第三节泰勒公式 教学目的:理解泰勒中值定理,掌握常见泰勒公式. 教学重点:泰勒中值定理 教学难点:泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用 教学内容 泰勒( Tay lor)中值定理的引入 于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达由于用多 项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,便能求出它的函数值,因此我 们经常用多项式来近似表达函数 在微分的应用中已经知道,当很小时,有如下的近似等式 e’≈1+x,hn(1+x)≈x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子但是这种近似表达式还存在着不足之处:首 先是精确度不高,这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小;其次是用它来作近似计算时,不能 具体估算出误差大小.因此,对于精确度要求较高且需要估计误差时候,就必须用高次多项式 来近似表达函数,同时给出误差公式 设函数f(x)在含有的开区间内具有直到n+1阶导数,现在我们希望做的是找出一个关 x-x6的n次多项式 2 a2(x-x0) 来近似表达f(x),要求p.(x)与几x)之差是比(x-x)高阶的无穷小,并给出误差 Rx)=(x)-2,(x)的具体表达式 我们自然希望P,(x)与f(x)在和的各阶导数(直到n+1阶导数)相等,这样就有 P2()=a0+a(x-x)+a2(x-x)+…+a、(x-x F,(x)=a1+2a2(x-x (x-x) 2,(x)=2a2+32.a1(x-x)+…+n(-1)a,(x-x)”2 Px)=3a2+43.2a(x-x)+…+m(-1(n-2)a,(x-x) (=nla 于是P,(x)=ap,(x)=a,P,(x)=2lan,p,(x)=31a1…,P.(xn)=a 按要求有(x)=P()=a,(x2)=p.(x)=a, f"(x)=P.(xn)=2a2,f"(xn)=Px)=3a f"(x)=p,(x)=r!a 从而有a,=f(x)a=f(x)吗“”), a2="(x0)4n=0 a=f() (k= 2) 于是就有 p,(xf(x)+r(x)(x-x)+1r(x)(x-x)2+…+1(x)(x-b)
第三节 泰勒公式 教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式. 教学重点：泰勒中值定理. 教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用. 教学内容： 一、泰勒(Taylor)中值定理的引入 对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用一些简单的函数来近似表达. 由于用多 项式表示的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我 们经常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中已经知道, 当 很小时, 有如下的近似等式: , 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 但是这种近似表达式还存在着不足之处: 首 先是精确度不高, 这所产生的误差仅是关于 的高阶无穷小; 其次是用它来作近似计算时, 不能 具体估算出误差大小. 因此, 对于精确度要求较高且需要估计误差时候, 就必须用 高次多项式 来近似表达函数, 同时给出误差公式. 设函数 在含有的开区间内具有直到 阶导数, 现在我们希望做的是: 找出一个关 于 的 次多项式 来 近 似 表 达 , 要 求 与 f(x) 之 差 是 比 高 阶 的 无 穷 小 , 并 给 出 误 差 的具体表达式. 我们自然希望 与 在 的各阶导数(直到 阶导数)相等, 这样就有 ……, 于是 , , , ,…, . 按要求有 , , , , × × × × ×, 从而有 , , , , …… , ， 即 ( ). 于是就有
泰勒中值定理 定理(泰勒中值定理)如果函数f(x)在含有和的某个开区间(a,b)内具有直到 n+1阶导数,则当x在(ab)内时,f(x)可以表示为x-x的一个n次多项式与一个余项 R.(x)之和,即 f(=f(x)+f((x)+元(x一x)2+…+()x-x)”+( 2(x) 其中 (5介于列与X之间) 证明:由假设,(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数,且 R(x0)=R2(x)=R"(x0)=…=B(x0)=0 两函数2(x)及(x-石)“在以和及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 (x-x)(x-x)+-0(+1)(-x)(介于x与X之间) 两函数2”(x)及(x+1)(x-x)在以及5为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 2(51) F2(1)-2x(x0) R(2) (+(5-x)(+1(51-x)-0mn+1)(52-x)”(5介于与X之间),此下去,经 过(2+1次后,得P,(x)=0,所以“(x)=f"(x) R,(x)= 则由上式得 (n+1) (5介于与其之间)证毕 说明: 1.