第四章随机变量的数字特征 第一节数学期望 第二节方差 第三节协方差及相关系数 第四节矩、协方差矩阵
第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差及相关系数 第四节 矩、协方差矩阵
第四章随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的分布函数,从中知道 随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统 计规律。 但在许多实际问题中,人们并不需要去全面 考察随机变量的变化情况,而只需要知道它的数 字特征即可
第四章 随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的分布函数，从中知道 随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统 计规律。 但在许多实际问题中，人们并不需要去全面 考察随机变量的变化情况，而只需要知道它的数 字特征即可
§41数学期望 例1设甲、乙两射手在同样条件下进行射击,其命中环数是 随机变量,分别记为X、Y,并具有如下分布律 XP 10987 Y10987 0.6010.20.1 P4040.30102 k 试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高? 解108908029101(09+983218×0120 =10×0.6+9×0.+8×02+7×0.1=10×0.4+9×0.3+8×01+7×0.2 =9.2(环) =89(环) 由此可见,射手甲的射击水平略高与射手乙的射击水平
§4.1 数学期望 例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一 随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律 X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 Pk 0.6 0.1 0.2 0.1 Pk 0.4 0.3 0.1 0.2 试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？ 1 (10 60 9 10 8 20 7 10) 100 + + + 8.9( ) 10 0.4 9 0.3 8 0.1 7 0.2 (10 40 9 30 8 10 7 20) 100 1 = 环 = + + + 解 + + + 由此可见，射手甲的射击水平略高与射手乙的射击水平。 = + + + 10 0.6 9 0.1 8 0.2 7 0.1 = 9.2 （环）
定义1设离散型随机变量X的分布律为 PiX=x=Pk, k=1, 2, 若级数∑xPk绝对收敛,则称此级数的和为随机变 k=1 量X的数学期望记为E(X.即Ex)=∑xn =1 定义2连续型随机变量X的概率密度为八x),若积分 ∫。xf(xk绝对收敛,则称此积分值为随机变量x 的数学期望,记为E(X,即 E(X)= xf(x)dx 注]数学期望简称为期望,又称为均值
定义1 设离散型随机变量X的分布律为 若级数 绝对收敛，则称此级数的和为随机变 量X的数学期望.记为E(X)．即 { } , 1,2, , P X x p k = = = k k k k k x p =1 k k E X xk p = = 1 ( ) E(X) x f (x)dx + − = 定义2 连续型随机变量X的概率密度为 f(x), 若积分 绝对收敛，则称此积分值为随机变量X 的数学期望，记为E(X), 即 x f (x)dx + − [注] 数学期望简称为期望，又称为均值
例1设Xm(),求E(X)E()= 解X的分布律为PXx=l} zke- = h!,k=0,1,2 nke 例2设 X-U(a, b),求EX)BC人a+ X)=∑k k=0 (k-1) 解x的概率密度为f=分3<x→ 0,其它 E(X)=f(x)x=[ bx a+b = a b
例1 设X~(), 求 E(X) 解 X的分布律为 ! E(X) 0 k e k k k + − = = + = − − − = 1 1 ( 1)! k k k e = = − e e , ! P{X } k e k k − = = k = 0,1,2, , E(X)= 例2 设X~U(a, b), 求 E(X) 解 − E(X) = xf (x)dx = − 0, 其 它 , 1 ( ) a x b f x b a 2 a b dx b a b x a + = − = X的概率密度为 E(X)= 2 a + b
例4某商店对某种家用电器的销售采用先使用后 付款的方式记使用寿命为X(以年记,规定: X1,一台付款1500元;10 x<0. 试求该商店一台电器收费Y的数学期望
例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后 付款的方式.记使用寿命为X(以年记), 规定: X1, 一台付款1500元; 13, 一台付款3000元. 试求该商店一台电器收费Y的数学期望. = − 0, 0. , 0 10 1 ( ) 1 0 x e x f x x 设寿命X服从指数分布, 概率密度为
