第四章谓词逻辑的基本概念 口在命题逻辑中,是把简单命题作为基本单元 或说作为原子来看待的,不再对简单命题的 内部结构进行分析 如,命题:"squr(2)是无理数”和squr(3)是无理 数”是作为两个独立的命题看待的,不考虑命题间的联 系 ■事实上这两个命题仍可作分解,它们都有主词和谓词。 这样的细分带来的好处是可将这两个有相同谓词("是无 理数”)的命题联系起来
在命题逻辑中，是把简单命题作为基本单元 或说作为原子来看待的，不再对简单命题的 内部结构进行分析 ◼ 如, 命题：“squr(2)是无理数”和“ squr(3)是无理 数”是作为两个独立的命题看待的, 不考虑命题间的联 系 ◼ 事实上这两个命题仍可作分解，它们都有主词和谓词。 这样的细分带来的好处是可将这两个有相同谓词(“是无 理数”)的命题联系起来 第四章 谓词逻辑的基本概念
命题逻辑的局限性 口举例:凡有理数都是实数,2/7是有理数,所以2/7是实数 直观上看这样的推理应该是正确的。然而在命题逻辑里就不能描述这 种推理 设这三个命题分别以P,qr表示,相应的推理形式为:(p∧q) r。由于对任意的p,q,r来说这推理形式并非重言式,也就是说这 个推理形式不是正确的 对这样的人们熟知的推理关系在命题逻辑中得不到正确的描述,自然 是命题逻辑的局限性 口要认识这种推理规律,只有对简单命题做进一步剖析。这就需要 引入谓词、变量以及表示变量数量的量词(全称量词和存在量词 分别表示一般的和个别的情况),进而研究它们的形式结构和逻 辑关系,这便构成了谓词逻辑
命题逻辑的局限性 举例：凡有理数都是实数，2/7是有理数，所以2/7是实数 ◼ 直观上看这样的推理应该是正确的。然而在命题逻辑里就不能描述这 种推理 ◼ 设这三个命题分别以p, q, r表示，相应的推理形式为：(p q) → r。由于对任意的p，q，r来说这推理形式并非重言式，也就是说这 个推理形式不是正确的 ◼ 对这样的人们熟知的推理关系在命题逻辑中得不到正确的描述，自然 是命题逻辑的局限性 要认识这种推理规律，只有对简单命题做进一步剖析。这就需要 引入谓词、变量以及表示变量数量的量词(全称量词和存在量词， 分别表示一般的和个别的情况) ，进而研究它们的形式结构和逻 辑关系，这便构成了谓词逻辑
说明 口约定 小写字母表示命题 大写字母表示谓词 口内容仅限于一阶谓词逻辑或称狭谓词逻辑
约定 小写字母表示命题 大写字母表示谓词 内容仅限于一阶谓词逻辑或称狭谓词逻辑 说明
41谓词和个体词 41.1谓词 口例张三是学生.李四是学生 ■在命题逻辑里,这是两个不同的命题,只能分别以两个不 同的符号如p,q表示 然而这两个命题的共同点是,它们都有主词和谓词 口主词“张三”、“李四”是不同的,而谓词“是学生”是 相同的 现在强调它们的共同点.若以大写符号P表示“是学生” 这样两个命题的共同性可由P来体现了,但主词还需区别开 来,便可把这两个命题分别写成P(张三)和P(李四) 口明显地描述了这两个命题的共同点和不同点 口一般地可引入变量x来表示主词,于是符号P(x)就表示 x是学生”.通常把P(x)称作谓词
4.1 谓词和个体词 4.1.1 谓词 例 张三是学生．李四是学生． ◼ 在命题逻辑里，这是两个不同的命题，只能分别以两个不 同的符号如p，q表示 ◼ 然而这两个命题的共同点是，它们都有主词和谓词 主词“张三”、“李四”是不同的，而谓词“是学生”是 相同的 ◼ 现在强调它们的共同点．若以大写符号P表示“是学生”， 这样两个命题的共同性可由P来体现了，但主词还需区别开 来，便可把这两个命题分别写成P(张三) 和P(李四) 明显地描述了这两个命题的共同点和不同点 一般地可引入变量x来表示主词，于是符号P(x)就表示 “x是学生”．通常把P(x)称作谓词
