《高等数学》课程教学资源（PPT讲稿）常数项级数的审敛法

第二节常数项级数的审敛法 、正项级数及其审敛法 2Ⅵ 1定义:如果级数∑u各项均有n≥0 这种级数称为正项级数 n1=S+an+1≥Sn 2正项级数收敛的充要条件:S1≤S2≤…≤SnS 部分和数列为兽週增加数列 q6≤ Ⅵ

一、正项级数及其审敛法 1.定义: 如果级数 中各项均有 0， 1    = n n un u 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: s1  s2  sn  部分和数列 {sn } 为单调增加数列. 第二节 常数项级数的审敛法

定理正项级数收敛部分和所成的数列s有界 M esn=s=aM>0>031Sl≤M

定理 . n 正项级数收敛部分和所成的数列 s 有界

3比较审敛法设∑和∑均为正项级数, 专第21028 且 u <y.(n=1,2,),若∑收敛则∑u收敛; 力=MW+1 “大的把 反之,若∑n发散,则∑v发散 n=1 ““小的发,发 证明()设σ 0≤S≤ 2今Sn≤S≤M 且sn=1+2+…+in≤v1+v2+…+ 即部分和数列有界 ∑u收敛 n=1

且u  v (n = 1,2,) n n ,若  n=1 n v 收敛,则  n=1 un收敛； 反之，若  n=1 un发散，则  n=1 n v 发散. 证明 n u u un 且s = 1 + 2 ++   =  = 1 (1) n n 设 v , n n u  v  , 即部分和数列有界 . 1  收敛  =  n un 设 和 均为正项级数，  =  =1 n 1 n n n 3.比较审敛法 u v n  v + v ++ v 1 2

(2)设Sn>(n→>)且乱n≤vn, 则an≥Sn→>0不是有界数列 ∑ν发散 定理证毕 推论:若∑n收敛(发散) 且n≤An(n≥N(knv),则∑收敛(发散 比较审敛法的不便:须有参考级数

n n 则  s (2) s →  (n → ) 设 n , n n 且 u  v →  不是有界数列 . 1  发散  =  n n v 推论: 若  n=1 un 收敛(发散) 且 ( )( ) n n n n v  ku n  N ku  v ,则  n=1 n v 收敛(发散). 定理证毕. 比较审敛法的不便: 须有参考级数

例1讨论P级数 11 1+++n+…+,+…的收敛性(P>0) 23 n 请额:2发 解设p≤1,≥,则P-级数发散 n 设p>1由图可知< 111 rp(ps S.=1++—+…+ 23 dx ≤1+ ×

例 1 讨论 P-级数 + p + p + p ++ p + n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛性.( p  0) 解 设 p  1, , 1 1 n n p   则P −级数发散. 设 p  1, o y x ( 1) 1 = p  x y p 1 2 3 4 由图可知  −  n n p p x dx n 1 1 n p p p n s 1 3 1 2 1 = 1+ + ++   −  + + + n n p p x dx x dx 1 2 1 1 

n d =1+ -p、 D1)时,收敛 当p≤时,发散 重要参考级数:几何级数,P级数,调和级数

 = + n p x dx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 −1 − − = + p p n 1 1 1 −  + p 即 有界, n s 则P −级数收敛.      − 当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , p p P 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数

例2证明级数∑ 是发散的 n=1 (n+1) 当公国表一3n 证明 n(n+1)n+1 为叫时,取 第n而级数∑1发散一-=号 J h=2 2 ea,:级数∑1发散m→4 /(n

例 2 证明级数  =1 ( + 1) 1 n n n 是发散的. 证明 , 1 1 ( 1) 1 +  n n + n  , 1 1 1   n= n + 而级数 发散 . ( 1) 1 1   = +  n n n 级数 发散

> 4.比较审敛法的极限形式: 设∑un与∑n都是正项级数如果lim"n= n n=1 n30vn-)+∞ 则红当0<l<+0时二级数有相同的敛散性 (2)当1=0时,若∑v收敛则∑un收敛; ()当l=+∞时若∑v发散则∑un发散; n=1

4.比较审敛法的极限形式: 设  n=1 un 与  n=1 n v 都是正项级数,如果 则(1) 当 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛; (3) 当 时, 若  n=1 n v 发散,则  n=1 un 发散; lim l, v u n n n = → 0  l  + l = 0 l = +   n=1 n v   n=1 un

证明(1)由lim"n=l对于E=>0, n→0 彐N,当n>N时,1-N 由比较审敛法的推论,得证

证明 l v u n n n = → (1)由lim 0, 2 =  l 对于 N, 当n  N时, 2 2 l l v l u l n n −   + ( ) 2 3 2 v n N l v u l 即 n  n  n  由比较审敛法的推论, 得证

5.极限审敛法: 设∑a1为正项级数,石“n= n=1 如果 lim nu=l>0(或 lim nu=0), n→Q n→0 则级数∑un发散; n=1 如果有P>1,使得Imn"un存在 oo 则级数∑un收敛

设  n=1 un 为正项级数, 如果lim =  0 → nu l n n (或 =  → n n lim nu ), 则级数  n=1 un 发散; 如果有p  1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数  n=1 un 收敛. 5.极限审敛法：