解一台收费的分布律 Y 1500 2000 2500 3000 k 0.09520.0861 0.07790.7408 1ax1dk=1-。01=0.0%5 P(XE(Y)=273215
解 一台收费Y的分布律 Y 1500 2000 2500 3000 pk P{X1} P{ 13} 1 0.0952, 10 1 { 1} /10 0.1 1 0 = = − = − − P X e dx e x 0.0861, 10 1 {1 2} 10 0.1 0.2 2 1 = = − = − − − P X e dx e e x 0.0779, 10 1 {2 3} /10 0.2 0.3 3 2 = = − = − − − P X e dx e e x 0.7408, 10 1 {3 } /10 0.3 3 = = = − − P X e dx e x 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408 E(Y)=2732.15
◆随机变量的函数的数学期望 定理1设Y是随机变量X的函数:F=g(X)(g为连续函数) (1)X离散型的分布律为:P4=P{X=x},k=1,2,… 若级数∑g(x)P绝对收敛,则 E(Y)=Eg(X)=∑g(xk) =1 +0 (2)X(连续型的概率密度为f(x),若积分g(x)f(x 绝对收敛,则 E(Y)=E8(X)]= g(x)f(r)dx
(1) X(离散型)的分布律为： 若级数 绝对收敛，则 pk = P{X = xk }, k = 1,2, =1 ( ) k g xk pk ( ) [ ( )] ( ) , 1 k k E Y E g X g xk p = = = E(Y) E[g(X)] g(x) f (x)dx + − = = g(x) f (x)dx + − (2) X(连续型)的概率密度为 f (x) ,若积分 绝对收敛，则 定理1 设Y是随机变量X的函数：Y=g(X) (g为连续函数) ◆随机变量的函数的数学期望
证(1)由离散型随机变量的函数的分布,有 ()|g(x1)g(x2)…g(xk) 1112…Pk E()=E(X)=∑(x (2)设X是连续型随机变量,F=g(Ⅺ)的概率密度为 fy(y) ∫(y)](y)a0:E(=[m1M()()=[8(x)(x)(令y=g(x) h(y)<0:E()=- 1M)()=丁x(x=8(x)(x
p1 p2 pk g(x1 ) g(x2 ) g(xk ) ( ) [ ( )] ( ) , 1 k k E Y E g X g xk p = = = . , 0, [ ( )]| ( ) |, ( ) Y 其它 = f h y h y y f y = = + − E Y y f y dy yf h y h y dy Y ( ) ( ) [ ( )]| ( ) | E(Y) = yf[h(y)]h(y)dy = g(x) f (x)dx ( y = g(x)) + − 令 + − − + E(Y) = − yf[h(y)]h(y)dy = − g(x) f (x)dx = g(x) f (x)dx Y=g(X) 证 （1）由离散型随机变量的函数的分布，有 k p （2）设X是连续型随机变量，Y=g(X)的概率密度为 h( y) 0 : h( y) 0 :
例6国际市场每年对我国某种商品的需求量X(吨) 是一随机变量,它服从(a,b)上的均匀分布.设每售 出该商品一吨可以为国家创汇s万元,但若销不出去 而压于仓库,则每吨亏损l万元,问应组织多少货源 才使国家收益的期望值最大? 解设组织货源为t(吨),由题意ast≤b, 收益Y是X的函数 8()ssX-(t-X)/ 0l, a <Xst a<x<b t<Xsb ∫(x)={b 1°0.其它 E(Y)=(X)=g(x)f(x)令 E(=0 26-a)(+2+20s-(得:ts4+D小0 Ix-(t-x)u] dx+lst,dc b-a -(+s)+(la+sb) l+s
例6 国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨） 是一随机变量，它服从(a, b)上的均匀分布．设每售 出该商品一吨可以为国家创汇 s万元，但若销不出去 而压于仓库，则每吨亏损 l 万元，问应组织多少货源 才使国家收益的期望值最大？ 解 设组织货源为t（吨）,由题意a≤t ≤b, 收益Y是X的函数： X b X , X ( X) , Y (X) − − = = t a t st s t l g 1 , ( ) 0, a x b f x b a = − 其它. [ ( ) 2( ) ( ) ] 2( ) 1 1 1 [ ( ) ] 2 2 l s t l a sb t l s a b a dx b a dx st b a x t x l b t t a − + + + − + − = − + − = − − E Y E g X g x f x dx b a ( ) [ ( )] ( ) ( ) = = 令 得: E(Y) = 0 dt d l s la sb t + + = − + + + = ( ) ( ) 0 l s t la sb