第十一章曲线积分与曲面积分 积分学定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分 积分域区间域平面域空间域曲线域曲面域 对弧长的曲线积分 曲线积分 对坐标的曲线积分 曲面积分对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
第十一章 曲线积分与曲面积分 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分
第一节对孤长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 对弧长的曲线积分
、问题的提出 B 分割M,M2,,Mn→亼s2M L M 实例:曲线形构件的质量 i 匀质之质量M=p·s 取(5,m)∈△s,△M1≈p(51,)△ 求和M≈∑p(5,n)△近似值 i=1 精确值 取极限M=lim∑m(5,m),As 元->0
一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L 匀质之质量 M = s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s − ( , ) , i i i 取 s ( , ) . i i i i M s 求和 ( , ) . 1 = n i i i i M s 取极限 lim ( , ) . 1 0= → = n i i i i M s 近似值 精确值
对弧长的曲线积分的概念 1定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1,M2,…,Mn把L分成n 个小段设第个小段的长度为A,又(;,n;)为第 i个小段上任意取定的一点,p B 作乘积(;,n)·As, (5;,n1 并作和∑f(5,n)·△s
二、对弧长的曲线积分的概念 ( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = − n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数 1.定义 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L
如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分,记作[,∫(x,y)ds,即 L 被积函数 (x)d=m∑/(5,n)4△s(积分和式 i=1 积分弧段 曲线形构件的质量M=「p(x,y)ds
( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1 0 = → = → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . = L M x y ds
2存在条件: 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分/f(xyh存 3推广 函数f(x,y,z在空间曲线弧r上对弧长的 曲线积分为 「f(x,ya)d=Im∑/(5,m,),△s
2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = →
注意: 1.若L(或r)是分段光滑的,(L=L1+L2) (x)d=(xy)+/(x) 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为∮(xy)ds
注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds 2. ( , ) ( , ) . L f x y L f x y ds 函数 在闭曲线 上对弧长的 曲线积分记为
4性质 (1)If(x,y)±g(x,y)d=,f(x,y)d±,g(x,y)ds (2)0(x,y.k=4Jf(xy)d(k为常数 (3),∫(x,y)ds=.∫(x,y)ds+,f(x,y)dks L=L1+L2)
4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2
三、对弧长曲线积分的计算 1、定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 (a≤t≤B)其中 y=yo 0(t),v(t)在,B上具有一阶连续导数,则 (x,y=m9y°()+y(0 (<B)
三、对弧长曲线积分的计算 1、定理 2 2 ( , ) , ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) [ , ] , ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) L t t d f x y L x t L t y t t t f x y ds f t t t = = = + 设 在曲线弧 上有定义且连续 的参数方程为 其中 在 上具有一阶连续导数 则
注意: 1.定积分的下限a一定要小于上限B 2.f(x,y)中x,y不彼此独立而是相互有关的
注意: 1. ; 定积分的下限 一定要小于上限 2. ( , ) , , . f x y x y 中 不彼此独立 而是相互有关的