第一节定积分在物理学上的应用 变力沿直线所作的功 例1半径为γ的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的比重为1,现将这球从水中取 出,需作多少功? 解:建立如图所示的坐标系 将高为的球缺取出水面,所需的力(x)为 F(x=G-F x 1·g 其中 是球的重力,F表示将球缺取出之 后,仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力 由球缺公式 丌,x 2r F(x)=丌-x2(r-)g(x∈[0,2冂]) 从而 十分明显,F(x)表示取出水面的球缺的重力.即:仅有重力作功,而浮力并未作功 这是一个变力.从水中将球取出所作的功等于变力F(x)从0改变至2r时所作的功 取x为积分变量,则xE[0,27],对于[0,2门]上的任一小区间[xx+4x],变力F(x)从0 dw= F(x)dx=Tx(r-)gdr 到x+dx这段距离内所作的功 48(-3)dr=g|m,_丌 这就是功元素,并且功为 、水压力 在水深为h处的压强为P=yh,这里y是水的比重如果有一面积为A的平板水平地放 置在水深h处,那末平板一侧所受的水压力为P=PA=ykA.若平板非水平地放置在水 中,那么由于水深不同之处的压强不相等。此时,平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来 计算。 例2边长为a和b的矩形薄板,与水面成a角斜沉于水中,长边平行于水面而位于水深点 处。设a>b,水的比重为y,试求薄板所受的水压力P。 斜放板的高度 cosC-a) b h+b sina 解:由于薄板与水面成角斜放置中,则百位于本中最深的位置是+bna 取x为积分变量,则木力b平1x表 在[,h+bina]中 任取一小区间【xx+],与此小区间相应的薄板上一个小窄条形的面积是sina,它 d 所承受的水压力约为 sina,于是,压力元素为 sin a +osna (h+ bsin a)2-h2]-abhy+5ab(b sin a) Sin ar
第一节 定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所作的功 例1 半径为 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 ，现将这球从水中取 出，需作多少功? 解：建立如图所示的坐标系 将高为 的球缺取出水面，所需的力 为： 其中： 是球的重力， 表示将球缺取出之 后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力. 由球缺公式 有 从而 十分明显， 表示取出水面的球缺的重力. 即：仅有重力作功，而浮力并未作功，且 这是一个变力. 从水中将球取出所作的功等于变力 从 改变至 时所作的功. 取 为积分变量，则 ，对于 上的任一小区间 ，变力 从 到 这段距离内所作的功 这就是功元素，并且功为 二、水压力 在水深为 处的压强为 ，这里 是水的比重.如果有一面积为 的平板水平地放 置在水深 处，那末平板一侧所受的水压力为 .若平板非水平地放置在水 中，那么由于水深不同之处的压强不相等。此时，平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来 计算。 例2 边长为 和 的矩形薄板，与水面成 角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深 处。设 ，水的比重为 ，试求薄板所受的水压力 。 解：由于薄板与水面成 角斜放置于水中，则它位于水中最深的位置是 . 取 为积分变量， 则 (注意： 表示水深).在 中 任取一小区间 ，与此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是 ，它 所承受的水压力约为 ，于是，压力元素为
这一结果的实际意义十分明显:abhy正好是薄板水平放置在深度为的水中时所受到 ab(b sin ay 的压力;而2 是将薄板斜放置所产生的压力,它相当于将薄板水平放置在深度为 bsin a 处所受的水压力 、引力 由物理学知道:质量为粥1、2,相距为r的两质点间的引力大小为 F=k k为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力,由于细棒上各点与该质点的距离是变化的,且各 点对该质点的引力方向也是变化的,便不能简单地用上述公式来作计算了 例3设有一半径为R,中心角为φ的圆弧形细棒,其线密度为常数P,在圆心处有 量为m的质点M,试求这细棒对质点M的引力。 解决这类问题,一般来说,应选择一个适当的坐标系
这一结果的实际意义十分明显： 正好是薄板水平放置在深度为 的水中时所受到 的压力；而 是将薄板斜放置所产生的压力，它相当于将薄板水平放置在深度为 处所受的水压力. 三、引力 由物理学知道：质量为 、 ，相距为 的两质点间的引力大小为 为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向。 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各 点对该质点的引力方向也是变化的，便不能简单地用上述公式来作计算了。 例3 设有一半径为 ， 中心角为 的圆弧形细棒， 其线密度为常数 ， 在圆心处有一质 量为 的质点 ， 试求这细棒对质点 的引力。 解决这类问题，一般来说，应选择一个适当的坐标系