谓词描述性定义 口一元谓词 词性质或 口多元谓词 在一个命题里,如果主词多于_个那么表示这几个主词间 的关系的词蒋作请词是多元请词,饺P(xy),Q(x y),R(X,y,2z)…表示 口举例 “张三和李四是表兄弟”.其中“是表兄弟”是谓词 5大于3″ 其中“大于”是谓词 张三比李四高 其中“比高”是 谓词 天津位于北京的东南”.其中“位于东南”是谓 词 “A在B上 其中“在.上”是谓词
一元谓词 在一个命题里，如果主词只有一个，这时表示该主词性质或 属性的词便称作谓词．这是一元(目)谓词，以P(x)， Q(x)，…表示 多元谓词 在一个命题里，如果主词多于一个，那么表示这几个主词间 的关系的词称作谓词．这是多元谓词，以P(x, y)，Q(x, y)，R(x, y, z), …表示． 举例 “张三和李四是表兄弟”． 其中“是表兄弟”是谓词． “5大于3”． 其中“大于”是谓词． “张三比李四高”． 其中“比……高”是 谓词． “天津位于北京的东南”． 其中“位于……东南”是谓 词． “A在B上”． 其中“在……上”是谓词． 谓词描述性定义
412个体词 口个体词(主词) 个体词是一个命题里表示思维对象的词 P(张三)中的张三是个体词或称个体常项 谓词P(x)中的变量x为个体变项或个体变元 口n项(目、元)谓词 有n个个体的谓词P(x1,…,Xn)称n项(目、元)谓词 如果P是已赋有确定含义的谓词,就称为谓词常项 如果P表示任一谓词时,就称为谓词变项 口个体域 将个体变项的变化范围称为个体域或论域,以D表示 论域是重要的概念,同一谓词在不同论域下的描述形式可能不同,所取的真 假值也可能不同 口约定 谓词逻辑的个体域除明确指明外,都认为是包括一切事物的一个最广的集合 谓词变项的变化范围,不做特别声明时,指一切关系或一切性质的集合
4.1.2 个体词 个体词(主词) ◼ 个体词是一个命题里表示思维对象的词 ◼ P(张三)中的张三是个体词或称个体常项 ◼ 谓词P(x)中的变量x为个体变项或个体变元 n项(目、元)谓词 ◼ 有n个个体的谓词P(x１，…，xn)称n项(目、元)谓词 ◼ 如果P是已赋有确定含义的谓词，就称为谓词常项 ◼ 如果P表示任一谓词时，就称为谓词变项 个体域 ◼ 将个体变项的变化范围称为个体域或论域，以D表示 ◼ 论域是重要的概念，同一谓词在不同论域下的描述形式可能不同，所取的真 假值也可能不同 约定 ◼ 谓词逻辑的个体域除明确指明外，都认为是包括一切事物的一个最广的集合 ◼ 谓词变项的变化范围，不做特别声明时，指一切关系或一切性质的集合
413谓词的定义 口谓词视作为二个个烋的性质或多个个体间的关系。进 上的一个映射 口举例 如P(x)其中x∈D,而P(x)的取值为T或F 妥妞层晶的2谭闾 YELLOW≌OuSE)表示 借助于谓词的抽象定义,也可用二元谓词ALUE( COLOR HOUSE来 题 VALUE就是个体到TF}的映射, 不一定有什么! 话含 仅当个体 COLOR取值为黄色的, HOUSE取值为房子时 ALUE取值为T
4.1.3 谓词的定义 谓词视作为一个个体的性质或多个个体间的关系。进 一步抽象地定义，谓词是给定的个体域到集合{T，F} 上的一个映射 举例 ◼ 如P(x)其中xD，而P(x)的取值为T或F． ◼ 又如“房子是黄色的”可由谓词 YELLOW(HOUSE) 表示. 当HOUSE取值为房子又是黄色的，该命题方为真． ◼ 借助于谓词的抽象定义，也可用二元谓词 VALUE(COLOR, HOUSE) 来描述这命题. VALUE就是个体到{T, F}的映射， 不一定有什么具体含义 仅当个体COLOR取值为黄色的，HOUSE取值为房子时 VALUE取值为T
