《微积分》课程教学资源（PPT课件讲稿）重积分的换元法

第二节 第十章 二重积分的计算法 利用直角坐标计算二重积分 利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法 00000 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 *三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章

、矩形区域上的二重积分的计算 设D={a,b1×e,dl,f:D→R,如对x∈la,bl 函数f(x,)在c,d上可积,则可得如下函数: d I(x)=f(x,y)④y,x∈a,b C 如果函数I(x)也在a,b上可积,则得积分 ∫(x)d=f(x,y) 此积分称为累次积分.记为af(x,y) C 目录上页下页返回结9

目录 上页 下页 返回 结束 2 一 、矩形区域上的二重积分的计算 设 D  [a,b][c,d], f : D  R, 如对 x [a,b], 函数 f (x, ) 在[c,d]上可积, 则可得如下函数： I(x) f (x, y)dy, x [a,b]. d c    如果函数 I(x)也在[a,b]上可积, 则得积分 ( ) ( ( , ) ) .     b a d c b a I x dx f x y dy dx 此积分称为累次积分 . ( , ) .   b a d c 记为 dx f x y dy

类似理解: d b d eb dyl f(x, y)dx=( f(x, y)dx)dy C C 问题: d df(x,y)小y C f(x, y)do D delf(x,y)dr C 目录上页下页返回结9

目录 上页 下页 返回 结束 3 类似理解 : ( , ) ( ( , ) ) .      d c b a d c b a dy f x y dx f x y dx dy 问题 :  D f ( x, y)d ( , ) ,   b a d c dx f x y dy ( , ) .   d c b a ? dy f x y dx

定理21设f(x,y)在矩形区域D={a,1×1,d让上可积 且对x∈,b积分[f(x,y)都存在,则累次 C 积分 b df(x,y)也存在,且 b f(,y)do=dxf(x, y)dy D z=f(,y) A(x)=f(x, y)dy y no x

目录 上页 下页 返回 结束 4 设f (x, y)在矩形区域D  [a,b][c,d]上可积, 且对 x [a,b], 积分 ( , ) 都存在,  d c f x y dy 则累次 积分   b a d c dx f (x, y)dy 也存在, 且  D f ( x, y)d ( , ) .    b a d c dx f x y dy ( ) ( , ) d c A x  f x y dy  定理2.1

证明1(x)=f(x,y),x∈l,b C 对a,b1,c,d的分割 丌x:a=x00,6>0, D 当分割满足z<时,有 A-E<∑∑f(5,)xA<A+E.( 目录上页下页返回结束5

目录 上页 下页 返回 结束 5 : , 0 1 a x x x b  x     n  : , 0 1 c y y y d  y     m  [ , ], 1, , , 令 Ii  xi1 xi i   n [ , ], 1, , . J j  y j1 y j j   m 因此子矩形Ii  J j形成了D的分割   x  y   D 令A fd 由定义，  0,  0, I(x) f (x, y)dy, x [a,b]. d c    对[a,b],[c,d]的分割 证明 当分割满足   时，有 1 1 ( , ) . (1) n m i j i j i j A  f   x y A          

现取zx1<7,则z<6在①中取 ∑mf(5,2甲(5, 分别是f(2,)在c,d上的上和与下和 ∑证n(5,J)A≤!,小s∑p(5,J)Ay j=1 A-6≤∑(51)△x≤A+6 i=1 im∑(5)△x=A b f(x,y)do=axf(x,y)小 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 6    现取    ,则  2 , x y 在（1）中取   n j i j j f J y 1 inf ( , )    n j i j j f J y 1 sup ( , ) 分别是f ( i ,)在[c,d]上的上和与下和 I x A n j i i x      1 0 lim ( )   D f ( x, y)d ( , ) .    b a d c dx f x y dy           A I x A n i i i 1 ( ) 1 inf ( , ) ( , ) n d i j j i c j f  J y f  y dy         n j i j j f J y 1 sup ( , )

定理2.2 设f(x,y)在矩形区域D=|a,b×c,d上可积, 且对vy∈,d4,积分[f(x,y)k都存在,则累次 积分[小f(x,y)也存在,且 C JJ/(x, y)do=r dv[/(x, y)de D C 证明类似于定理1 目录上页下页返回结9

目录 上页 下页 返回 结束 7 设f (x, y)在矩形区域 D  [a,b][c,d]上可积, 且对 y [c,d], 积分 ( , ) 都存在,  b a f x y dx 则累次 且  D f ( x, y)d 积分 也存在,   d c b a dy f (x, y)dx ( , ) .    d c b a dy f x y dx 类似于定理1. 定理2.2 证明

推论2.1设f(x,y)在矩形区域D={a,bx|c,d上连续, 则有 d f(x, y)do= dx f(x, y)dy D d b dy f(x, y)d C 累次积分交换顺序的充分条件 f(x,y)在D上可积, 对vx∈la,b,积分[f(x,y)都存在, 对vy∈c,dl,积分[f(x,y)d都存在 目求上贝下贞返回”结界

目录 上页 下页 返回 结束 8 设f (x, y)在矩形区域 D  [a,b][c,d]上连续,  D f ( x, y)d ( , ) .    d c b a dy f x y dx 则有    b a d c dx f (x, y)dy 累次积分交换顺序的充 分条件 : f (x, y)在 D上可积, 对 x [a,b], 积分 ( , ) 都存在,  d c f x y dy 对 y [c,d], 积分 ( , ) 都存在.  b a f x y dx 推论2.1

例1设f(x,y)=1-x-y 计算』∫(x,d,其中D=0×l D 解因为f(x,y)满足推论2.1 的条件,所以 ∫(x,yd=df(x,y)”x 而f(xy)=(-x-y =(1-x)-y =(1-x)-=-x 所以f(x,y)do 2)dx=0. 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 9 设 f (x, y)  1 x  y ( , ) , 其中 D  [0,1][0,1].  D 计算 f x y d 因为f (x, y)满足推论2.1     1 0 1 0 f ( x, y)d dx f ( x, y)dy D  0 x x y 1 1 x  y 1 的条件, 所以 例1 解      1 0 1 0 f ( x, y)dy (1 x y)dy      1 0 1 0 (1 x)dy ydy   x    x 2 1 2 1 (1 ) 而 所以 ) 0. 2 1 ( , ) ( 1 0      f x y d x dx D 

二、一般区域上的二重积分的计算 X型区域 D={(x,y)y1(x)sy≤y2(x),a≤x≤b 特点:穿过区域且平行于y y轴的直线与区域 y=y2 边界相交不多于两 y=y() 个交点 目求上下贞返回

目录 上页 下页 返回 结束 10 二、 一般区域上的二重积分的计算 X型区域 {( , )| ( ) ( ), } 1 2 D  x y y x  y  y x a  x  b a b x y ( ) y  y1 x ( ) y  y2 x 特点：穿过区域且平行于 y轴的直线与区域 边界相交不多于两 个交点