《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）求解线性方程组、特征值、特征向量的计算

§24求解线性方程组 、求解齐次线性方程组AX=0 方法:nu(A或nu|(A 此命令给出齐次线性方程组A=0的基 础解系,即解空间的一组基。 前者是数值解,后者是有理形式的基 从而可写出通解:基础解系的线性组

§2.4 求解线性方程组 一、求解齐次线性方程组AX=0 • 此命令给出齐次线性方程组AX=0的基 础解系，即解空间的一组基。 • 前者是数值解，后者是有理形式的基。 • 从而可写出通解：基础解系的线性组 合。 方法：null(A) 或 null(A, ’r’) 注：

例 x1+x2+2x3-x4=0, 2x1+x2+x3-x4=0, 2x1+2x,+x2+2x1=0 解:>>A=[112-1;211-1;2212]; >> null(a) ans 0.3621 0.8148 0.3621 0.2716

例、      + + + = + + − = + + − = 2 2 2 0. 2 0, 2 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x >> A=[1 1 2 -1;2 1 1 -1;2 2 1 2]; >> null(A) 解： ans = 0.3621 -0.8148 0.3621 0.2716

解:>>A=[112-1;211-1;2212]; >>null(A ans 4/3 通解为Xk4/3-34/31H,学数 k为任意

解：>>A=[1 1 2 -1；2 1 1 -1；2 2 1 2]； >>null(A,’r’) ans = 4/3 -3 4/3 1 通解为X=k(4/3 -3 4/3 1)^T， k为任意常数

注:其中的‘r’表示格式以有理数的形 式显示,即是将系数矩阵化成简化行简 阶梯形求得的基础解系 若使用nuH(A)命令,得到的是解空 间的一组标准正交基,即Ⅹ*X=E此 时的X是近似值,待入有AX不等于 零,近似为零

注：其中的‘r’表示格式以有理数的形 式显示，即是将系数矩阵化成简化行简 阶梯形求得的基础解系。 若使用null(A)命令，得到的是解空 间的一组标准正交基，即X’*X=E.此 时的X是近似值，待入有 AX不等于 零,近似为零

如上例>>x=nul >>A*x 0.3621 ans 0.8148 1.0e-15* 0.3621 0.2716 0.3886 0.6661 >>Ⅹ“Ⅹ ans= 1.0000

>>x= null(A) x = 0.3621 -0.8148 0.3621 0.2716 如上例 >> A*x >> x'*x ans = 1.0000 ans = 1.0e-15 * 0 -0.3886 -0.6661

例 X1+2x。+X 4 3x1+6x2-X3-3X4=0, 5X1+10x2+x3-5X4=0 解:>>A-[121-1;36-1-3;51015] > null(, r) ans三 2 1 0 100 01

例、      + + − = + − − = + + − = 5 10 5 0. 3 6 3 0, 2 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解：>> A=[1 2 1 -1;3 6 -1 -3;5 10 1 -5]; >> null(A,'r') ans = -2 1 1 0 0 0 0 1

B=null(A) B= 0.32290.8538 -0.2891-04997 -0.0000-0.0000 0.9012-0.1456 >>B*B ans= 1.0000-0.0000 0.00001.0000

B=null(A) B = -0.3229 0.8538 -0.2891 -0.4997 -0.0000 -0.0000 -0.9012 -0.1456 >> B'*B ans = 1.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000

二、求解非齐次线性方程组AX=b h×n 1、当AX=b有唯一解时,X=AVb给出唯 解;特别当A是方阵时也可用 XEinv(A *b 例 x1+2x2-4x4=-3, x-x2-4x3+9x4=22 2x1-3x2+x2+5x1=-3, 3x,-2x-5x2+x1=3

1、当AX=b有唯一解时，X=A\b给出唯 一解；特别当A是方阵时也可用 X=inv(A)*b 例、 二、求解非齐次线性方程组        − − + = − + + = − − − + = + − = − 3 2 5 3 2 3 5 3, 4 9 22, 2 4 3, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x Amn X = b

解:>>A=[120-411-492-315;3-2-51] >>b=[-3;22;-3;3]; > rank(A),rank(la,b]) ans >X=Ab(或inv(A)*b) ans三 X 1 2

解：>>A =[1 2 0 -4;1 -1 -4 9;2 -3 1 5;3 -2 -5 1]; >> b=[-3;22;-3;3]; >> rank(A),rank([A,b]) ans = 4 ans = 4 >> X=A\b（或inv(A)*b） X = -1 3 -2 2

例、>A=[123:456780258]; >>b=[6151515 > rank(a),rank(la, bl) ans >>A\b ans= ans= 1.0000 1.0000 1.0000

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0;2 5 8]; >> b=[6 15 15 15]'; >> rank(A),rank([A,b]) ans = 3 ans= 3 例、 >> A\b ans = 1.0000 1.0000 1.0000