第二节数列的极限 教学目的:理解数列极限的概念,为研究微积分作好工具准备 教学重点:收敛数列的性质及运算法则 教学难点:数列极限概念的理解及计算 、数列极限的概念及定义 本节讨论定义域为自然数集N,值域含于实数集R的函数。其函数只可按照变量的 顺序排列为 不=∫(1),巧=∫(2),…,=f(m),… 因此,有下列定义 定义设是定义于N上的一个函数,其函数值按=1,2,3…的顺序排列成一个序列 1=(1),巧2=J(2),x=J(3),…,不=f(n),… 就成为数列,简单地记作(x]。不称为数列的第n项或通项,n为脚标 (1) ∫(-12 (3){(-1-1-1,-…(-… 观察上面的几个数列,我们可以发现随着n的无限增大,有的数列无限的趋近一个 常数a,有的数列无限增大,而有的数列则与前两种情况不同数列的极限就是研究在自 变量n无限增大这种趋势下,因变量石=∫(n)的变化趋势.当n→0(即n无限增大) 时,如果的不=J(m)的变化趋势由一个确切的“目标”a,那么常数a就叫做该数列 f()在n→0时的极限例如:当n→时,的极限为0,(nJ的极限也是 n的极限为2,而(2)5(-没有极限 如果数列不,当n无限增大时,数列不x的取值能无限接近常数a,我们就称a是xx当 n→00时的极限,记作 当然,以上的说法仅仅是数列极限的一种定性描述我们在研究数列极限时,只凭定性 描述和观察很难做到准确无误,特别在理论推导中,以直觉作为推理的依据是不可靠 的,因此有必要寻求用精确的、定量化的数学语言来刻画数列的极限我们注意到在数列 极限中“n→00”,以及“xx无限的趋近于a”,它主要强调的是“一个过程”以及 种“接近”程度,经过前人的不断总结给出了一下定义
第二节 数列的极限 教学目的：理解数列极限的概念，为研究微积分作好工具准备 教学重点：收敛数列的性质及运算法则 教学难点：数列极限概念的理解及计算 一、数列极限的概念及定义 本节讨论定义域为自然数集N，值域含于实数集R的函数。其函数只可按照变量的 顺序排列为 ， ，…， ，… 因此，有下列定义： 定义 设f是定义于N上的一个函数，其函数值按 …的顺序排列成一个序列： ， ， ，…， ，… 就成为数列，简单地记作 。 称为数列的第n项或通项，n为脚标. 例如： 观察上面的几个数列，我们可以发现随着 的无限增大，有的数列无限的趋近一个 常数 ，有的数列无限增大，而有的数列则与前两种情况不同.数列的极限就是研究在自 变量 无限增大这种趋势下,因变量 的变化趋势.当 （即 无限增大） 时，如果的 的变化趋势由一个确切的“目标” ，那么常数 就叫做该数列 在 时的极限.例如：当 时， 的极限为0， 的极限也是 0， 的极限为2，而 与 没有极限. 如果数列 ，当 无限增大时，数列 的取值能无限接近常数 ，我们就称 是 当 时的极限，记作 . 当然，以上的说法 仅仅是数列极限的一种定性描述.我们在研究数列极限时，只凭定性 描述和观察很难做到准确无误，特别在理论推导中，以直觉作为推理的依据是不可靠 的，因此有必要寻求用精确的、定量化的数学语言来刻画数列的极限.我们注意到在数列 极限中“ ”，以及“ 无限的趋近于 ”，它主要强调的是“一个过程”以及 一种“接近”程度，经过前人的不断总结给出了一下定义
设x为一个数列对于任意给定的正数E(不论它多么小),总存在正整数M,使得对 于n>M时的一切不,不等式 a0,3M>0,使得Vn>M,有-aM,就有 -叫0,存在正整数M,只要n>N,就有,-a0,M1是大于M的确定的正整数(例如M1=M+5),当n>M1时, x-d0,做一M时,有 1M的不均满足
