第一节多元函数的基本概念 教学目的:学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念,掌握 多元函数的连续性定理,能够判断多元函数的连续性,能够求出 连续函数在连续点的极限 教学重点:多元函数概念和极限,多元函数的连续性定理 教学难点:计算多元函数的极限 教学内容: 平面点集n维空间 讨论一元函数时,经常用到邻域和区间的概念由于讨论多元函数的需要,我们首先 把邻域和区间概念加以推广,同时还要涉及其它一些概念 平面点集 设20(x0,y0)是x0平面上的一个点,6是某一正数与点P0(x0,0)距离小于8 的点P(x,y)的全体,称为点5的6邹域,记为U(F0,),即 U(2,6)=(PP0为半径的圆的 内部的点2(x,y)的全体 设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点如果存在点P的某一邻域 U(F)cE,则称P为E的内点(画图8-1显示).显然,E的内点属于E 如果E的点都是内点,则称E为开集例如,点集1=(x,y)0及(x<x2+y2<4 都是区域 开区域连同它的边界一起,称为闭区域,例如 (x,y)1x+y≥0及(xy)1≤x2+y2≤4} 都是闭区域
第一节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握 多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出 连续函数在连续点的极限. 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理. 教学难点：计算多元函数的极限. 教学内容： 一、平面点集 n维空间 讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念.由于讨论多元函数的需要，我们首先 把邻域和区间概念加以推广，同时还要涉及其它一些概念. 1． 平面点集 设 是 平面上的一个点， 是某一正数.与点 距离小于 的点 的全体，称为点 的 邻域，记为 ，即 = ， 也就是 = { │ }. 在几何上， 就是 平面以上点 为中心、 为半径的圆的 内部的点 的全体. 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点.如果存在点 的某一邻域 ，则称 为 的内点（画图8-1显示）.显然， 的内点属于 . 如果 的点都是内点，则称 为开集.例如，点集 中 每个点都是 1的内点，因此 1为开集. 如果点 的任一邻域内既有属于 的点，也有不属于 的点（点 本身可以属于 ，也可以不属于 ），则称 为 的边界点（可画图8-2显示）. 的边界点的全体 称为 的边界.例如上例中， 1的边界是圆周 和 =4. 设D是开集.如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于 D，则称开集D是连通的. 连通的开集称为区域或开区域.例如， 及 都是区域. 开区域连同它的边界一起，称为闭区域，例如 { │ ≥0}及{ │1≤ ≤4} 都是闭区域
对于点集E,如果存在正数K,使一切点P∈E与某一定点A间的距离AP不超过 P|≤k,对一切P∈E成立, 则称E为有界点集,否则称为无界点集例如,(xy)|1≤ ≤4}是有界闭区 域,(x,y)x+y>0}是无界开区域 2.n维空间 我们知道,数轴上的点与实数有一一对应关系,从而实数全体表示数轴上一切点的 集合,即直线在平面上引入直角坐标系后,平面上的点与二元数组(x,y)一一对应,从 而二元数组(x,y)全体表示平面上一切点的集合,即平面在空间引入直角坐标系后,空 间的点与三元数组(x,y,2)一一对应,从而三元数组(x,y,2)全体表示空间一切点 的集合,即空间一般地,设n为取定的一个自然数,我们称n元数组(1,x2) 的全体为x维空间,而每个n元数组(,x2…,xn)称为n维空间中的一个点,数x称为 该点的第个坐标n维空间记为Rn n维空间中两点(x1,x2,…,x)及(x1,x2,…,)间的距离规定为 容易验知,当n=1,2,3时,由上式便得解析几何中关于直线(数轴),平面,空间内 两点的距离 、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中,经常遇到多个变量之间的依赖关系,举例如下 例8-1圆柱体的体积V和它的底半径r、高之间具有关系 =2h 这里,当r、h在集合()>0>0内取定一对值(,1)时,的对应值就随之 确定 例82一定量的理想气体的压强P、体积和绝对温度之间具有关系 例83设R是电阻1、B2并联后的总电阻,由电学知道,它们之间具有关系 R=6 R1+22 定义815设E是n维空间R的非空子集,若存在对应关系∫,对E中任意点 F(x1,x2,…不n)∈D,按照对应关系,对应唯一一个y∈R,则称对应关系J是定 义在E上的n元函数,表示为 f:E→R 点P对应的数y称为函数J在点P的函数值,表示为 y=f(2 或 y=f(x1,x2,…,x2)
