第八章:函数 口主要内容 口函数的定义与性质 ●函数定义 ●函数性质 口函数运算 ●函数的复合 ●反函数 口双射函数
1 第八章: 函数 ❑ 主要内容 ❑ 函数的定义与性质 ⚫ 函数定义 ⚫ 函数性质 ❑ 函数运算 ⚫ 函数的复合 ⚫ 反函数 ❑ 双射函数
第八章:函数 自第一节:函数的定义与性质
2 第八章: 函数 第一节：函数的定义与性质
②81函数的定义与性质 口函数的历史: ◆十七世纪伽俐略提出过非形式化的函数概念 ◆笛卡尔的解析几何中讨论一个变量对另一个变量 的依赖关系 ◆莱布尼兹、牛顿在几何和微积分中都使用函数 ◆康托在集合论中用“集合”和“对应”的概念给 出了近代函数定 康托尔,G.(F.P.)
3 8.1 函数的定义与性质 ❑函数的历史： ❖十七世纪伽俐略提出过非形式化的函数概念 ❖笛卡尔的解析几何中讨论一个变量对另一个变量 的依赖关系 ❖莱布尼兹、牛顿在几何和微积分中都使用函数 ❖康托在集合论中用“集合”和“对应”的概念给 出了近代函数定义
②81函数的定义与性质 口函数是具有特殊性质的二元关系 也称为映射或变换 口本章定义一般函数类和各种特殊子类 侧重讨论离散函数 O The McGraw-Hill Companies, Inc. all rights reserved Adams Chou Goodfriend Rodriguez o Stevens F 4
4 8.1 函数的定义与性质 ❑函数是具有特殊性质的二元关系 ❖也称为映射或变换 ❑本章定义一般函数类和各种特殊子类 ❖侧重讨论离散函数
②81函数的定义与性质 口函数(映射)F:F为二元关系,满足 令VX∈dmF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立 口F在x的值y:xFy 令记做y=F(x) 令x称为F的自变量 口函数相等:设F,G是函数 令F=G分 FCGAG CF
5 8.1 函数的定义与性质 ❑函数(映射)F：F为二元关系，满足 ❖x∈dom F都存在唯一的y∈ranF,使xFy成立 ❑F在x的值y：xFy ❖记做y＝F(x) ❖x称为F的自变量 ❑函数相等：设F，G是函数 ❖F＝G FG∧G F
②81函数的定义与性质 口A到B的函数f:设A,B是集合,如果f为函数 ,且domf=A, ranfcB 今记为fA-B 口存在性∨x(x∈A→>3y(y∈B∧∈∫) and 口唯一性(∈∧∈f)→y=y2 e The McGraw-Hill Co es, Inc. all rights reserved. ● b=f(a)
6 8.1 函数的定义与性质 ❑A到B的函数f：设A，B是集合，如果f为函数 ，且domf=A, ranfB ❖记为f: A→B ❑存在性 ❑唯一性 1 2 1 2 ( , , ) ( ( , )) x y f x y f y y and x x A y y B x y f → = →
②81函数的定义与性质 口例:f:{ab,crd}→{123} f(a)=1 x f(X) a f(b)=2或 b 1 f(c=2 b 2 f(d)=1 C 2 d 3
7 8.1 函数的定义与性质 ❑例：f: {a,b,c,d} → {1,2,3} f(a)=1 x f(x) f(b)=2 或 a 1 f(c)=2 b 2 f(d)=1 c 2 d 1 a b c d 1 2 3
②81函数的定义与性质 口A到B的函数集合BA(B上A) BA={f|f:A→B} 口例:设A={123},B={ab},求BA 解:BA={fo 0n11r■■17 fo={ f1={} f2={ fa={} f4={} } f6={} fr={
8 8.1 函数的定义与性质 ❑ A到B的函数集合BA (B上A) ❖ BA ={f | f: A → B} ❑ 例：设A={1, 2, 3}, B={a,b}，求BA 解：BA={f0,f1,…,f7} f0={,,} f1={,,} f2={,,} f3={,,} f4={,,} f5={,,} f6={,,} f7={,,}
②8.1函数的定义与性质豪 若A=Φ,B是任意集合,那么BA={ 口若A≠Φ而B=Φ,不存在从A到B的函数
9 8.1 函数的定义与性质 ❑ 若A=Ф，B是任意集合，那么BA ={Ф} ❑ 若A≠Ф而B=Ф，不存在从A到B的函数
②81函数的定义与性质 口函数的像:设是从A到B的函数,AcA,B′ ☆f(A)={f(x)X∈AT叫做A在函数f下的像 ●f(A)为函数f的像(f的值域) 令千1(B)={X|X∈AAf(x)∈B称f1(B)为 B在下的完全原像 口性质: 令A'cf1(f(A)) 令A"1(f(A)) 例:f:{123}01}, f(1)=f(2)=0,f(3)=1 考虑A′={1} 10
10 8.1 函数的定义与性质 ❑函数的像：设f是从A到B的函数，A’A，B’ B ❖f(A’)={f(x)| x∈A’},叫做A’在函数f下的像 • f(A)为函数f的像(f的值域) ❖f－1(B’)={x|x∈A∧f(x)∈B’},称f－1 (B’)为 B’在f下的完全原像 ❑性质： ❖A’ f－1(f(A’)) ❖A’ ≠f－1(f(A’)) • 例：f:{1,2,3}→{0,1}, f(1)=f(2)=0, f(3)=1 考虑A’={1}