设 为一个数列对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 ，使得对 于 时的一切 ，不等式 都成立，则称常数 是数列 的极限，或者称数列 收敛于 ，记为 或 . 如果数列没有极限，就说数列是发散的. 为了以后论述的方便, 数列极限的定义，常用逻辑符号来表达： ，使得 ，有 . 定 义 中 极 限 （ 是 一 个 常 数 ） 及 任 意 给 定 的 正 数 ， 它 确 定 了 一 个 领 域 ；总存在正整数 ，也确定数列 中的某一项 ；只要 ，就有 成立.即说明从 以后的所有项 ，全落入 中. 需要指出的是，任意给定的数 ，一方面由于 的任意性，决定了它的取值有无限种的 可能，从而可以任意的小，以刻画 与 的无限逼近. 另一方面是 的确定性，它是任 意给定的，一旦给出后，它就定了，这样就可以找出 （即确定出 这一项），使得 以后的所有项在 中，但是 不是唯一的，只要保证 存在即可.例如 对于某一个 ，存在正整数 ，只要 ，就有 成立，那么此时也有：对于上 面的 ， 是大于 的确定的正整数（例如 ），当 时， 也成立. 为了更直观的说明 与 之间的关系，看下面例题。 例2-1 用数列极限定义证明 。 证 因为 ， ，欲使 。只要 ，即 ，取 （即确定了 这 一项），则当 时，有 所以 在以上证明中，当 时， .也就是说从第200项以后，数列的所有项： 均满足 当 时， ， 的 均满足
xm-al 103.需要指出,一般e(E>0)越小,则M越大,但N不是唯一的例如 100时,取M=300也行(但N=190则不行,为什么?) 例1-4设0), 则 (1 +t)=1+nt+ (n-1) 所以 x-0= (1+) v>0要使x-0M时 有 lr-olke 所以 imq2=0(e) sin(n+1) 0 例2-2用极限定义证明→n2+3n+1 证因为 sin(n+ -02+3+x2+3+1 in(n+ x2-0 2+3m+1 0要使-0 N 则对n>M 有 -0=+1 0|<E 所以 1) n2+3n+1
.需要指出，一般 越小，则 越大，但 不是唯一的.例如 时，取 也行（但 则不行，为什么？）。 例1-4 设 ，证明数列 的极限是0。 证 因 令 ,(由于 ，故 )， 则 所以 . 要使 ，只要 ，即 ，取 ，则当 时， 有 ， 所以 在以上证明中为了取得N的较简单的表达式，应用了二项式定理。如果从 通过取 对数得 ，取 也可以。在用 定义证明极限时，为了得到N的 较为简单的表达式，要对 进行适当的放大，其主要手法是使 ，当 时，比较容易地解出 。 例 2-2 用极限定义证明 证 因为 要使 ，只要 ，即 。取 ，则对 有 所以
, lim xx ≠ ()imx=aim-a=0(由此可得)JimC=C imx2=a→ lim x=|l (1)仅就 (*,+yn)=lim xm +lim yx=a+b 证之 由如x=a,1my=b E>0,31>0n>M,有3-a|0,M2>0,n>M2,有p-a0,N=max(M,M2)>0使得vn>M,有 (x2+y)-(a+b)≤|-a+以-b≤+5=c 注证明中出现了M,主要是为了体现对同一标准2巧→a,)→b“速度”的不 X →0 同。例如 当2200时 200,取 M1=200, -4<5,p,-b<5 E 200,取M2=3。至于 2,中用2是为了 最后结论与定义一致。 (2)、(3)在后面加以证明,(4)、(5)可直接用极限定义证明(读者自证)。 0 定理 若数列{x】有界,且 lim x,,,=0 N→
在以上证明中。我们也可以使 。但若使 ，那N的表 达式就过于繁琐。由于极限定义中的N不唯一，证明时我们力求使N更简单一些。需要 指出：一般情况下，用定义只能验证某数是否为某数列的极限，不能用它来求数列的极 限，但通过数列的 定义可以证明有关的运算法则及定理，再通过它们来求极限。 下面我们介绍极限的运算法则和求极限的一些方法。 二、收敛数列的性质及运算法则 对于一个数列，如何判断它是否收敛（即极限是否存在）？如果收敛，又怎样求出它的 极限？这是极限理论中至关重要的两个基本问题，为此我们必须讨论数列极限的性质及 运算法则。 定理 设 ，则 （1） （2） （3） （4） （由此可得） （5） 证 （1）仅就 证之。 由 知： 因为 所以 ，有 注 证明中出现了 主要是为了体现对同一标准 “速度”的不 同。例如 。当 时， ，取 ，取 。至于 ，中用 是为了 最后结论与定义一致。 （2）、（3）在后面加以证明，（4）、（5）可直接用极限定义证明（读者自证）。 定理 若数列 有界，且 ，则
