第十章:群与环 豪 第一节:群的定义及性质 第二节:子群与群的陪集分解 第三节:循环群与置换群 2
2 第十章: 群与环 第一节：群的定义及性质 第二节：子群与群的陪集分解 第三节：循环群与置换群
群简介 豪 口群在抽象代数中具有基本的重要地位 令群是一个特殊的代数系统 令是环、域和模的基础 ◆在几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其 他许多数学分支起作用 令群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中 口群论是法国传奇式人物伽罗瓦提出 令用以解决了五次方程问题 ◆提出:把数学运算归类 口例:全体整数的加法构成一个群
4 群简介 ❑群在抽象代数中具有基本的重要地位 ❖群是一个特殊的代数系统 ❖是环、域和模的基础 ❖在几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其 他许多数学分支起作用 ❖群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中 ❑群论是法国传奇式人物伽罗瓦提出 ❖用以解决了五次方程问题 ❖提出：把数学运算归类 ❑例：全体整数的加法构成一个群
)10.1群的定义及性质 豪 口半群:是一个代数系统,是G上 的二元运算如果*在G上成立结合律 ☆a*(bc)=(ab)*C 口例:下列代数系统是半群 心R表示正实数集合,,是半群 令是半群,M(R)m阶矩阵的全体
5 10.1 群的定义及性质 ❑半群 ： 是一个代数系统,*是G上 的二元运算,如果*在G上成立结合律 ❖a*(b*c)=(a*b)*c ❑例：下列代数系统是半群 ❖R+表示正实数集合,,是半群 ❖ 是半群, Mn (R) n阶矩阵的全体
)10.1群的定义及性质 豪 口独异点:有幺元的半群 口例:下列代数系统是独异点 令,均为独异点 令,均为独异点 冷为独异点 令为独异点:o为函数复合 单位元为恒等函数
6 10.1 群的定义及性质 ❑独异点 ： 有幺元的半群 ❑例：下列代数系统是独异点 ❖,均为独异点 ❖,均为独异点 ❖为独异点 ❖为独异点： 为函数复合 • 单位元为恒等函数
)10.1群的定义及性质 豪 口半群同态f:A=和B=是任意二个 半群,g:S→T为A到B的同态,如果 ☆g(a*b)=g(a)⊙g(b) 口同态分类: ☆半群的满同态:g为满射 令半群的单一同态:g为单射 令半群的同构:g为双射
7 10.1 群的定义及性质 ❑半群同态f：A=和B=是任意二个 半群， g：S→T为A到B的同态，如果 ❖g(a*b)=g(a)⊙g(b) ❑同态分类： ❖半群的满同态：g为满射 ❖半群的单一同态：g为单射 ❖半群的同构：g为双射
)10.1群的定义及性质 豪 口例:给定和<N4+4 ☆g:N→N4,g(a)=amod4 令g是半群同态,且是满同态 证明 g(+b) =(a+b mod 4 =a mod 4ta b mod 4 一一→ g(a)+4g(b) 8
8 10.1 群的定义及性质 ❑例：给定和 ❖g: N→N4 , g(a)=a mod 4 ❖g是半群同态，且是满同态 证明： g(a+b) =(a+b) mod 4 =a mod 4 +4 b mod 4 =g(a) +4 g(b) 3 2 1 0 3 2 1 0 ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ → M M M M
10,1群的定义及性质 豪 口群:为独异点,并且 令每个元素都有逆元 口例: ☆是群,幺元是0,逆元是相反数 令,·为矩阵乘法运算 存在幺元是单位矩阵In 不是群,逆矩阵不一定存在 为群 Sn(R)=所有可逆矩阵的全体
9 10.1 群的定义及性质 ❑群 ： 为独异点, 并且 ❖每个元素都有逆元 ❑例： ❖ 是群,幺元是0,逆元是相反数 ❖ ，•为矩阵乘法运算 • 存在幺元是单位矩阵n • 不是群,逆矩阵不一定存在 ❖ 为群 • Sn(R)=所有可逆矩阵的全体
)10.1群的定义及性质 豪 口为群其中N={012345 令幺元是0 1+5=02+4=03+3=0 口为群 ☆VB∈P(A)Be=AB=B ☆B④B= 10
10 10.1 群的定义及性质 ❑ 为群,其中N6={0,1,2,3,4,5} ❖幺元是0 ❖1+65=0,2+64=0,3+63=0 ❑为群 ❖BP(A),B=B=B ❖BB=
)10.1群的定义及性质 豪 口例:四元群,设G={e,a,b,}运算*表如下 eabc eeabc aaecb cea ccbae ☆e为单位元 令G中运算是可交换的 令每个元素都有逆元
11 10.1 群的定义及性质 ❑例：四元群，设G={e,a,b,c}运算*表如下 ❖e为单位元 ❖G中运算是可交换的 ❖每个元素都有逆元 * e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
)10.1群的定义及性质 豪 口群论中一些重要的概念 令有限群G:G为有限集 无限群G:G为无限集 群G的阶:G的基数 平凡群:只含单位元的群 ☆交换群(阿贝尔群):G中的二元运算是可交换的 口例: 为无限群 令是有限群,阶数为n 令是平凡群 12
12 10.1 群的定义及性质 ❑群论中一些重要的概念 ❖有限群G：G为有限集 ❖无限群G：G为无限集 ❖群G的阶：G的基数 ❖平凡群：只含单位元的群 ❖交换群(阿贝尔群)：G中的二元运算是可交换的 ❑例： ❖为无限群 ❖是有限群, 阶数为n ❖是平凡群