x=F(b)-千(0)千(x=x).0x在 米他物 xx÷二x) 第五章数值积分和微分 x)=x)=①nx+ax++x+a l+/ ocd=x+c
1 第五章 数值积分和微分
Q IX (M+ 0-x%) v二8 一、一般求积公式及代数精度 设函数f(x)在区间[a上具有一定的光滑度,用数值 积分方法计算∫fxd的最一般的方法是用f(x)在节点 a=xn<x1<…<xn=b的函数值的线性组合来近似地表示 f(x)≈∑A1f(x;) (1) 其中A(i=1,2n)是与f(x)无关的常数称为求积系数, (1)称为求积公式,x(i=12,,n)称为求积节点。 2
2 设函数 f ( x) 在区间a,b上具有一定的光滑度，用数值 积分方法计算 b a f (x)dx 的最一般的方法是用 f ( x)在节点 a = x0 x1 ... xn = b的函数值的线性组合来近似地表示： ( ) ( ) 0 i n i i b a f x dx A f x = （1） 其中 A (i 1,2,...n) i = 是与 f ( x)无关的常数称为求积系数， （1）称为求积公式， x (i 1,2,...,n) i = 称为求积节点。 一、一般求积公式及代数精度
f(x)∑4f(x)(1) i=0 )=+(x)取≤W 三 定义1如果(1)对于任何次数不高于m次的代数多项式都精 确成立,对于x不能精确成立,则称(1)具有m次代数精度。 注: 1.如果去掉定义一中的第二个条件,则称公式(1)至少具有 m次代数精度 2.若求积公式(1)对∫(x)g(x)都精确成立,那么(1)对 q(x)+/g(x)亦精确成立
3 注： 1. 如果去掉定义一中的第二个条件，则称公式（1）至少具有 m 次代数精度。 2. 若求积公式（1）对 f (x), g(x) 都精确成立，那么（1）对 f (x) + g(x) 亦精确成立。 0 ( ) ( ) (1) n b i i a i f x dx A f x = 定义 1 如果（1）对于任何次数不高于 m 次的代数多项式都精 确成立,对于 m+1 x 不能精确成立,则称(1)具有 m 次代数精度
实际上,如果(x)=∑4/()且∫8(x)=∑4g(x), i=0 则令:F(x)=a/f(x)+Bg(x),那么: f(x)=(()+g()=()+ =a∑Af(x)+B∑Ag(x) i=0 ∑4(af(x)+B8(x) ∑AF(x) 4
4 实际上，如果 0 ( ) ( ) n b i i a i f x dx A f x = = 且 0 ( ) ( ) n b i i a i g x dx A g x = = ， 则令：F x f x g x ( ) = + ( ) ( )，那么： ( ) b a F x dx ( ( ) ( )) b a = + f x g x dx ( ) ( ) b b a a = + f x dx g x dx 0 0 ( ) ( ) n n i i i i i i A f x A g x = = = + ( ) 0 ( ) ( ) n i i i i A f x g x = = + 0 ( ) n i i i A F x = =
公验证(1)式具有m次代数精度,只需验证(1)式对 f(x)=x(k=0,2,…,m)精确成立,而对于f(x)=xm不精确 成立即可。 因为,若(1)式κ(k=0,1,2,…,m)精确成立, 则对/()=anx"+anx1+…+ax+a有k 2意 w氢比 If(x)dx=l(amx"+am-x++ax+a)dx x"dx+ ∫x"h+…+1+aa 1-1 5
5 3. 验证（1）式具有 m 次代数精度，只需验证（1）式对 k f x x ( ) = 0 1 2 ( , , ,..., ) k m = 精确成立，而对于 1 ( ) + = m f x x 不精确 成立即可。 因为，若（1）式 ( 0,1,2,..., ) k x k m = 精确成立， 则对 1 1 1 0 ( ) m m m m f x a x a x a x a − = + + + + − 有 ( ) 1 1 1 0 ( ) b b m m m m a a f x dx a x a x a x a dx − = + + + + − 1 1 1 0 b b b b m m m m a a a a a x dx a x dx a xdx a dx − = + + + + + −
则对f(x)=anx+an1xm+…+ax+an有 b ∫/(xk=(nx+anxm1+…+ax+a) x"dx x"x+…+axhk+a ∑4x+an24x+…+a∑4x+a∑4 i=0 ∑4(anx"+an …+ax2+a fix: ∑Af(x) 6
