第十一章曲线积分与曲面积分 积分学定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分 积分域区间域平面域空间域曲线域曲面域 对弧长的曲线积分 曲线积分 对坐标的曲线积分 曲面积分对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
第十一章 曲线积分与曲面积分 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分
、问题的提出 B 分割M,M2,,Mn→亼s2M L M 实例:曲线形构件的质量 i 匀质之质量M=p·s 取(5,m)∈△s,△M1≈p(51,)△ 求和M≈∑p(5,n)△近似值 i=1 精确值 取极限M=lim∑m(5,m),As 元->0
一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L 匀质之质量 M = s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s − ( , ) , i i i 取 s ( , ) . i i i i M s 求和 ( , ) . 1 = n i i i i M s 取极限 lim ( , ) . 1 0= → = n i i i i M s 近似值 精确值
对弧长的曲线积分的概念 1定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1,M2,…,Mn把L分成n 个小段设第个小段的长度为A,又(;,n;)为第 i个小段上任意取定的一点,p B 作乘积(;,n)·As, (5;,n1 并作和∑f(5,n)·△s
二、对弧长的曲线积分的概念 ( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = − n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数 1.定义 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L
如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分,记作[,∫(x,y)ds,即 L 被积函数 (x)d=m∑/(5,n)4△s(积分和式 i=1 积分弧段 曲线形构件的质量M=「p(x,y)ds
( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1 0 = → = → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . = L M x y ds
2存在条件: 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分/f(xyh存 3推广 函数f(x,y,z在空间曲线弧r上对弧长的 曲线积分为 「f(x,ya)d=Im∑/(5,m,),△s
2.存在条件: ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = →
注意: 1.若L(或r)是分段光滑的,(L=L1+L2) (x)d=(xy)+/(x) 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为∮(xy)ds
注意: 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds 2. ( , ) ( , ) . L f x y L f x y ds 函数 在闭曲线 上对弧长的 曲线积分记为
4性质 (1)If(x,y)±g(x,y)d=,f(x,y)d±,g(x,y)ds (2)0(x,y.k=4Jf(xy)d(k为常数 (3),∫(x,y)ds=.∫(x,y)ds+,f(x,y)dks L=L1+L2)
4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2
三、对弧长曲线积分的计算 1、定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 (a≤t≤B)其中 y=yo 0(t),v(t)在,B上具有一阶连续导数,则 (x,y=m9y°()+y(0 (<B)
三、对弧长曲线积分的计算 1、定理 2 2 ( , ) , ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) [ , ] , ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) L t t d f x y L x t L t y t t t f x y ds f t t t = = = + 设 在曲线弧 上有定义且连续 的参数方程为 其中 在 上具有一阶连续导数 则