第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 教学目的:理解函数的单调性和曲线凹凸性 教学重点:掌握用一阶导数判断函数的单调性和曲线凹凸性判断方法和求 法 教学难点:导数不存在的连续点可能是单调区间的分界点;拐点的理解 教学内容 、函数单调性的判定方法 如果函数y=∫(x)在[a上单调增加(单调减少),那么它的图形是一条沿x轴 正向上升(下降)的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的(是非正的) y=f(x)≥0(或y=f(x)≤0)由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的 关系 反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢? 定理(函数单调性的判定法)设函数y=f()在[a]上连续,在(ab)内可导 如果在(a,b)内(x)>0,那么函数y=∫(x)在lan上单调增加 (2)如果在(a,b)内f(x)0,因此,如果在(a,)内导数∫(x)保持正号, 即f(x)>0,那么也有"()>0,于是 f(x2)-f(x,)=f(e)(x2-x,)>0 从而(x)0 所以由判定法可知函数y=x-x在[0,2x]上单调增加 例320讨论函数y=e-x-1的单调性 解由于y=e2-1且函数y=e-x-1的定义域为(-∞,+∞) 令y=0,得x=0,因为在(一00)内y20,所以函数y=e-x-1在[,+0)上单调增加 例321讨论函数y=3x2的单调性 解:显然函数的定义域为(∞,+∞),而函数的导数为3F(x≠0) 所以函数在x=0处不可导 又因为x0时,y’>0,所以函数在[0,+∞)上单调增加 说明:如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且 连续,那么只要用方程()=0的根及导数不存在的点来划分函数()的定义区间,就 能保证f(x)在各个部分区间内保持固定的符号因而函数f(x)在每个部分区间上单调 例3-22.确定函数()=2c-92+12-3的单调区间
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 教学目的：理解函数的单调性和曲线凹凸性 教学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和曲线凹凸性判断方法和求 法。. 教学难点：导数不存在的连续点可能是单调区间的分界点.；拐点的理解 教学内容： 一、函数单调性的判定方法 如果函数 在 上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿 轴 正向上升（下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即 (或 ) 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的 关系. 反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理 (函数单调性的判定法) 设函数 在 上连续, 在 内可导. (1)如果在 内 , 那么函数 在 上单调增加; (2)如果在 内 , 那么函数 在 上单调减少. 证明 只证(1)（（2）可类似证得） 在 上任取两点 , 应用拉格朗日中值定理, 得到 . 由于在上式中 , 因此, 如果在 内导数 保持正号, 即 , 那么也有 , 于是 从而 ，因此函数 在 上单调增加. 证毕 例3-19 判定函数 在 上的单调性. 解 因为在 内 , 所以由判定法可知函数 在 上单调增加. 例3-20 讨论函数 的单调性. 解 由于 且函数 的定义域为 令 , 得 , 因为在 内 , 所以函数 在 上单调 减少; 又在 内 , 所以函数 在 上单调增加. 例3-21 讨论函数 的单调性. 解: 显然函数的定义域为 , 而函数的导数为 所以函数在 处不可导. 又因为 时, , 所以函数在 上单调减少; 因为 时, , 所以函数在 上单调增加. 说明: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且 连续, 那么只要用方程 的根及导数不存在的点来划分函数 的定义区间, 就 能保证 在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数 在每个部分区间上单调. 例3-22. 确定函数 的单调区间
解该函数的定义域为(∞,+∞) 而(x)=62-18+12=6(x-1)(x-2,令f(x)=0,得x=1,x1=2 (-∞,1] [1,2] 函数)在区间(利2+)内单调增加在区间[,2]上单调减少 例3-23讨论函数y=X的单调性 解函数的定义域为(-∞,+∞) 函数的导数为:y=3x,除x=0时,y=0外,在其余各点处均有y>0因此函数 y=x2在区间(-∞,0上单调减少 因为当x≠0时,y’>0,所以函数在[0+)及[0+)上都是单调增加的从而在 整个定义域(-∞,+O)内y=x2是单调增加的其在x=0处曲线有一水平切线 说明:一般地,如果∫“(x)在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正(或 负)时,那么∫(以)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的 x 例3-24证明:当X>1时, 证明:令 fx)=2√x-(3 每f(=11=(xz-1 因为当x>1时,∫(x)>0,因此∫(x)在[1,+∞)上单调增加,从而当x>1时, f(x)>f(,又由于()=0,故(x)>()=0 2√x-(3--)>0 2、x>3 1 x,也就是 x(x>1 二、函数的凹凸性与拐点 在给出凸性严格定义之前,从直观上看一下函数图形凸性的几何特征,如图所示, y=∫(x) y=f(x) 图形 方图 方 定义36-1设f在区间上连续,如果对上任意两点气,x,,恒有 f(巧+2)<)+(2 那么称()在上的下凸函数:如果恒有 互+互、f(x)+f(x2) 那么称准在/上的上凸函数 函数的上凸下凸的性质叫做函数的凸性