对于点集 ，如果存在正数K，使一切点 ∈ 与某一定点A间的距离|A |不超过 K，即 |A |≤k, 对一切 ∈ 成立， 则称 为有界点集，否则称为无界点集.例如，{ │1≤ ≤4}是有界闭区 域，{ │ >0}是无界开区域. 2． 维空间 我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的 集合，即直线.在平面上引入直角坐标系后，平面上的点与二元数组 一一对应，从 而二元数组 全体表示平面上一切点的集合，即平面.在空间引入直角坐标系后，空 间的点与三元数组（ ）一一对应，从而三元数组（ ）全体表示空间一切点 的集合，即空间.一般地，设 为取定的一个自然数，我们称 元数组（ ） 的全体为 维空间，而每个 元数组 称为 维空间中的一个点，数xi称为 该点的第i个坐标. 维空间记为R n . 维空间中两点 及 间的距离规定为 . 容易验知，当 =1，2，3时，由上式便得解析几何中关于直线（数轴），平面，空间内 两点的距离. 二、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下： 例8-1 圆柱体的体积V和它的底半径 、高 之间具有关系 . 这里，当 、 在集合 内取定一对值 时， 的对应值就随之 确定. 例8-2 一定量的理想气体的压强 、体积 和绝对温度 之间具有关系 = ， 例8-3 设 是电阻 、 并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系 定 义 8-1-5 设 是 维空间 的非空子集，若存在对应关系 ，对 中任意点 ，按照对应关系 ，对应唯一一个 ，则称对应关系 是定 义在 上的 元函数，表示为： ： 点 对应的数 称为函数 在点 的函数值，表示为： 或
数集E称为函数∫的定义域,函数值的集合称为函数的值域,表示为 f(B)={yy=f(P),P∈}cR 元函数有n个自变数x1,x2,…,当给定一个函数,没有特别指明它的定义域, 就认为它的定义域是使该函数有意义的点的集合,一般可由函数解析式确定 与一元函数相同,我们约定将n元函数J:E→R,表示为 y=f(2) y=f(x1,x2,…x2) 根据多元函数的概念,不难看出8-1,8-2,8-3都是多元函数,二元和二元以上的函数 统称为 多元函数 例84求函数z=1n(x+y)的定义域 解函数z=k(x+y)的定义域是(x+y)x+y>0),它是位于直线x+y=0上 方的平面,不含直线x+y=0(图85),是一个无界开区域 例8-5求函数z=acin(x+y)的定义域为 解函数z=acm(x2+y)的定义域为(x+y)2+y2≤1 (图8-6),这是一个闭区域 y x+y=u 图85 图86 设函数Z=f(x,y)的定义域为D对于任意取定的点F(x,y)∈D,对应的函数值 为z=f(x,y)这样,以x为横坐标、y为纵坐标、z=f(x,y)为竖坐标在空间就确定 一点M(x,y2)当(xy)遍取D上的一切点时,得到一个空间点集 (xy2)=f(xy),(xy)∈D, 这个点集称为二元函数z=f(x,y)的图形通常我们也说二元函数的图形是一张曲面 三、多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似,如果在F(x)→B(,0)的过程中,对应的函数 值f(xy)无限接近一个确定的常数A,我们就说A是函数x→x,y→y时的极限 下面用“E-6”语言描述这个极限概念 定义设函数f(xy)在开区域(或闭区域)D内有定义,B0(x0,y0)是D的内 点或边界点如果对于任意给定的正数E,总存在正数,使得对于适合不等式
数集 称为函数 的定义域，函数值的集合称为函数 的值域，表示为 . 元函数有 个自变数 ，当给定一个函数，没有特别指明它的定义域， 就认为它的定义域是使该函数有意义的点的集合，一般可由函数解析式确定. 与一元函数相同，我们约定将 元函数 ： ，表示为 或 根据多元函数的概念，不难看出8-1，8-2，8-3都是多元函数，二元和二元以上的函数 统称为 多元函数. 例8-4 求函数 的定义域. 解 函数 的定义域是 ，它是位于直线 上 方的平面，不含直线 （图8-5），是一个无界开区域. 例8-5 求函数 的定义域.为 解 函数 的定义域为 （图8-6），这是一个闭区域. 设函数 的定义域为 .对于任意取定的点 ，对应的函数值 为 .这样，以 为横坐标、 为纵坐标、 为竖坐标在空间就确定 一点 .当 遍取 上的一切点时，得到一个空间点集 ， 这个点集称为二元函数 的图形.通常我们也说二元函数的图形是一张曲面. 三、多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似，如果在 的过程中，对应的函数 值 无限接近一个确定的常数 ，我们就说A是函数 ， 时的极限. 下面用“ ”语言描述这个极限概念. 定义 设函数 在开区域（或闭区域） 内有定义， 是 的内 点或边界点.如果对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式
