第六节定积分的几何应用 微元法 平面图形的面积 、旋转体的体积 四、平行截面面积为已知 的立体的体积
第六节 定积分的几何应用 一、微元法 二、平面图形的面积 三、旋转体的体积 四、平行截面面积为已知 的立体的体积
微元法 回顾曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线 y=∫(x) y=∫(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=、 x=b所围成。 b x b A=f(x)dc
回顾 曲边梯形求面积的问题 ( ) b a A f x dx = 一、微元法 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x) 0) 、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)
面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间[a,6分成n个长度为△x;的小区间 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,第i 个小窄曲边梯形的面积为△4,则A=∑△A (2)计算△4的近似值 △41≈f(9)x25∈△x (3)求和,得A的近似值As∑f(5)△x
面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间[a,b]分成n个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为Ai，则 = = n i A Ai 1 . （2）计算Ai 的近似值 i i xi A f ( ) i xi （3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A f x =
(4)求极限,得A的精确值 A=lim∑f(5Ar=/(x)面 积 提示若用△A表示任一小区间 元素 x,x+△x上的窄曲边梯形的面积, y=f(r) 则A=∑△,并取△A≈f(x)dc 于是A≈∑f(x)dx a x x+dbx A=im∑f(x)tx=J(x)r
a b x y o y = f (x) （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A = f x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则A = A，并取A f ( x)dx， 于是A f (x)dx A = lim f (x)dx ( ) . = b a f x dx x x + dx dA 面 积 元 素
当所求量U/符合下列条件: (1)U是与一个变量x的变化区间[a,6有关 的量; (2)U对于区间nb具有可加性,就是说, 如果把区间[a,6分成许多部分区间,则相 应地分成许多部分量,而等于所有部分量之 和 (3)部分量△U的近似值可表示为f(5)Ax 就可以考虑用定积分来表达这个量
当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x的变化区间a,b有关 的量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U
微元法的一般步骤: 1)根据问题的具体情况,选取一个变量例妳为 积分变量,并确定它的变化区间4,b; 2)设想把区间q,b分成t个小区间,取其中任 小区间并记为[x,x+dx],求出相应于这小区 间的部分量△U的近似值如果U能近似地表示 为a,b上的一个连续函数在x处的值∫(x)与 的乘积,就把f(x)x称为量的元素且记作 lU,即U=f(x)dx;
微元法的一般步骤： 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2）设想把区间[a,b]分成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[x, x + dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x 处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作 dU ，即dU = f ( x)dx；
3)以所求量U的元素f(x)dc为被积表达式,在 区间a,b上作定积分,得U=f(x), 即为所求量U的积分表达式 这个方法通常叫做微元法 几何应用方向: 平面图形的面积;体积
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx为被积表达式，在 区间[a,b]上作定积分，得 = b a U f (x)dx， 即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做微元法． 几何应用方向： 平面图形的面积；体积．
二、平面图形的面积 1.直角坐标系下平面图形的面积 y=f(r) y=/2(x) yi=f(r) 0 a xx+△ x x△ 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 A=f(x)dx 2(r)-f(x)ldx
x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a b 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx 二、平面图形的面积 1. 直角坐标系下平面图形的面积 xx + x xx
例1计算由两条抛物线y2=x和y=x所围成的 图形的面积 解两曲线的交点 (0,0)(1,1) y=p 选x为积分变量x∈[0, 0.2D.4D.6D.B1 面积元素d4=(x-x2)d 3 A=(x-x2)=2x2-x 33 0
例 1 计算由两条抛物线y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y
例2计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成 的图形的面积 6x 解两曲线的交点 =x-6x →(0,0),(-2,4),(3,9). 选x为积分变量x∈|-2,3 (1)xe-2,0,d41=(x32-6x-x2r (2)x∈|0,3l,d42=(x2-x3+6x)d
例 2 计算由曲线y x 6x 3 = − 和 2 y = x 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0), (−2,4), (3,9). = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x[−2, 3] (1) x[−2, 0], dA (x 6x x )dx 3 2 1 = − − (2) x[0,3], dA (x x 6x)dx 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = −