第三节全微分 教学目的:学习和掌握多元函数(以二元函数为主)全微分的定义,掌握二 元函数可微与偏导数存在之间的关系,会求多元函数的全微分。 教学重点:可微与偏导数存在之间的关系,多元函数的全微分。 教学难点:计算多元函数的全微分。 教学内容 、全微分的定义 定义设函数z=f(x,y)在点(x,0)的某邻域内有定义,如果函数在点(x,0) 的全增量 △z=f(x0+△x,y0+4y)-f(x0,y0) 可表示为 △z=AAx+BAy+o(), 其中A、B不依Ay赖于△x、4而仅与xy有关,P=√△2+(4y2,则称函 数z=f(x,y)在点(,y)可微分,而AAx+BAy称为函数z=f(x,y)在点(x,y0) 的全微分,记作a,即d=AAx+BAy 如果函数在区域D内各点处都可微分,那末称这函数在D内可微分 在第二节中曾指出,多元函数在某点的各个偏导数即使都存在,却不能保证函数在 该点连续但是,由上述定义可知,如果函数z=f(x,y)在点(x,y0)可微分,那末函 数在该点必定连续事实上,这时由(2)式可得 设函数2=f(x,y)在点(x,y0)的某一邻域内有定义,并设(x0+△x,y0+△y)为 这邻域内的任意一点,则称这两点的函数值之差J(x0+△xy0+4y)-f(x0,y0)为函 数在点(xy0)对应于自变量增量Δx、y的全增量,即 △z=f(x0+△x,y+4y)-f(x0,y0) 2可微分的条件 定理(可微的必要条件)若函数z=f(x,y)在点(,y0)可微分,则该函数在点 az (x,y0)的偏导数a、必定存在,且函数2=f(x,y)在点(,0)的全微分为 dz=ax△x+ 证设函数2=f(x,y)在点(x,0)可微分于是,对于点(x,0)的某个邻域的任 意一点(列+△x,y0+4y),(2)式总成立特别当4y=0时(2)式也应成立,这时 P=Ax|,所以(2)式成为 f(x+△xy)-f(x,y)=A△x+o(△xD 上式两边各除以Δx,再令△x→0而取极限,就得
第三节 全微分 教学目的：学习和掌握多元函数（以二元函数为主）全微分的定义，掌握二 元函数可微与偏导数存在之间的关系，会求多元函数的全微分。 教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分。 教学难点：计算多元函数的全微分。 教学内容： 一、全微分的定义 定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果函数在点 的全增量 可表示为 ， 其中 、 不依 赖于 、 而仅与 有关， ，则称函 数 在点 可微分，而 称为函数 在点 的全微分，记作 ，即 . 如果函数在区域 内各点处都可微分，那末称这函数在 内可微分. 在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在 该点连续.但是，由上述定义可知，如果函数 在点 可微分，那末函 数在该点必定连续.事实上，这时由（2）式可得 设函数 在点 的某一邻域内有定义，并设 为 这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 为函 数在点 对应于自变量增量 、 的全增量，即 2.可微分的条件 定理 （可微的必要条件）若函数 在点 可微分，则该函数在点 的偏导数 、 必定存在，且函数 在点 的全微分为 = + . 证 设函数 在点 可微分.于是，对于点 的某个邻域的任 意一点 ，（2）式总成立.特别当 时（2）式也应成立，这时 ，所以（2）式成为 . 上式两边各除以 ，再令 而取极限，就得
f(x+△x,y)-f(x,y) Ax az 从而偏导数存在,且等于A.同样可证=B所以(3)式成立证毕 我们知道,一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件但对于多元函数 az 来说,情形就不同了当函数的各偏导数都存在时,虽然能形式地写出ax△x+@4y ,但它与Δz之差并不一定是较高阶的无穷小,因此它不一定是函数的全微分换句话 说,各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件例如,函数 x2+y2≠0 f(r, y) 0 在点(0.0)处有(0,0)=0及(0,0)=0,所以 △x·Ay △z-[6(.0△x+6(0.0)4y]=√△x)2+(4)2 如果考虑点(+△x,y0+4y)沿着直线y=x趋于(00),则 盘x.Δ √ax2+(4y) Ax△ △xΔx (△x)2+(4y)2=(△x)2+(△x)2=2 它不能随→0而趋于0,这表示→0时, △z-[(0,0)·△x+5(00)·4y] 并不是较高阶的无穷小,因此函数在点(00)处的全微分并不存在,即函数在点 F(0,0)处是不可微分的 由定理1及这个例子可知,偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件但是, 如果再假定函数的各个偏导数连续,则可以证明函数是可微分的,即有下面定理 定理(可微的充分条件)如果函数z=f(xy)的偏导数、在点(x,y0) 连续,则函数在该点可微分 证因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数(对于偏导数也如此),所以 假定偏导数在点(x,0)连续,就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思(以 后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解)设点(x+△x,y0+4y)为这邻域内任意 点,考察函数的全增量 Az=f(x+Ax,y+Ay)-f(x, y) [f(x+Ax,y+Ay)-f(x, y+Ay)]+f(x,y+Ay)-f(x,y)] 在第一个方括号内的表达式,由于y+2y不变,因而可以看作是x的一元函数 f(x,y+4y)的增量于是,应用拉格郎日中值定理,得到 △z=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y+4y)△x =f(x+的1△x,y+Ay (0<<1 又假设,爪(x,y)在点P(x,y)连续,所以上式可写为