这里多项式2(x=(x)+(x)x一x)+ f"(x) X- 称为函数f(x)按x-x的幂展开的n次近似多项式,公式 f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+,f"(x)(x-x)2+…+1m(x)(x-x0)2+B2 称为f(x)按x-x的幂展开的n阶泰勒公式,而Rm()的表达式 R2(x) () (5介于7与x之间称为拉格朗日型余项 4.当n=0时,泰勒公式变成f(x)=f(x)+f(5(x-x)(5介于与X之间)一拉格朗日中 值公式,因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 5.如果对于某个固定的n,当x在区间(a,b)内变动时(x)总不超过一个常数M则有 估计式(=o(2 (n+) (x-x)y1≤11x-xP n+1) 及 Iim -=0 可见,当x一M时,误差尺.(x)是比(x-x)高阶的无穷小,即 R,(x)=o(x-xn)),该余项称为皮亚诺形式的余项 6.在不需要余项的精确表达式时,邝阶泰勒公式也可写成 f(x)=f(x,+f(x,(x-x+(xx-x)+…+-(x,)x-x)+0(x-x)”) 7.当x=0时的泰勒公式称为麦克劳林( Maclaurin公式,就是 f(x)=f(0+00+"(x+…+00n+6(x) f(x)=(0+y(0x+(0x2++0)x+0(x)
二、泰勒中值定理 定理 （泰勒中值定理） 如果函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶导数, 则当 在 内时, 可以表示为 的一个 次多项式与一个余项 之和，即 其中 ( 介于 与 之间). 证明：由假设, 在 内具有直到 阶导数,且 两函数 及 在以 及 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( 介于 与 之间) 两函数 及 在以 及 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( 介于 与 之间), 此下去,经 过 次后,得 所以 则由上式得 ( 介于 与 之间). 证毕 说明： 1．这里多项式 . 称为函数 按 的幂展开的 次近似多项式, 公式 2． 称为 按 的幂展开的 阶泰勒公式, 而R n (x)的表达式 3． ( 介于 与 之间)称为拉格朗日型余项. 4．当 时, 泰勒公式变成 ( 介于 与 之间)—拉格朗日中 值公式, 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 5．如果对于某个固定的 , 当 在区间 内变动时, 总不超过一个常数M, 则有 估计式 及 . 可见, 当 时, 误差 是比 高阶的无穷小, 即 ,该余项称为皮亚诺形式的余项. 6．在不需要余项的精确表达式时, 阶泰勒公式也可写成 7．当 时的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式, 就是 或
R2() 2+1) 8.由此得近似计算公式 f(x)≈f(0)+(x+ f0x2+.+0x 误差估计式变为 R2(x) (n+1) 四、简单的应用 例3-16求f(x)=e2的n阶麦克劳林公式 解由于f(x)=f(x)=…=f(0( 所以∫(O)=f(O)=f“(0)=…=∫()=1 而(6)=e代入公式,得 gx=1+x++…+2 (00)W (n+1 x=1,e≈1+1+-+…+ ,其误差 (n+1)!(n+1) 例3-17求∫(x)=8inx的n阶麦克劳林公式 0(x)=sn(x+n-) 解:因为 所以f(O)=0,f(O=1,"(0)=0,f"(①)=-1,f(0)=0, sinx=x--x3+ 1+R2(x) 于是 2m-1) 当m=1,2,3时,有近似公式 sinx a r sins 3x3 sinxxx-3x3+I x5 8+2cosx-3 例3-18计算 =1+x2+-x2+o(x2)cosx=1-+2+o(x3) 解由于 e+2cosx-3=(+2·)x2+o(x2) 所以 x+o(x) 7 常用函数的麦克劳林公式 x' x' 2n+1 sinx=x …+(-1) +0(x x x4 x6 cosx=1 +…+(-1) 2!4|6 (2)
其中 . 8．由此得近似计算公式 . 误差估计式变为 . 四、简单的应用 例3-16 求 的 阶麦克劳林公式 解 由于 所以 而 代入公式,得 由公式可知 估计误差: 设 取 , 其误差 例3-17求 的 阶麦克劳林公式. 解: 因为 , 所以 于是 . 当 时, 有近似公式 , , . 例3-18 计算 . 解 由于 所以 故 原式= 常用函数的麦克劳林公式
n(1+x)=x =1+x+x2+…+x+o(x) 1+)=1+m32(m-1) m(m-1)…(m-n+1) x"+o(x")