极限存在准则及两个重要极限（题解）

§1.3极限存在准则及两个重要极限 准则I:(夹逼准则或夹逼定理) 如果数列{xn},{yn}及{n}满足下列条件 NN 0 0 则数列{xn}的极限存在.且 lim x=a 准则I′(1)当x∈{x0M时) 有g(x)≤f(x)≤h(x)成立 (2)lim g(x)=lin m n(x=a x→>x x→x 则imf(x)存在.且limf(x)=a(x->o) x→>x0 x→

1 §1.3 极限存在准则及两个重要极限 准则Ⅰ: (夹逼准则或夹逼定理) 如果数列 { }n x , { }n y 及 { }n z 满足下列条件 (1) , 0 0 , 1, n n n y x z n N N      (2) y zn a n n n     lim lim 则数列 { }n x 的极限存在. 且 xn a n   lim . 准则 I (1)当 x{x 0  x  x0  h (或 x  M 时) 有 g(x)  f (x)  h(x) 成立. 则 lim ( ) 0 f x xx 存在. 且 f x a x x   lim ( ) 0 (x ) (2) g x h x a x x x x     lim ( ) lim ( ) 0 0

证明略 证明:∴ lim y=lim=n=a n→> g>0.彐N,和N使得 当n>N1时,a-EN,时 zN时 E<nsx<ensata x.-<E limAn s a

2 取 max( , , ) N  N0 N1 N2 由条件 ① 即有 n  N 时 a y x z a n n n         n    x a  lim . n n x a    证明: lim lim n n n n y z a     1    0,N 和 , N2 使得 当 n  N1 时, , a yn    当 n  N2 时 n z a   证明略

例1.3.1求lim 2 n>n2+n+1n2+n+2 ntn+n 解 2 设S +n+1n2+n+2 n+n+n (n+1)1+2+…+n 1+2+…+nn(n+1) <.< 2(n2+2n) n +en n2+n+12(n2+n+1) .li n(n+D)=lim-+n+)2 n(n+1)1 2(n2+2n) lim s

3 例1.3.1 求 2 2 2 1 2 lim n 1 2 n  n n n n n n n                解: 设 2 2 2 1 2 1 2 n n S n n n n n n n           2 2 2 2 ( 1) 1 2 1 2 ( 1) 2( 2 ) 2 1 2( 1) n n n n n n n S n n n n n n n n                   2 2 ( 1) ( 1) 1 lim lim n n 2( 2 ) 2( 1) 2 n n n n   n n n n        1 lim . 2 n n S   

夹逼定理的作用: ①判定一个函数(数列)极限是否存在 ②给出一种求极限的方法:为了求得一个比较困难的函数 (数列)的极限,可寻找两个已知的或易求得的有同一极限的 函数(数列),将其夹在中间,那么这个函数(数列)的极限必 存在,且等于这个公共的极限 利用准则r证明1 7 sinx=1(重要极限I) x→>0x (x→>0+0,x→>0-0)

4 夹逼定理的作用: ①判定一个函数（数列）极限是否存在. ②给出一种求极限的方法: 为了求得一个比较困难的函数 （数列）的极限, 可寻找两个已知的或易求得的有同一极限的 函数（数列）, 将其夹在中间, 那么这个函数（数列）的极限必 存在, 且等于这个公共的极限. 利用准则 I 证明 0 sin lim 1 x x  x  (重要极限Ⅰ) (x 00, x 00)

BAD 在单位圆中, 0△AN 设圆心角∠AOB=x(00

5 △ AOB 的面积< 圆扇形 AOB 的面积< △ AOD 的面积 即 x x tan x 2 1 2 1 sin 2 1   sin tan x x x   同除 sin x x x x cos 1 sin 得 1  或 sin cos 1 x x x   由于 cos x 与 x sin x 都是偶函数, limcos 1 0   x x 而 当 0 2   x   时, 所以 1 sin lim 0   x x x (x 0时，sin x ～ x) 在单位圆中, 设圆心角 ) 2 (0  AOB  x  x  o C A B D x 上式仍成立

说明:若=0(x)且lim(x)=0 则:1im sin (x) sin u P(x L→>0

6 说明: 若 u (x) 且 lim(x)  0 则: 1 sin lim ( ) sin ( ) lim 0    u u x x  u 

例:求下列各式极限 Sinx anx (1)lim lim cosx= lim sInx x→>0x x→0xx→0 COS x x>0 2 x→0时,tanx~x (2)lim Sin 2x Sine X x>02x X X 1-cOS x 2Sin (3 )lim 21.Sn =im Im x→>0 2 X →0 2x→0(x X SIn X x→0)时,1-c0sx x→>0 X

7 (2) x x x sin 2 lim 0 (3) 2 0 1 cos lim x x x   x x x 2 2sin 2 lim 0   2 2 2 0 2 2sin lim x x x  2 2 0 2 2 sin lim 2 1         x x x 2 0 2 2 sin lim 2 1               x x x 2 1  例: 求下列各式极限 (1) x x x tan lim 0 x x x x cos sin lim 0  x x x x x sin lim cos 1 lim 0 0   1 x  0时，tan x ～ x x  0时， 1  cos x ～ 2 2 x

单调数列:如果数列{xn}满足条件 x≤x2≤x3s… s onsen+1≤…就称数列{xn}是单调 增加的 如果数列{xn}满足条件x1≥x2≥x3≥…≥xn≥xn+1 就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少的数列统称为单调数列 准则Ⅱ.(单调有界原理)单调有界数列必有极限 M X, x M

8 单调数列: { }n 如果数列 x 满足条件 x1  x2  x3  xn  xn1  就称数列 { }n x 是单调 增加的. 如果数列 { }n x 满足条件 x1  x2  x3  xn  xn1  就称数列 {xn } 是单调减少的. 单调增加和单调减少的数列统称为单调数列.  M M x 1 x 2 x 3 x A 准则Ⅱ. (单调有界原理) 单调有界数列必有极限

重要极限Ⅱim(1+-)=e x 考察数列{xn},xn=(1+-)当n无限增大时,{xn}的 变化趋势. n1234510100100010000. (1+1)”2225237024412488259427052,7172718 数列{(1+-)”}单调有界.lim(1+-)"=e n→)00 l++ 2! 2

9 重要极限Ⅱ 1 lim(1 )x x e  x   考察数列 n n n n x x ) 1 { },  (1 变化趋势. n 1 2 3 4 5 10 100 1000 10000 n n (1 ) 1  2 2.25 2.370 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718 数列 ) } 1 {(1 n n  单调有界. 1 lim(1 )n n e  n   n 无限增大时, { }n 当 x 的 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1! 2! 3! 1 1 2 1 ... 1 1 ... 1 ! n xn n n n n n n n n n                                                   

n 1+ 1+-+-1 n+ n+ l12(n+1)3!(n+1 n 2 十.+ (n+1)n+1八n+ n+ x <x 1-<1( n+1 x.<1++++.+一<1+1+-++-+.+ 2!3 2222 =1+ 2 <3 lim(1+-)

10   1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1! 2! 1 3! 1 1 1 1 2 ... 1 1 ... 1 1 ! 1 1 1 n n x n n n n n n n n n                                                             x x n n  1 n=1,2,   1 1 i=1,2,   i n   2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1! 2! 3! ! 2 2 2 2 1 1- 2 1 =1+ 3 3 1 2 1 2 n n n n x n                    1 lim(1 )n n e  n  