lim = ， 从而偏导数 存在，且等于 . 同样可证 = .所以（3）式成立.证毕. 我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件.但对于多元函数 来说，情形就不同了.当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出 + ，但它与 之差并不一定是较 高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分.换句话 说，各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.例如，函数 = 在点 处有 及 ，所以 = , 如果考虑点 沿着直线 趋于 ，则 = = = , 它不能随 而趋于0，这表示 时， 并不是较 高阶的无穷小，因此函数在点 处的全微分并不存在，即函数在点 处是不可微分的. 由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件.但是， 如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理. 定理 （可微的充分条件） 如果函数 的偏导数 、 在点 连续，则函数在该点可微分. 证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以 假定偏导数在点 连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以 后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解）.设点 为这邻域内任意 一点，考察函数的全增量 . 在第一个方括号内的表达式，由于 不变，因而可以看作是 的一元函数 的增量.于是，应用拉格郎日中值定理，得到 = 又假设， 在点 连续，所以上式可写为 △x→0
f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y+Ay) =f(x,y)△x+的△x 其中a为△x、Ay的函数,且当△x→0,4→0时,a→0 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 f(x,y+△y)-f(x,y)=(x,y)4y+e△y, 其中a2为4y的函数,且当4y→0时,a→0 由(4)、(5)式可见,在偏导数连续的假定下,全增量△z可以表示为 (x,y)Ax+6(x,y)△ 容易看出 △x+E2B 1a|+|e2 它是随着△x→0,4→0即→0而趋于零 这就证明了z=f(x,y)在点P(xy)是可微分的 以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件,可以完全类似的推 广到三元和三元以上的多元函数 习惯上,我们将自变量的增量△x、4ν分别记作x、的,并分别称为自变量 x、y的微分这样,函数z=f(x,y)的全微分就可以写为 dz=ax dx+a dy 例8-15计算函数=x+y的全微分 az 解因为a=2xy,=x2+2y 所以 (x+2y)dy 例816计算函数z=e°在点(2,1)处的全微分 az 解因为ax=ey,b=xey az 所以d=ax+2e y u=x+sin -+e 例8-17计算函数 的全微分 解因为Ox=1,p=20 2+ze>az=ye 所以d=dx+(22+zx)4
= ， （4） 其中 为 、 的函数，且当 ， 时， . 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 ， （5） 其中 为 的函数，且当 时， . 由（4）、（5）式可见，在偏导数连续的假定下，全增量△z可以表示为 . （6） 容易看出 | | ， 它是随着 ， 即 而趋于零. 这就证明了 在点 是可微分的. 以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推 广到三元和三元以上的多元函数. 习惯上，我们将自变量的增量 、 分别记作 、 ，并分别称为自变量 的微分.这样，函数 的全微分就可以写为 = + . (7) 例8-15 计算函数 的全微分． 解 因为 ＝２ ， ＝ ， 所以 ＝２ ＋ ． 例8-16 计算函数 在点 处的全微分． 解 因为 =yexy , =xexy | = , | = , 所以 = ． 例8-17 计算函数 的全微分. 解 因为 = , = + , = , 所以 = ( + ) + ． x=2 y=1 x=2 y=1
小结:本节讨论了多元函数(以二元函数为重点)全微分的定义及存在 条件和求法 作业: 求函数z=ln(1+x+y2)当x=1,y=2时的全微分 2求函数x当x=2,y=1,Δx=01,Ay=-0.2时的全增量和全微分 3.求函数z=e当x=1,y=1,△x=0.15,Ay=01时的全微分
小结：本节讨论了多元函数（以二元函数为重点）全微分的定义及存在 条件和求法 作业： 1. 求函数 当 ， 时的全微分． 2. 求函数 当 ， ， ， 时的全增量和全微分． 3. 求函数 当 ， ， ， 时的全微分