证由{x]有界知M>0,Vm∈M,有|xl≤M, 又12=0,可知,V80M0y>,有M时) 所以,VE>0,3N>0,Vn>M,有xy-00,丑M1>0,n>M,有-a|0,M2>0,vx>M2,有,-a n>max(N, N2)H E0,3N=ma(M,M2,n>M,有x-al1时 1>0,所 令 即 所以 (1+a2) n(n 即 因为
证 由 有界知 ，有 ， 又由 ，可知， ，有 因为 （当 时） 所以， ，有 ， 也即 . 读者也许注意到了，对于一个具体数列我们用定义证明其极限是某个数时，项数N是一 个具体的表达式（表达式不惟一）。而对于抽象的数列极限（如以上的法则等）证明,项 数N是通过已知数列极限中所得的项数确定的，它们虽然不尽相同，但是目的是为了保 证项数N的存在性。用 定义证明一些命题，初学者有一定的难度，下面再介绍夹 逼定理。通过该定理可以证明一些数列的收敛性，相对而言，比用 定义要简单一 些。 定 理 （ 夹 逼 定 理 ） 已知三数列 满足 且 则 证 由 , 得 当 时， 即 所以 有 所以 . 例 2-3 证明 ， 证 欲证 ，即证 因为 时， ，所以 令 即 所以 即 又因为
所以 lm0=0.1m 由于x→ →a《x-1,(读者自己证明) lim u=0 n=0 所以x 定理(极限的惟一性)设如列=a,mx=b 则a=b 证0≤k-b=(a-x)+(x2-b)s-a+x-b 由已知条件可知 k-=0.如mk-b=0,所以如m-+k- lm0=0 由夹逼定理可知 lim a-b=a-b=0 所以 定理(极限的保号性)设mx=a,且c0.n>M,有 c0。取 E1 >0,3>0.Vn>M|-a 2 d+a 0,Vn>M2 d-c 有因为c0,取 E2 2 取N=max{M,M2},则当为>M时,有 0,n>M有 取 M=max{…下2+1 则切n∈M,有x<M,所以{鸡有界 以上的推论表明,有界是数列收敛的必要条件但是有界数列也不一定收敛,例如 虽然有界,但它发散
所以 由于 ，（读者自己证明） 所以 ,即 . 定理 （极限的惟一性） 设 ，则 证 由已知条件可知： ,所以 又 由夹逼定理可知 所以 定 理 （ 极 限 的 保 号 性 ） 设 ,且 ，则 ,有 。 证 因 ，故 。取 ，有 , 即 有因为 ，所以 ，取 ，有 , 即 取 ，则当 时，有 推论 若 收敛，则 有界. 证 因为 收敛，即使 那么 由于 ，据定理1-2-5可知， ， ,有 取 则 ，有 ，所以 有界. 以上的推论表明，有界是数列收敛的必要条件.但是有界数列也不一定收敛，例如 虽然有界，但它发散
夏我们利用夹逼定理与极限的保号性定理证明极限的乘法、除法运算法则.已知设 y N→ 则 a lim(- Dm)=lim x im =ab xx lim x (2)#70y, limyn 证 (1)因为 0s*,m-ab=,m-x, b+x, b-abl ≤|p-+|x,-al ≤My2-b+|2-a 又因为 imM少y2-b=0,1imx-a=0 所以 im[M2-+}|-a=0 又 所以 limin m-ab=0 lim(xwy)=ab 2)只需证:xνb,在利用极限的乘法运算法则就可得到除法法则 因为b 又因为 m=b→1mbp=>2(≠0 所以 彐N>0,Vn>M 有 即彐M>0,Vn>M有 B valls lbl 因为 lim 0=0. lim 0 所以 即 N→0 y 以上“乘法、除法”极限的证明使是夹逼定理的一个应用,其目的是说明有了一些运算 法则后,用定义证明一些命题就不是唯一的途径了
夏我们利用夹逼定理与极限的保号性定理证明极限的乘法、除法运算法则.已知设 ，则 （1） （2） 证 （1）因为 又因为 所以 又 所以 即 （2）只需证： ，在利用极限的乘法运算法则就可得到除法法则. 因为 又因为 所以 ， 有 即 ， 有 因为 所以 即 以上“乘法、除法”极限的证明使是夹逼定理的一个应用，其目的是说明有了一些运算 法则后，用定义证明一些命题就不是唯一的途径了
… 例2-4 证明(Vz2+12+2 2+n 证明:因为 而 删2+= ,、2 所以原式极限为1 例2-5求。(1m2B n(n+1) 1 23 +…+-1 n(n+1) 23 n 2+1 故 11 x→(102203 (n+1)
例2-4 证明 证明：因为 而 所以原式极限为1. 例2-5 求 解： 故