概率论与数理统计 知识点总结 电子工程学院
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第一章概率论的基本概念 、事件及其关系与运算 、样本空间、样本点、随机事件、必然事件、不可 能事件、基本事件和复合事件的概念; 2、事件的包含与相等:若事件A包含事件B,则B的发 生必然导致A的发生。 进而有P(AB)=P(B),P(AUB)=P(A) 3、和事件:A、B至少有一个发生的事件,即AUB 4、积事件:A、B同时发生的事件,即AB 5、互斥事件:A、B不能同时发生的事件,即满足 AB=φ,也称互不相容事件
第一章 概率论的基本概念 一、事件及其关系与运算 1、样本空间、样本点、随机事件、必然事件、不可 能事件、基本事件和复合事件的概念； 2、事件的包含与相等：若事件A包含事件B，则B的发 生必然导致A的发生。 进而有P(AB)=P(B)，P(AUB)=P(A) 3、和事件：A、B至少有一个发生的事件，即AUB 4、积事件：A、B同时发生的事件，即AB 5、互斥事件：A、B不能同时发生的事件，即满足 AB=φ，也称互不相容事件
第一章概率论的基本概念 6、对立事件:满足条件AB=Φ而且A∪B=S,A的对立事件 用A表示,A=S-A;对立事件一定是互不相容事件 7、差事件:A发生B不发生的事件称为A与B的差事件, 表示为A-B或 AB 8、常用运算式: A∪B=AB,AB=A∪B,A=AB∪AB,B=AB∪AB
第一章 概率论的基本概念 6、对立事件：满足条件AB=Φ而且A∪B=S，A的对立事件 用Aഥ表示，Aഥ=S-A；对立事件一定是互不相容事件。 7、差事件：A发生B不发生的事件称为A与B的差事件， 表示为A-B或 8、常用运算式： A ∪ B=AഥBഥ，AB=𝐴ഥ∪Bഥ，A= ABഥ∪AB，B=AഥB∪AB AB
第一章概率论的基本概念 二、事件的概率及其计算 概率的公理化定义,规定了概率要满足的 个条件: (1)P(A)≥0,即非负性; (2)P(S)=,即规范性; (3)两两互不相容事件的和的概率等于事件 的概率之和,即概率的可加性
第一章 概率论的基本概念 二、事件的概率及其计算 1、概率的公理化定义，规定了概率要满足的三 个条件： （1）P(A)≥0，即非负性； （2）P(S)=1，即规范性； （3）两两互不相容事件的和的概率等于事件 的概率之和，即概率的可加性
第一章概率论的基本概念 2、概率的性质 (1)对于任一事件A,有P(A=1-P(A); (2)P(Φ)=0; (3)若B包含A,则有P(BA)=P(B)P(A),而 且P(B)≥P(A); (4)对任一事件A,有P(A)≤1 5)对任意两个事件A、B有 P(AUB=P(A+P(B)-P(AB) 该式称为概率的加法公式
第一章 概率论的基本概念 2、概率的性质 （1）对于任一事件A，有P(Aഥ)=1-P(A); （2）P(Φ)=0; （3）若B包含A，则有P(B-A)=P(B)-P(A)，而 且P(B)≥P(A)； （4）对任一事件A，有P(A)≤1； （5）对任意两个事件A、B有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)， 该式称为概率的加法公式
第一章概率论的基本概念 3、古典概率计算:P(A)k。事件A包含的样本点数 N样本空间s包含的样本点数 4、条件概率的定义: 当P(B)>O时,有P(A/B)=P(AB)/P(B 5、乘法定理: 计算事件之积的概率公式 设P(A)O,则有P(AB)=P(A)P(B/A)
第一章 概率论的基本概念 3、古典概率计算：P(A)=𝐾 𝑁 = 事件𝐴包含的样本点数 样本空间𝑆包含的样本点数 4、条件概率的定义： 当P(B)>0时，有P(A/B)=P(AB)/P(B) 5、乘法定理： 计算事件之积的概率公式 设P(A)>0，则有P(AB)=P(A)P(B/A)
