第一节不定积分的概念与性质 教学目的:理解不定积分的概念及性质;熟悉不定积分的基本公式 教学重点:不定积分概念 教学难点:不定积分概念 教学内容 一、原函数与不定积分的概念 1原函数的概念 例如,设已知直线运动质点的速度为v(),求质点的运动方程 归结到求一个可微函数a(,使s()=v(),并满足6=山()由此,问题 设质点的运动方程为s=(),s(0)=0,于是就有s()= 抽去问题的物理内容,从数学的角度看,就是要进行求导的逆运算即 使,设∫(x)在区间上有定义,求区间上可微函数F(x),使 F(x)=f(x),x∈l 定义如果在区间l上,F(x)=f(x),则称函数F(x)在区间上是函数J(x) 的原函数 现在的问题是 (1)f(x)在什么条件下存在原函数? (2)如果f(x)有原函数,问它有多少个原函数? (3)如果f(x)有多个原函数,问这些原函数之间有何关系? 这些问题可由下面的定理回答 定理如果函数f(x)在上连续,则在区间Z上函数(x)必有原函数 定理在区间上,如果(x)是f(x)的一个原函数,则F(x)+C(C为任意常数) 也是∫(x)的原函数 定理如果在区间上,F(x),G(x)都是∫(x)的原函数,则存在常数C,使 G(x)=F(x)+C(x∈D) 例设“(1x2(x)=1 (C为常数),验证:F(x)、G(x在R 上是f(x)=x的原函数
第一节 不定积分的概念与性质 教学目的： 理解不定积分的概念及性质；熟悉不定积分的基本公式 教学重点：不定积分概念 教学难点：不定积分概念 教学内容： 一、原函数与不定积分的概念 1.原函数的概念 例如，设已知直线运动质点的速度为 ，求质点的运动方程. 设质点的运动方程为 ，于是就有 .由此，问题 归结到求一个可微函数 ，使 ，并满足 . 抽去问题的物理内容，从数学的角度看，就是要进行求导的逆运算. 即 使，设 在区间 上有定义，求区间上可微函数 ，使 . 定义 如果在区间 上， ，则称函数 在区间 上是函数 的原函数. 现在的问题是： （1） 在什么条件下存在原函数？ （2）如果 有原函数，问它有多少个原函数？ （3）如果 有多个原函数，问这些原函数之间有何关系？ 这些问题可由下面的定理回答. 定理 如果函数 在 上连续，则在区间 上函数 必有原函数. 定理 在区间 上，如果 是 的一个原函数，则 （ 为任意常数） 也是 的原函数. 定理 如果在区间 上， ， 都是 的原函数，则存在常数 ，使 . 例1 设 ， （ 为常数），验证： 、 在 上是 的原函数
解 F(x)=(x2)=x=f(x)x∈R,G(x)=(x2)+(C)′=x=f(x)x∈R F(x)、G(x)都是(x)的原函数,且G(x)=F(x)+C. 这表明,如果f(x)有一个原函数F(x),则有无穷多个原函数F(x)+C 二cos2x 例2验证函数 ,-cos2x都是函数sin2x的原函数 (-cos 2x)=-(sin 2x)=sin 2X xER 解 (cos x)=-(2cos x sin x)=sin 2X XER cos∠x ,-cos2x都是函数sin2x的原函数 2不定积分的概念 定义函数(x)(在区间上)的原函数的全体所成之集,叫做f(x)(在区 间上)的不定积分,记为Jf(xk 即 f(x)dx=F(x)+C 其中,∫(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,C叫做积分常数 由此可见要计算函数f(x)的不定积分,只需求出其中的一个原函数,再加 上一个任意常数即可 例如,因为3 ,所以3是x2的一个原函数,因此 、基本积分表 1Jx=kx+C(k为常数 +1 In x|+ arctan x+c 4)1+x
解： ， 、 都是 的原函数，且 . 这表明，如果 有一个原函数 ，则有无穷多个原函数 . 例2 验证函数 ， 都是函数 的原函数. 解 ， ， ， 都是函数 的原函数. 2.不定积分的概念 定义 函数 （在区间 上）的原函数的全体所成之集，叫做 （在区 间 上）的不定积分，记为 . 即 . 其中， 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做积分常数. 由此可见要计算函数 的不定积分，只需求出其中的一个原函数，再加 上一个任意常数即可. 例如，因为 ， 所以 是 的一个原函数，因此 . 二、基本积分表 1) ( 为常数) 2) ( ) 3) 4)
6) COS x 7)sin x dx=-cosx+C sec" dx= tan x+ 8) dx 9) 10)]sec tan x dx=secx+C 11)csc xcot x dx=-cscx+C edx=e+c 14) sinh xdx=cosh x+C 15)」 cosh x dx= sinh x+C 例3求下列不定积分: 1+x+ (1) (3)1x(1+x2) (4)Je-309+2)dx (5)Jtanxdx x2、zdx=[x2dx=2x2+C 解:(1) 3x2+3x-1 X 1+x+x2 (1+x2)+x dx x(1+x2) dx=In/x+ arctan x+C 4 er-3cosx+*e)dx=e"dx-3 cos xdx+ (2e) " dx=er-3sinx+(2e)+c 1+1n2 (5)tan'xdx=(sec x-1)dx=sec'xdx-dx=tanx-x+C 三、不定积积分性质 1.不定积分与微分(或导数)的关系 ((/(x)dx)=/(x) 或刂」(xk=(x)ax
5) 6） 7） 8） 9） 10） 11） 12） 13） 14） 15） 例3 求下列不定积分： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） . 解：（1） ； （2） ； （ 3 ） ； （ 4 ） ； （5） . 三、不定积积分性质 1.不定积分与微分（或导数）的关系 (1) 或 ；
「F(x)dx=F(x)+C 2.线性运算性质 )J(=kJf(x(k≠0) 2)J[(x)士g()4k=Jf(k址(x)
(2) 或 . 2.线性运算性质 (1) ； (2 )
