第零章矢量分析与数学准备
第零章 矢量分析与数学准备
为什么要学习矢量分析 矢量? 欧几里得空间中的几何量,它有大小和方向. 场 在空间和时间的任点有确定值的物理量。 ◎场可分为标量场,矢量场,自旋场,张量场
一：为什么要学习矢量分析 场？ 在空间和时间的任一点有确定值的物理量。 场可分为标量场，矢量场，自旋场，张量场。 矢量？ 欧几里得空间中的几何量，它有大小和方向
T(x,y, 2, t)=T(r, t) 全国最低气温预报图 2013年01月31日08时2013年02月01日08时 中央气象台 乌鲁木齐 图例(℃) 成都 16~24 24~32 2013年01月31日03时发布
T x y z t T r t ( , , , ) ( , ) =
-2013年02月02日08时 气象台 哈尔滨宾 长春 沈阳 呼和浩特 北京 石家庄天 太原 济南 兰州 郑州 西安 成都 武次合肥南京上海
V r t ( , )
物理中的场:有物理含义,非真空的物理存在, 有能量。 B(r,t http://en.wikipedia.org/wiki/fileMagneto873.png ◎电磁场是矢量场,因此需要学习矢量分析
物理中的场：有物理含义，非真空的物理存在， 有能量。 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Magnet0873.png 电磁场是矢量场，因此需要学习矢量分析。 B r t ( , )
二:矢量代数 三维欧式空间里定义正交坐标系和矢量 >坐标4,l2,2l2 >基矢e1,e2,e3 矢量=A+A2+4e3=4 >沿基矢小增量a1,dl2,l2 >体积元增量dV=l4l12
二：矢量代数 ➢ 坐标 1 2 3 u u u , , ➢ 基矢 1 2 3 e e e , , ➢ 矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A A A A A e A e A e = + + = ➢ 沿基矢小增量 1 2 3 dl dl dl , , ➢ 体积元增量 1 2 3 dV dl dl dl = 三维欧式空间里定义正交坐标系和矢量 1 u 2 u 3 u
>坐标基矢的矢量代数 0 e1×e1=e2×已2=e3×e3=0 e×e2=63
➢ 坐标基矢的矢量代数 1 1 2 2 3 3 e e e e e e = = =1 1 2 2 3 3 1 e e e e e e = = = 0 1 1 2 2 3 3 e e e e e e = = = 0 1 2 3 e e e = 2 3 1 e e e = 3 1 2 e e e =
◎矢量运算=Ae1+A2e2+A3e3 负矢量 >矢量和 A+B=(A+B1)e1+(42+B2)e2+(43+B3)e3 A+b=bt (A+B)+C=A+(B+C)
矢量运算 ➢ 负矢量 ➢ 矢量和 A −A 1 1 1 2 2 2 3 3 3 A B A B e A B e A B e + = + + + + + ( ) ( ) ( ) A B B A + = + ( ) ( ) A B C A B C + + = + + A A e A e A e = + + 1 1 2 2 3 3
矢量与标量乘积 aA=aAe+aAer+aA3 e3 a(A+B=aA+ab >矢量点乘 A·B=A1B1+A2B2+A3B3 A B=aRcos e A·B=B B (B+C)=A B+A C A= A
➢ 矢量与标量乘积 ➢ 矢量点乘 a A B aA aB ( ) + = + 1 1 2 2 3 3 aA aA e aA e aA e = + + A B A B A B A B 1 1 2 2 3 3 = + + A B B A = A B C A B A C + = + ( ) 2 A A A = A B AB = cos A B
矢量叉乘 1 AxB=AA A BBB B =(A2B3-A3B2)e1+(AB1-AB3)e2+(A1B2-A2B)e3 AxB=ABsin en A×(B+C)=A×B+A×C A×B=-B×A A×A=0
➢ 矢量叉乘 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3 ( ) ( ) ( ) e e e A B A A A B B B A B A B e A B A B e A B A B e = = − + − + − A B n A B AB n = sin A B C A B A C + = + ( ) A B B A = − A A = 0