00,取6=√,则当0<√x-02+(y-0)2<6时, 总有 x"+y"sin <E 成立 lim f(x,y)=0 所以x→ 注:所谓二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于20(x,y)时,函数都无限接 近于A因此,如果F(x,y)以某一种特殊方式,例如沿着一条直线或定曲线趋于 B0(x,y)时,即使函数无限接近于某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在但 是反过来,如果当(x,y)以不同方式趋于(x,y)时,函数趋于不同的值,那么就可 以断定这函数的极限不存在下面用例子来说明这种情形 x2+y2≠0, 显然,当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时 lm f(x, 0)=lim 0=0 又当点 F(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时, lm f(o, y)= lim 0=0 虽然点F(xy)以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相 lim f(x, y) 等但是y0并不存在这是因为当点F(x,y)沿着直线y=kx趋于点(00 him x 时,有y=k→0 x2+k2y2-1+k2 显然它是随着k的值的不同而改变的 四.多元函数的连续性 有了多元函数极限的概念,就不难说明多元函数的连续性
的一切点 ，都有 成立，则称常数 为函数 当 ， 时的极限，记作 ， 或 （ ），这里 . 为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限. 例8-6 设 （ ）， 证明 . 证 因 为 ， 可 见，对任给 ，取 ，则当 时， 总有 成立 所以 注：所谓二重极限存在，是指 以任何方式趋于 时，函数都无限接 近于A.因此，如果 以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于 时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但 是反过来，如果当 以不同方式趋于 时，函数趋于不同的值，那么就可 以断定这函数的极限不存在.下面用例子来说明这种情形. 显然，当点 沿 轴趋于点 时， ；又当点 沿 轴趋于点 时， . 虽然点 以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相 等,但是 并不存在.这是因为当点 沿着直线 趋于点 时,有 ， 显然它是随着 的值的不同而改变的. 四．多元函数的连续性 有了多元函数极限的概念，就不难说明多元函数的连续性
定义设函数J∫(x,y)在开区域(闭区域)D内有定义,0(x0,0)是D的内点或 边界点且 ∈D如果 lim f(x,y)=f(xo, yo) 则称函数f(x,y)在点(x0,y0)连续 定义如果函数∫(x,y)在开区域(或闭区域)D内的每一点连续,那么就称函数 ∫(x,y)在D内连续,或者称(x,y)是D内的连续函数 以上关于二元函数的连续性概念,可相应地推广到x元函数J(2)上去 若函数∫(xy)在点0(x0,y)不连续,则称B为函数∫(x,y)的间断点这里顺便 指出:如果在开区域(或闭区域)D内某些孤立点,或者沿D内某些曲线,函数 f(x,y)没有定义,但在D内其余部分都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点, 都是函数f(xy)的不连续点,即间断点 与闭区域上一元连续函数的性质相类似,在有界闭区域上多元连续函数也有如下性 质 性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上一定 有最大值和最小值这就是说,在D上至少有一点B及一点B2,使得f()为最大值而 J(2)为最小值,即对于一切P∈D.有 f(2)≤f(2)≤f(21) 性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不 同的函数值,则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次特殊地,如果是 函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数,则在D上至少有一点g,使得 f()=4 元函数中关于极限的运算法则,对于多元函数仍然适用:根据极限运算法则,可 以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数:在分母不为零处,连续函数的商是连 续函数多元连续函数的复合函数也是连续函数 与一元的初等函数相类似,多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数,而这 个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的(这 里指出,基本初等函数是一元函数,在构成多元初等函数时,它必须与多元函数复合) 例如 x+x 是两个多项式之商,它是多元初等函数又例如sn(x+y)是由基本初等函数in与多 项式=x+y复合而成的,它也是多元初等函数 根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续 性,再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性,我们进一步可以得出如下结论: 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域是指包含在定义域内的区 域或闭区域 由多元初等函数的连续性,如果要求它在点20处的极限,而该点又在此函数的定 义区域内,则极限值就是函数在该点的函数值,即 f(2)=f(20)
