的收敛性 解因为 →6 x+1 根据极限审敛法,知所给级数收敛 、交错级数及其审敛 一个级数的各项如果事正负相间的就叫做交错级数。若 2>0 0(),2an(m)m02,=0, ∑(-1)2a 0≤∑(-1) 则级数 收敛,且x-1 证明先证前2n项的和S2的极限存在, (a1-a2)+(a3-4)+…+(a )→(S2)↑(括号非负) 又S2=1-(a2-3)-(a4-5)-…-(a2-2x1)-2→20 1(n=1,2,… 证明 +1 ∑(-1 由莱氏判别法,知x-1 n收敛,且其和S<1,如果取前n项的和 ≤ S的近似值,产生的误差n+1 绝对收敛与条件收敛 每一个任意项级数的各项都换为它的绝对值,那就对应地有一个正项级数,该正项级3 面定理所述的关系 ∑ 定理8若x1收敛,则1也收敛 证明令”=+.),则,20,2”是正项级数, 以xSPx而如收敛,从而 收敛,又 由基本性质,知器 必须指出,此定理的逆定理不成立 ∑k ∑k 定义若x1收敛,则称x-1是绝对收敛的;如果x1收敛而x1发散,则称
（2）在极限形式的比较审敛法中，取 ，当p>1时，p-级数 收敛，故结论 例6 判定级数 的收敛性. 解 因为 根据极限审敛法，知所给级数收敛。 二、 交错级数及其审敛法 一 个 级 数 的 各 项 如 果 事 正 负 相 间 的 就 叫 做 交 错 级 数 。 若 （ 就是一个交错级数。 定理7 （莱布尼兹准则）若 ， 则级数 收敛，且 证明 先证前 项的和 的极限存在， （括号非负） 又 (条件 ， ) （条件 ） 故 例7 证明交错级数 收敛 证明 及 由莱氏判别法，知 收敛，且其和 ，如果取前 项的和， 的近似值，产生的误差 三、绝对收敛与条件收敛 每一个任意项级数的各项都换为它的绝对值，那就对应地有一个正项级数，该正项级数 面定理所述的关系。 定理8 若 收敛，则 也收敛 证明 令 ，则 ，即 是正项级数， 而 收敛，从而 收敛，又 ，由基本性质，知 必须指出，此定理的逆定理不成立。 定义 若 收敛，则称 是绝对收敛的；如果 收敛而 发散，则称
例8判定级数222232 +(-1)x111 22是绝对收敛还是条件收敛 n十 n+1 解 原给的级数是绝对收敛的 小结 1.级数收敛的必要条件是其通项趋于0,因此,如果通项不趋于0,级数 于0的级数未必收敛,如紅n的通项趋于0,但调和级数发散 2.正项级数的部分和S单调增,所以如果证明了S有上界,则正项级数 3.三个重要的级数: 1 (1)P-级数:an2Ps1(发散)p>1(收敛) )几何级数;2421(发散)k<1(收) n收敛 4.正项级数的审敛法是 比较法,比较法的极限形式,比值法,根值法 5.交错级数有莱氏判别法;任意项级数有绝对值判别法
例8 判定级数 是绝对收敛还是条件收敛还 解 ∵ ∴原给的级数是绝对收敛的。 小结: 1. 级数收敛的必要条件是其通项趋于0，因此，如果通项不趋于0，级数 于0的级数未必收敛，如 的通项趋于0，但调和级数发散。 2．正项级数的部分和 单调增，所以如果证明了 有上界，则正项级数收 3．三个重要的级数： (1) 级数： （发散） （收敛） (2) 几何级数： （发散） （收敛） (3) 收敛 4．正项级数的审敛法是： 比较法，比较法的极限形式，比值法，根值法 5．交错级数有莱氏判别法；任意项级数有绝对值判别法