第4章数值微积分
第4章 数值微积分
第4章数值微积分 对于函数(x)在区间ab上的定积分 ()=f(x)x (4-1) 若能求得f(x)的原函数F(x),即F(x)=f(x) 则由 Newton- Leibnitz公式 /(O)=F(x)=F(b)-F(a) 但由于实际情况中,f(x)的原函数很难求出,因此,只能计算 定积分的近似值
第4章 数值微积分 对于函数f x a b ( ) [ , ] 在区间 上的定积分 ( ) ( ) (4-1) b a I f f x dx = 若能求得f x F x ( ) ( ) 的原函数 ,即F x f x ( ) ( ) = 则由Newton Leibnitz - 公式 ( ) ( ) ( ) ( ) b a I f F x F b F a = = − 但由于实际情况中, ( ) , f x 的原函数很难求出因此,只能计算 定积分的近似值
第4章数值微积分 数值积分 考虑用函数f(x)在一些数据点处的值的适当组合,作为 定积分/()的近似 ()≈Q()=∑4f(x) (4-2) 其中:x是适当选取的点,称为节点 A称为求积系数 公式(4-2)称为求积公式,以上方法称为数值积分
第4章 数值微积分 数值积分 ( ) , ( ) f x I f 考虑用函数 在一些数据点处的值的适当组合 作为 定积分 的近似 0 ( ) ( ) ( ) (4-2) n k k k I f Q f A f x = = k 其中:x 是适当选取的点,称为节点 Ak称为求积系数 公式(4-2)称为求积公式 ,以上方法称为数值积分
第4章数值微积分 数值积分要考虑的问题 (1)如何选择合适的节点x (2)确定合适的求积系数4; (3)如何计算误差E(f)=1()-Q,并使其尽可能的小 求积公式可以分成两大类 (1) Newton-COes型公式基于等距分布的节点 (2)Gas公式取相应的正交多项式的根作为节点
第4章 数值微积分 数值积分要考虑的问题 (1) ; k 如何选择合适的节点x 求积公式可以分成两大类 (1) Newton Cotes - , 型公式 基于等距分布的节点 (2) Gauss型公式,取相应的正交多项式的根作为节点 (2) ; 确定合适的求积系数Ak (3) ( ) ( ) - ( ), 如何计算误差 E f I f Q f = 并使其尽可能的小
第4章数值微积分 内插求积 Newton- Cotes公式 对任意被积函数f(x),在给定的节点x,(=0,1,2,…,n) 对应的函数值为(x),则可构造插值多项式p(x)来近似(x) f(x)=p,(x)+r(x) 其中:R(x)为插值多项式的余项 对上式,两边同时积分,有 f(x)x=」p(x)+」R(x) 由于f(x)≈p(x),不考虑误差项,有 ()=(x)k=J,p(xk=)
第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 对任意被积函数f x( ) ( 0,1,2,..., ) i ,在给定的节点x i n = ( )i 对应的函数值为f x ( ) ( ) n ,则可构造插值多项式p x f x 来近似 ( ) ( ) n f x p x = ( ) +R x n 其中:R x( )为插值多项式的余项 对上式,两边同时积分,有 ( ) ( ) ( ) b b b n n a a a f x dx p x dx R x dx = + ( ) ( ) n 由于f x p x ,不考虑误差项,有 ( ) ( ) b a I f f x dx = ( ) b n a p x dx = Q f ( )
第4章数值微积分 内插求积 Newton- Cotes公式 若取插值多项式为 Lagrange多项式,得到 Q)=∑4(x(x)=∑(门4(x))(x) 记4=4(x)k=012,,n,有 Q)=∑4f(x) 误差 E(f)=()-Qf °R(xx n+ (5) o(x (n+
第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 若取插值多项式为Lagrange多项式 ,得到 0 ( ) ( ) ( ) n b k k a k Q f l x f x dx = = ( ) , 0,1,2,..., b k k a A l x dx k n = = 记 0 ( ) ( ) n k k k Q f A f x = = ,有 误差 E f I f Q f ( ) ( ) ( ) = −( ) b n a = R x dx ( 1) ( ) ( ) ( 1)! n b a f x dx n + = + ( ) 0 ( ) ( ) n b k k a k l x dx f x = =
第4章数值微积分 内插求积 Newton- Cotes公式 由4=4(x)d确定的4,仅与节点x(=0,,m选择有关 与被积函数(x)无关,若节点x(=0,2,,n满足关系 a=x<x<…<x=b,求积系数由4=J4(确定 则此种方法形成的计算(求积公式Q)称为内插求积公式 若被积函数f(x)是不超过m次的多项式则/m(x)=0,则有E()=0 即(f)=Q() 定义41如果对任一不超过m次的多项式pn(x),内插求积公式Q 总有/(pn)=Q(pn),而对某一个m+1次多项式Dm+(x),1(Pm)≠Q(Pm 则称此求积公式的代数精度为m,或称此公式具有m次代数精度