说明 口一般地说谓词P(x),Q(x,y)是命题形式而不是命 题 谓词符号P,Q的含义没有指定,即它们是谓词变项 个体词x,y也是个体变项 从而不可能确定P(x),Q(X,y)的真值是取真还是取假 口仅当谓词变项取定为某个谓词常项,并且个体词取 定为个体常项时,命题形式才化为命题 ■P(x)表示x是有理数,那么P(3)是命题,真值为T Q(x,y)表示x大于y,那么Q(2,3)是命题,取值为F 口谓词的真值依赖于个体变元的论域
一般地说谓词P(x), Q(x，y)是命题形式而不是命 题 ◼ 谓词符号P, Q的含义没有指定，即它们是谓词变项 ◼ 个体词x，y也是个体变项 ◼ 从而不可能确定P(x)，Q(x，y)的真值是取真还是取假 仅当谓词变项取定为某个谓词常项，并且个体词取 定为个体常项时，命题形式才化为命题 ◼ P(x)表示x是有理数，那么P(3)是命题，真值为T ◼ Q(x，y)表示x大于y，那么Q(2，3)是命题，取值为F 谓词的真值依赖于个体变元的论域 说明
4.1.4谓词逻辑与命题逻辑 口可认为谓词逻辑是命题逻辑的推广,命题逻辑是谓词逻 辑的特殊情形 因为任一命题都可通过引入具有相应含义的谓词(个体词视为 常项来表示 或认为一个命题是没有个体变元的零元谓词 口命题逻辑中的很多概念、规则都可推广到谓词逻辑中延 用 如联结词可照搬到谓词逻辑,无需再做说明 有的等值式推理式也可移植到谓词逻辑 谷兩遗落是果黼邊了M斈延地耀,词等概念,转朋是 最简单又深刻的例子 在企题逻辑里个公式不难判定宝是否是薯意式乙真表 描辑就没有一 法来判 不是普遍有效的(立称定理、永真式
4.1.4 谓词逻辑与命题逻辑 可认为谓词逻辑是命题逻辑的推广，命题逻辑是谓词逻 辑的特殊情形 ◼ 因为任一命题都可通过引入具有相应含义的谓词(个体词视为 常项)来表示 ◼ 或认为一个命题是没有个体变元的零元谓词 命题逻辑中的很多概念、规则都可推广到谓词逻辑中延 用 ◼ 如联结词可照搬到谓词逻辑，无需再做说明 ◼ 有的等值式推理式也可移植到谓词逻辑 ◼ 然而谓词逻辑里出现了个体变元，谓词、量词等概念，特别是 个体论域常是无限域，加大了处理难度 ◼ 最简单又深刻的例子 在命题逻辑里一个公式不难判定它是否是重言式，真值表法是 能行的方法．然而在谓词逻辑里就没有一般的能行算法来判定 任一公式是不是普遍有效的(或称定理、永真式)
42函数和量词 421函数 口在谓词逻辑中出现变量,自然也会考虑引入函数 函数是某个体域(不必是实数)到另一个体城的映射 ■不同于谓词:将个体映射为真假值 函数并不单独使用,是嵌入在谓词中 口举例 函数 father(x)表示x的父亲,着P(x)表示x是教师,则 P(father(x)就表示X的父亲是教师 当x的取值确定后,P( father(x)的值或为真或为假 又如“张三的父亲和李四的哥哥是同事”可描述成 COLLEAGUE( father(张三), brother(李四)) 其中谓词 COLLEAGUE(X,y)表x和y是同事,而 father(x), brother(x)是函数 口约定函数符号用小写字母表示,如f,g, father
4.2 函数和量词 4.2.1 函数 在谓词逻辑中出现变量，自然也会考虑引入函数 ◼ 函数是某个体域(不必是实数)到另一个体域的映射 ◼ 不同于谓词：将个体映射为真假值 ◼ 函数并不单独使用，是嵌入在谓词中 举例 ◼ 函数father(x)表示x的父亲，若P(x)表示x是教师，则 P(father(x))就表示x的父亲是教师 当x的取值确定后，P(father(x))的值或为真或为假 ◼ 又如“张三的父亲和李四的哥哥是同事”可描述成 COLLEAGUE(father(张三), brother(李四)) 其中谓词COLLEAGUE(x，y)表示x和y是同事，而 father(x), brother(x)是函数 约定函数符号用小写字母表示，如f，g，father，…