第一节定积分的概念与性质 教学目的:理解定积分的概念及性质 教学重点:定积分定义 教学难点:定积分概念的理解 教学内容 定积分问题举例 曲边梯形面积 设y=f(x)在[a,b]上非负且连续,由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的 图形,称为曲边梯形 求其面积:在区间[a,b]中任意插入若干个分点a=<<x2…<不,1<不=b,把 a小分成n个小区间 [x0,x1],[x1,x2],…[x-1,不] 它们的长度依次为 x1=x1-x0 经过每一个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,在每个小区间[ x1,x]上任取一点与,以[x11,x为底,f()为高的小矩形近似替代第个小曲边梯形 (=12…n),把这样得到的x个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即 A(4)△x+f()△x2+…+f()△x2=∑f()△ 元=max{△x1,△x2,…△x},→0时,可得曲边梯形的面积 A=地2f(5)△x 2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度ν=()是时间间隔[,22]上t的连续函数,且v≥0) 计算在这段时间内物体所经过的路积S 在[1,2]内任意插入若干个分点1=<1<2<…4<4=2,把[1,72]分成n 个小段[40,41],[1,4],…,[2-1,2],各小段时间长依次为: △1=t1-0,△2=2-1;…,△t2=2 相应各段的路程为:△S1,△S2,…,△S 在[14]上任取一个时刻7(157≤41),以2时的速度(7)来代替[414]上各个时刻 的速度,则得 △S2e(2)△4(=1,2,…,n) Ssv(Z)Δ1+v(2)△2+…+v(T)△2=∑wZ)△ 所以 S=1m∑w(Z)△t =ma{△1,42,…△,},当→0时,得: 二、定积分定义
第一节 定积分的概念与性质 教学目的：理解定积分的概念及性质 教学重点：定积分定义 教学难点：定积分概念的理解 教学内容： 一、定积分问题举例 1.曲边梯形面积 设 在 上非负且连续，由直线 及曲线 所围成的 图形，称为曲边梯形. 求其面积：在区间 中任意插入若干个分点 ，把 分成 个小区间 [ ],[ ], … [ ], 它们的长度依次为： . 经过每一个分点作平行于 轴的直线段，把曲边梯形分成 个小曲边梯形，在每个小区间[ ]上任取一点 ，以[ ]为底， 为高的小矩形近似替代第 个小曲边梯形 ,把这样得到的 个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积 的近似值，即 设 时，可得曲边梯形的面积 . 2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度 是时间间隔 上 的连续函数，且 ，计算在这段时间内物体所经过的路积 . 在 内任意插入若干个分点 ，把 分成 个小段 ， ，…， ，各小段时间长依次为： 相应各段的路程为： 在 上任取一个时刻 ，以 时的速度 来代替 上各个时刻 的速度，则得： . 所以 设 ，当 时，得： 二、定积分定义
由上述两例可见,虽然所计算的量不同,但它们都决定于一人函数及其自变量的变化区间 其次它们的计算方法与步骤都相同,即归纳为一种和式极限,即:面积 =m2(5)△x 路程 将这种方法加以精确叙述得到定积化的定义: 定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点 x0b时,(=(),当a=b时,()x=0 定理设(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b上可积 定理设f(x)在[a,上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[ab]上可积 例:利用定积分定义计算 解:因为∫(x)=x在[01]上连续,所以∫(x)可积为方便计算,我们可以对[01进行n 了 x1=一,i=12…,n-1,n 等分,分点n ,取相应小区间的右端点为与,故 242方空 n(n2+1)(2n+1)=-(1+-)(2+ N当A→0时(即n→时),由定积分的定义得: 、定积分的性质 性质1函数和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差),即 (x)士g(刈)k=J(k士g(x)ax
由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一人函数及其自变量的变化区间， 其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即：面积 ， 路程 . 将这种方法加以精确叙述得到定积化的定义： 定义 设函数 在 上有界，在 中任意插入若干个分点 把 区 间 分 成 个 小 区 间 各 个 小 区 间 的 长 度 依 次 为 . 在每个小区间 上任取一点 ,作函数值 与小区间长 度 的 乘 积 ， 并 作 出 和 . 记 ,如果不论对 怎样分法,也不论在小区间 上点 怎样 取法,只要当 时,和 总趋于确定的极限 ,这时我们称这个极限 为函数 在区间 上的定积分(简称积分),记作 . 其中 叫做被积函数, 叫做被积表达式, 叫做积分变量, 叫做积分下限, 叫做积 分上限, 叫做积分区间. 注：（1）积分与积分变量无关，即： ； （2）规定：当 时， ；当 时， . 定理 设 在 上连续，则 在 上可积. 定理 设 在 上有界，且只有有限个间断点，则 在 上可积. 例：利用定积分定义计算 . 解：因为 在 上连续，所以 可积.为方便计算，我们可以对 进行 等分，分点 ，取相应小区间的右端点为 ，故 当 （即 ），由定积分的定义得： . 三、定积分的性质 性质1 函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即
f(x)±g(x)=1im∑(2)土g()△ =1m∑f(4)A±im∑g()△ f(x)dx+g(x)d 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面,即 广大(=J(x (k是常数). 性质3对于任意三个实数a,b,C,恒有 f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx 性质4如果在区间[a的上,f()2=1,则」f(x)dx=,akx=b-a 性质5如果在区间[a,]1,()20,则(k0(ab,还是a<b,上述等式恒成立
证： 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 ( 是常数). 性质3 对于任意三个实数 , , , 恒有 . 性质4 如果在区间 上， ，则 . 性质5 如果在区间 上， ，则 . 证：因为 所以 ，又因为 ，故 .设 ，当 时，便得 . 推论1 如果在 上， ，则 . 推论2 . 性质6 设 与 分别是函数 在 上的最大值及最小值，则 . 性质7（定积分中值定理） 如果函数 在闭区间 上连续，则在积分区间 上至少 存在一点 ，使下式成立： . 证：利用性质6， ；再由闭区间上连续函数的介值定理，知在 上至少存在一点 ，使 ，故得此性质. 显然无论 ，还是 ，上述等式恒成立