第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 ( ) b k k k a A l x dx A = 由 确定的 与被积函数f x( )无关, ( 0,1,2,..., ) i 若节点x i n = 满足关系 0 1 n a x x x b = = , ( ) , b k k a A l x dx = 求积系数由 确定 则此种方法形成的计算I f Q f ( ) ( ) 的求积公式 称为内插求积公式 ( 1) ( ) , ( ) 0, ( ) 0 ( ) ( ) n f x n f x E f I f Q f + = = 若被积函数 是不超过 次的多项式 则 则有 即 定义4.1 ( ) 如果对任一不超过m p x 次的多项式 m ,内插求积公式Q f ( ) ( ) ( ) m m 总有I p Q p = 1 1 ( ) m p x + m+ ,而对某一个 次多项式 1 1 , ( ) ( ) m m I p Q p + + 则称此求积公式的代数精度为m ,或称此公式具有m次代数精度 ( 0,1,..., ) i ,仅与节点x i n = 的选择有关
第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.1 Newton- Cotes公式 在以上公式中,节点x按等距分布, 令h b-a xk=a+Mh,=0,1,2 则称内插求积公式为Meon-Cos公式通常取n=12,4等值 (1)n=1则x0=a,x=b插值函数公式为 P(r)sb-x f(b) C 可求得A=A1 求积公式为 b Q()=7=-[f(a)+f(b 称为梯形求积公式
第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 4.1.1 Newton-Cotes公式 k 在以上公式中,节点x 按等距分布, b ah n 令 = , 0,1,2,..., k x a kh k n = + = 则称内插求积公式为Newton Cotes − 公式 通常取n =1,2,4等值 (1) 1 n = 0 1 则x a x b = = , 插值函数公式为 1 - - ( ) ( ) ( ) - - b x x a p x f a f b b a b a = + 0 1 2 b a A A − 可求得 = = 1 ( ) [ ( ) ( )] 2 b a Q f T f a f b − = = + 求积公式为 称为梯形求积公式
第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.1 Newton-Cotes公式 定理4.1设(x)在a,b上连续,则梯形求积公式的误差是 E fn,a<n<b 12 b 证明:E1=a R(x) fla,b,xx-a)(x-b)ax 由于f(x)在,可知关于的二阶差商abx连续 在a,b上有(x-a)(x-b)≤0,由积分中值定理,差商性质2,知 存在n∈(a,b),使 b E= f[ a.oxIr-aNx b)dx -fla, b, 5l(x-a(x-b)dx sE(a, b f"(n)(b-a)3n∈(a,b)
第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 4.1.1 Newton-Cotes公式 定理4.1 设f x a b ( ) [ , ] 在 上连续 ,则梯形求积公式的误差是 ( ) 3 1 - - ( ), 12 b a E f a b = 证明: 1 1( ) b a E R x dx = [ , , ]( )( ) b a = − − f a b x x a x b dx 由于f x ( )存在 , , [ , , ] 可知 关于x f a b x 的二阶差商 连续 在[ , ] , ( )( ) 0, a b x a x b 上 有 − − 由积分中值定理,差商性质2,知 存在( , ), a b 使 1 [ , , ]( )( ) b a E f a b x x a x b dx = − − [ , , ] ( )( ) ( , ) b a = − − f a b x a x b dx a b 1 3 ( )( ) ( , ) 12 = − − f b a a b
第4章数值微积分 内插求积 Newton-Cotes公式 1.1 Newton- Cotes公式 (2)n=2则h= b a+b b 2 插值多项式为 (x-x1)(x-x2) x-xolx-x x X)+ (x-x1)(x-x2 (x1-x0)(x1-x x-no(r-x f(x2) x-X0)(x2-x A (x-x1)(x-x2) (x-x1)(x-x2) th+2ht h x-a=t roh(t-h)(t-2h (-h)·(-2h)
第4章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes公式 4.1.1 Newton-Cotes公式 (2) 2 n = 0 1 2 , , , 2 2 b a a b h x a x x b − + 则 = = = = 插值多项式为 1 2 0 2 2 0 1 0 1 0 2 1 0 1 2 0 1 2 2 0 2 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) + ( ) ( )( ) x x x x x x x x p x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x − − − − = + − − − − − − − − 1 2 0 0 1 0 2 ( )( ) ( )( ) b a x x x x A dx x x x x − − = − − 2 0 ( )( 2 ) ( ) ( 2 ) x a t h t h t h dt h h − = − − = − − 2 3 2 2 2 0 1 3 2 3 2 2 h t t h h t h − + = 3 h =