第一章概率论的基本概念 6、全概率公式:设S为试验E的样本空间,B, B2,…Bn为S的一个划分,A为E的事件,且 P(B)>o(i=1,2,3…n),则有 P(A)=∑1P(B2)P(B) 7、贝叶斯公式:实质为一条件概率 设S为试验E的样本空间,B1,B2,…Bn为S的一个划分, A为E的事件,且P(B)>0(i=1,2,3…n),P(A)>o,则有 P(BPIA P(B:/A) ∑1=1P(B)
第一章 概率论的基本概念 6、全概率公式：设S为试验E的样本空间，B1， B2，···Bn为S的一个划分，A为E的事件，且 P(Bi )>0(i=1,2,3···n)，则有 P(A)=σ𝑖=1 𝑛 𝑃(𝐴/𝐵𝑖 )𝑃(𝐵𝑖 ) 7、贝叶斯公式：实质为一条件概率 设S为试验E的样本空间，B1，B2，···Bn为S的一个划分， A为E的事件，且P(Bi )>0(i=1,2,3···n)，P(A)>0，则有 P(Bi /A)= 𝑃 𝐵𝑖 𝑃 𝐴 𝐵𝑖 σ𝑖=1 𝑛 𝑃(𝐵𝑖 )𝑃( 𝐴 𝐵𝑖 )
第一章概率论的基本概念 事件的独立性 1、独立性的定义:设A、B为两事件,如果有P(AB)=P(A)P(B) 成立,则称事件A和事件B相互独立。 2、推论 (1)若A与B独立,则有A与B,A与B,A与B也相互独立; 2)若A、B互斥,且P(A)>o,P(B)>o,则A与B不独立; (3)若A、B独立,且P(A)>0,P(B)>o,则A与B不互斥; (4)样本空间中,S与Φ既独立又互斥: 5)Φ与任何事件都独立且互斥
第一章 概率论的基本概念 三、事件的独立性 1、独立性的定义：设A、B为两事件，如果有P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A和事件B相互独立。 2、推论 （1）若A与B独立，则有Aഥ与B，A与Bഥ，Aഥ与Bഥ也相互独立； （2）若A、B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，则A与B不独立； （3）若A、B独立，且P(A)>0，P(B)>0，则A与B不互斥； （4）样本空间中，S与Φ既独立又互斥； （5）Φ与任何事件都独立且互斥
第二章随机变量及其分布 随机变量的定义:设E的样本空间为S={e},Ⅹ=Ⅹ{e}是定 义在样本空间上的实值单值函数,称Ⅹ=X{e}为随机变量, 记为RV。RV一般用大写的字母X、Y、Z等表示,而小 写的x、y、z用来表示RV所取的值 、离散型随机变量 离散型RV的定义:RV的全部可能取值是有限个 或可列无限多个 2、离散型RV的分布律:P{X=x}=pk,k=,2,3 3、分布律的性质:p、o,∑=1pk=1
第二章 随机变量及其分布 一、随机变量的定义：设E的样本空间为S={e}，X=X{e}是定 义在样本空间上的实值单值函数，称X=X{e}为随机变量， 记为R.V。R.V一般用大写的字母X、Y、Z等表示，而小 写的x、y、z用来表示R.V所取的值。 二、离散型随机变量 1、离散型R.V的定义：R.V的全部可能取值是有限个 或可列无限多个。 2、离散型R.V的分布律：P{X=xk }=pk，k=1,2,3··· 3、分布律的性质：pk≥ 0，σ𝑘=1 ∞ 𝑝𝑘 = 1
第二章随机变量及其分布 三、三种重要的离散型随机变量的分布律 ●1、(O-1)分布,记为X~(o,1) PX=k}=pk(-p)k,其中k=o,l,o<p<l 2、二项分布,记为X~B(n,p) (1)伯努利试验:试验E只有两种可能的结果,A和A 令A发生的概率为p。 (2)n重伯努利试验:将试验E独立地重复进行n次 (3)定义RVX为N重伯努利试验中A发生的次数,则有 PX=K=CNp ×(1-p)-k,k=o,1,2…N
第二章 随机变量及其分布 三、三种重要的离散型随机变量的分布律 1、（0—1）分布，记为X～(0，1) P{X=k}=p k (1-p)1-k，其中k=0,1，0<p<1。 2、二项分布，记为X～B(n,p) （1）伯努利试验：试验E只有两种可能的结果，A和𝐴ҧ。 令A发生的概率为p。 （2）n重伯努利试验：将试验E独立地重复进行n次。 （3）定义R.V X为N重伯努利试验中A发生的次数，则有 P{X=K}=𝐶𝑁 𝐾 𝑝 𝐾(1 − 𝑝) 𝑁−𝐾 ，k=0,1,2,····N