6 ( ) 1 1 1 0 ( ) b b m m m m a a f x dx a x a x a x a dx − = + + + + − 1 1 1 0 b b b b m m m m a a a a a x dx a x dx a xdx a dx − = + + + + + − 1 1 1 1 0 0 0 0 0 n n n n m m m i i m i i i i i i i i i a A x a A x a A x a A − − = = = = = + + + + ( ) 1 1 1 0 0 n m m i m i m i i i A a x a x a x a − − = = + + + + 0 ( ) n i i i A f x = = 。 则对 1 1 1 0 ( ) m m m m f x a x a x a x a − = + + + + − 有
x)=52,0 二、插值型求积公式 设a=x<x1<…<xn=b,称为区间[a,b]的一个分割。 以xn,x1…x为插值节点作插值多项式L(x),用∫L()k 近似(x)是一个自然的想法。由于: 245x]=2108x Ⅵ Ln(x)=∑1(x)f(x) i=0 ∫,∫(x)≈JL,(k=∑f(x)4(x)=∑4/(x)(2) 其中4=1(x) 7
7 二、 插值型求积公式 设 a = x0 x1 ... xn = b,称为区间a,b的一个分割。 以 x x xn , ,..., 0 1 为插值节点作插值多项式 L (x) n ，用 ( ) b n a L x dx 近似 ( ) b a f x dx 是一个自然的想法。由于： 0 ( ) ( ) ( ) n n i i i L x l x f x = = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n b b b n i i a a a i f x dx L x dx f x l x dx = = ( ) 0 i n i Ai f x = = （2） 其中 A l x dx b a i i ( ) =
4=J1(x)x 定义2对于给定节点w,x,x,如果求积系数A(=01-,n) 由 =』m (x)de 式确定,则称此时的求积公式为插值型求积公式
8 定义 2 对于给定节点 x x xn , ,..., 0 1 ，如果求积系数 A (i 0,1,...,n) i = 由 ( ) b i i a A l x dx = 式确定，则称此时的求积公式为插值型求积公式。 ( ) (2) b i i a A l x dx =
定理1∫he()是插值型求积公式的充分必要 条件是它的代数精度m≥n 由上可见,这样构造的插值型求积公式具有如下特点: (1)复杂函数f(x)的积分可转化为多项式的积分。 (2)求积系数A只与积分区间及节点有关,而与被积函数 f(x)无关。因此,可以一次求出系数,多次使用
9 定理 1 是插值型求积公式的充分必要 条件是它的代数精度m n。 由上可见，这样构造的插值型求积公式具有如下特点： (1) 复杂函数 f (x) 的积分可转化为多项式的积分。 0 ( ) ( ) = n b i i a i f x dx A f x (2)求积系数 Ak 只与积分区间及节点有关，而与被积函数 f (x) 无关。因此，可以一次求出系数，多次使用
(3)n+1个节点的插值型求积公式至少具有m次代数精度。 实际上,如果f(x)是次数不大于n的多项式 认 b==(个三4对代 那么Ln(x)=f(x),所以(2)式准确成立. △ (4求积系数A之和∑A等于区间的长度b-a 因为n≥1,插值型求积公式(2)至少具有一次代数精度, ()这是零次多项式(2)精确成立,所以 ∑4=∑4(x)=J(xk=b=a i=0 10
10 (3) n+1 个节点的插值型求积公式至少具有 n 次代数精度。 实际上，如果 f x( ) 是次数不大于 n 的多项式， 那么 L x f x n ( ) = ( )，所以（2）式准确成立． (4)求积系数 Ak 之和 0 n i i A = 等于区间的长度b a- 。 因为 n 1 ，插值型求积公式（2）至少具有一次代数精度， 令 f x( ) =1，这是零次多项式，（2）精确成立，所以： ( ) 0 0 ( ) n n b i i i a i i A A f x f x dx b a = = = = = −