解 该函数的定义域为 . 而 ,令 , 得 . 列表 + - + ↗ ↘ ↗ 函数f(x)在区间 和 内单调增加, 在区间 上单调减少. 例3-23讨论函数 的单调性. 解 函数的定义域为 函数的导数为: , 除 时, 外, 在其余各点处均有 因此函数 在区间 上单调减少; 因为当 时, , 所以函数在 及 上都是单调增加的. 从而在 整个定义域 内 是单调增加的. 其在 处曲线有一水平切线. 说明:一般地, 如果 在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或 负）时, 那么 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 例3-24 证明: 当 时, . 证明: 令 , 则 因 为 当 时 , , 因 此 在 上 单 调 增 加 , 从 而 当 时 , ,又由于 , 故 , 即 , 也就是 ,( ). 二、函数的凹凸性与拐点 在给出凸性严格定义之前，从直观上看一下函数图形凸性的几何特征，如图所示， 图形上任意弧段位于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方 定义3-6-1 设 在区间I上连续, 如果对I上任意两点 , 恒有 那么称 在I上的下凸函数; 如果恒有 那么称 在I上的上凸函数. 函数的上凸下凸的性质叫做函数的凸性
二、判定函数的凸性的充分条件 定理设f(在[a,列上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么 (1若在(a,b)内f(>0则/(在回上是下凸的 (2若在(a,b)内(x)0 51(2,所以八(小在[上的图形是凹的 拐点:连续曲线y=()上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点 确定曲线y=八)的凹凸区间和拐点的步骤 (1)确定函数y=f对的定义域 (2)求出在二阶导数/() (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 (4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点; 注:根据具体情况(1)、(3)步有时省略. 例3-34判断曲线y=x的凸性 解:因为y=3x2,y"=6x.令y"=0得x=0, 当x0时,y”>0,所以曲线在[0,+∞)内为下凸的 例335求曲线y=3x2-4x2+1的拐点及凸性区间 解:(1)函数y=32-42+1的定义域为(∞,+∞ (2)y=12-12y 36x2-24x=36x(x (3)解方程y"=0,得x=0x2=3 (4)列表判断:
二、判定函数的凸性的充分条件 定理 设 在 上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在 内 , 则 在 上是下凸的; (2)若在 内 , 则 在 上是上凸的. 证明 只证(1)((2)的证明类似). 设 , 记 . 由拉格朗日中值公式, 得 , , 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 , 即 , 所以 在 上的图形是凹的. 拐点: 连续曲线 上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线 的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数 的定义域; (2)求出在二阶导数 ; (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略. 例3-34 判断曲线 的凸性. 解: 因为 , . 令 得 , 当 时, , 所以曲线在 内为上凸的; 当 时, , 所以曲线在 内为下凸的. 例3-35 求曲线 的拐点及凸性区间. 解: (1)函数 的定义域为 ; (2) , ; (3)解方程 , 得 , ; (4)列表判断:
0 (,2/3 2/3 (2/3,+∞) f"(r 11/27 [0 在区间(,0]和3上曲线是下凸的在区间3上曲线是上凸的.点(0)和 3‘27是曲线的拐点 例3-36问曲线y=x是否有拐点? 解y=4x,y”=12x2 当x≠0时,y>0,在区间(-∞,+∞)内曲线是下凸的,因此曲线无拐点 例337求曲线y=的拐点 解()函数的定义域为(∞,+∞) 2 33x2 9x3x2 (3)函数无二阶导数为零的点,二阶导数不存在的点为x=0 (4)判断:当x0;当x>0时,y”<0因此,点(0,0)是曲线的拐点
在区间 和 上曲线是下凸的, 在区间 上曲线是上凸的. 点 和 是曲线的拐点. 例3-36 问曲线 是否有拐点？ 解 , . 当 时, , 在区间 内曲线是下凸的, 因此曲线无拐点. 例3-37 求曲线 的拐点. 解 (1)函数的定义域为 ; (2) , ; (3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为 ; (4)判断: 当 时, ; 当 时, 因此, 点 是曲线的拐点