定义 设函数 在开区域（闭区域） 内有定义， 是 的内点或 边界点且 .如果 , 则称函数 在点 连续. 定义 如果函数 在开区域（或闭区域） 内的每一点连续，那么就称函数 在 内连续，或者称 是 内的连续函数. 以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到 元函数 上去. 若函数 在点 不连续，则称 为函数 的间断点.这里顺便 指出：如果在开区域（或闭区域） 内某些孤立点，或者沿D内某些曲线，函数 没有定义，但在 内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点， 都是函数 的不连续点，即间断点. 与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性 质. 性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 上的多元连续函数，在 上一定 有最大值和最小值.这就是说，在 上至少有一点 及一点 ，使得 为最大值而 为最小值，即对于一切P∈D, 有 . 性质2（介值定理） 在有界闭区域 上的多元连续函数，如果在 上取得两个不 同的函数值，则它在 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.特殊地，如果 是 函数在 上的最小值 和最大值 之间的一个数，则在 上至少有一点 ，使得 . 一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用；根据极限运算法则， 可 以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商是连 续函数.多元连续函数的复合函数也是连续函数. 与一元的初等函数相类似，多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数，而这 个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的（这 里指出，基本初等函数是一元函数，在构成多元初等函数时，它必须与多元函数复合）. 例如， 是两个多项式之商，它是多元初等函数.又例如 是由基本初等函数 与多 项式 复合而成的，它也是多元初等函数. 根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续 性，再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论： 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区 域或闭区域. 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 处的极限，而该点又在此函数的定 义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即
函数 f(r,y)=x+y xy是初等函数,它的定义域为D=(xy)x≠0,y≠0) 因D不是连通的,故D不是区域但21=(x,y)x>0,y>0)是区域,且D1CD,所 以D是函数f(x,y)的一个定义区域因(12)∈D1,故 xty =f(1,2) 3 如果这里不引进区域D1,也可用下述方法判定函数f(x,y)在点0(12)处是连续 的:因2是f(x,y)的定义域D的内点,故存在5的某一邻域U(F)cD,而任何邻 域都是区域,所以U(。)是f(xy)的一个定义区域,又由于f(x,y)是初等函数,因 此f(x,y)在点2处连续 一般地,求P→ f(p 如果∫(P是初等函数,且2是(P)的定义域的内点, 则∫(P)在点处连续,于是m。()=() xy+1-1 xy+1-1 (√xy+1+1 小结:本节在一元函数的基础上,讨论多元函数的基本概念讨论中我们以二元函 数为主,针对二元函数的极限及连续予以重点介绍.从二元函数到二元以上 的多元函数则可以类推 作业 f(x, y)=x+y-xytan- 1.已知函数 y,试求(x,) 2.试证函数F(x,y)=1xlny满足关系式 F(xy, uv)=F(x, u)+F(x, v)+FO, u)+FO v) 3.已知函数f(,,)=a"+“,试求J(x+y,x-y,x)
例8-7 求 . 解 函数 是初等函数，它的定义域为 . 因 不是连通的，故 不是区域.但 是区域，且 ，所 以 是函数 的一个定义区域.因 , 故 . 如果这里不引进区域 ，也可用下述方法判定函数 在点 处是连续 的：因 是 的定义域 的内点，故存在 的某一邻域 ，而任何邻 域都是区域，所以 是 的一个定义区域，又由于 是初等函数，因 此 在点 处连续. 一般地，求 ，如果 是初等函数，且 是 的定义域的内点， 则 在点 处连续，于是 . 例8-8 求 . 解 = = = . 小结：本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念.讨论中我们以二元函 数为主，针对二元函数的极限及连续予以重点介绍.从二元函数到二元以上 的多元函数则可以类推. 作业： １．已知函数 ,试求 ． ２．试证函数 满足关系式 . ３．已知函数 ，试求