《高等数学》课程教学资源（PPT讲稿）ODE的求解（常微分方程 ordinary differential equation）

ODE的求解 ■画画画画画画 2012.10.29

Edit by niuben 2012.10.29 ODE的求解

Contents 1 2常微分方程求解问题 3微分方程mb求解 第2页共122页

Edit by niuben 第2页，共122页 Contents 1 2 常微分方程求解问题 3 微分方程 matlab 求解

Contents One Two 常微分方程的基本概念及其在一些物求常微分方程解析解的方法以及如何 域的应用实例; 借助数学软件 Matlab来实现; Five 向量场绘图 数值解法: Euler法 Simulink仿真在求解常微分方程上 Runge- Kutta方法; 的应用 Three Four 第3页共122页

Edit by niuben 第3页，共122页 Contents 常微分方程的基本概念及其在一些领 域的应用实例; One 数值解法：Euler法 Runge-Kutta方法； Three 求常微分方程解析解的方法以及如何 借助数学软件Matlab来实现; Two Simulink仿真在求解常微分方程上 的应用. Four Five 向量场绘图

工常微分方程概念 由自变量、自变量的未知函数以及函数的导数组成 的等式叫做常微分方程。 (O)=f(x() 自 函数的导数 自变量 变量的函数 第4页共122页

Edit by niuben 第4页，共122页 1.常微分方程概念 由自变量、自变量的未知函数以及函数的导数组成 的等式叫做常微分方程。 x t f t x t ( ) = ( , ( )) 自 变 量 自 变 量 的 函 数 函 数 的 导 数

常做分方程概念(续) 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶 数称为微分方程的阶数所以一个n阶常微分 方程的一般形式如下: F x,y d y=0 dx d 这里是…的已知函数,而且 定含有2y是x的未知函数。在以下内容中 把常微分方程简称为“微分方程”或“方 程” 第5贡共122页

Edit by niuben 第5页，共122页 常微分方程概念（续） 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶 数称为微分方程的阶数,所以一个n阶常微分 方程的一般形式如下: , , , 0 n n dy d y F x y dx dx     =   这里 是 的已知函数, 而且一 定含有 , y是x的未知函数. 在以下内容中 把常微分方程简称为“微分方程”或“方 程”. , , , n n dy d y F x y dx dx       , , , n n dy d y x y dx dx n n d y dx

常做分方程概念(续) n阶线性方程: y +a1(x dx dx (x)i'+an(x)y=f(x) 这里a(x)…()(x)为x的已知函数。不是线 性微分方程的方程称为非线性方程。 第6页共122页

Edit by niuben 第6页，共122页 常微分方程概念（续） n阶线性方程 : 这里 为x的已知函数 。不是线 性微分方程的方程称为非线性方程。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 n n n n n n d y d y dy a x a x a x y f x dx dx dx − + + + + = − − a x a x f x 1 ( ), , , n ( ) ( )

川常使分方程念(线) 常微分方程的解 初值问题(主要介绍本类问题,下面详细展开) 边值问题(与这类问题相关的Mamb解法可以 参考bvp4c历数) 第7贡共122页

Edit by niuben 第7页，共122页 常微分方程概念（续） 常微分方程的解 初值问题（主要介绍本类问题，下面详细展开） 边值问题（与这类问题相关的Matlab解法可以 参考bvp4c函数） ………………

2常微分方程的应用 常微分方程理论是基础数学的重要组成部分之一,在反映客 观现实世界运动过程的各种量之间的关系中,大量存在满足 微分方程关系的数学模型比如在自然科学、经济、生态、人 口以及交通等各个领域,某一个(或某几个)量的函数变化规 律常用常微分方程(组)来描述,很多弹性物体振动、人口 增长、种群竞争等模型都是使用相应的微分方程来描述的 应用 第8页共122页

Edit by niuben 第8页，共122页 2.常微分方程的应用 应用 常微分方程理论是基础数学的重要组成部分之一，在反映客 观现实世界运动过程的各种量之间的关系中，大量存在满足 微分方程关系的数学模型. 比如在自然科学、经济、生态、人 口以及交通等各个领域, 某一个（或某几个）量的函数变化规 律常用常微分方程（组）来描述，很多弹性物体振动、人口 增长、种群竞争等模型都是使用相应的微分方程来描述的

常微分方程的应用(续) LogisticA口模型N=r|1 N DE模型: x=lxv-lx SIR传染病模型y=-{y x(0)=x3y(0)=n-x0 x=xla+bx+cy Volterra种群模型 lj=y(d+ex+fy) 第9页共122页

Edit by niuben 第9页，共122页 1 m N N r N N   = −     Logistic人口模型 (0 ; 0 ) 0 0 ( ) x kxy lx y kxy x x y n x  = −   = −  = = −  SIR传染病模型 ( ) ( ) x x a bx cy y y d ex fy  = + +   = + +  Volterra种群模型 常微分方程的应用（续）

常微分方程的应用(续) ODE模型 x=ay- Lorenz族系统y=-x2+Cx-y bz x=A-(B+1)x+xy三分子化学动力学模型 B y +atanh 种三神经元神经网络模型1=y+ a tanha --+atanh y 10页共122页

Edit by niuben 第10页，共122页 x a y x ( ) y xz cx y z xy bz  = −   = − + −  = −  Lorenz族系统 ( ) 2 2 x A B x x y 1 y Bx x y  = − + +   = − 三分子化学动力学模型 tanh tanh tanh x x a z y y a x z z a y  = − +   = − +   = − + 一种三神经元神经网络模型 常微分方程的应用(续)