第六节 第十二章 妈数顶級數的一收敛性 及一致收做盤飘的基本质 函数项级数的一致收敛性 二、一致收敛级数的基本性质
函数项级数的一致收敛性 *第六节 一、函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质 二、一致收敛级数的基本性质 第十二章
函数项级数的一致收敛性 幂级数在收敛区间上的性质类似于有限项函数求和 的性质,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点 例如,级数 x+(x--x)+(x-x-)+∴+(x-x 每项在[0,1上都连续,其前n项之和为Sn(x)=x 0.00 1.x=1 该和函数在x=1间断
一、函数项级数的一致收敛性 幂级数在收敛区间上的性质类似于有限项函数求和 但一般函 数项级数则不一定有这么好的特点. 例如, 级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 每项在 [0,1] 上都连续, 其前 n 项之和为 ( ) , n n S x = x 和函数 = = → S(x) lim S (x) n n 0, 0 x 1 1, x =1 该和函数在 x＝1 间断. 的性质
sinx sine sInn r 又如,函数项级数 sInn x 因为对任意x都有 (n=1,2 所以它的收敛域为(-∞,+∞),但逐项求导后的级数 COS x+Cos 2-x+.+cosn-x+.. 其一般项不趋于0,所以对任意x都发散 问题:对什么样的函数项级数才有 逐项连续 和函数连续 逐项求导=和函数求导;逐项积分=和函数积分
因为对任意 x 都有: ( 1,2, ) sin 1 2 2 2 n = n n n x 所以它的收敛域为(−, +) , 但逐项求导后的级数 cos x + cos 2 2 x ++ cos n 2 x + 其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 . 又如, 函数项级数 问题: 对什么样的函数项级数才有: 逐项连续 和函数连续; 逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛 回忆设(x)是区间/上的函数列若vx∈l,数列 (x)收敛,则称{(x)}在上收敛或逐点收敛 即VE>0,丑N(x0,B)>0,当n>N(x0,B)时,|fn(xn)-f(x0)kE 定义设{(x)}在点集/上逐点收敛于f(x)且对 任意>0,存在与x无关N(G),使得当n>N时,对 切x∈1,都有f,(x)-f(x)<6,则称{(x)在上 致收敛于f(x)
函数序列的一致收敛 回忆 0 ( ) , , n 设 f x I x I 是区间 上的函数列 若 数列 f x f x I n n ( ) ( ) . 0 收敛，则称 在 上收敛或逐点收敛 0 0 即 当 时 0, ( , ) 0, ( , ) , N x n N x 0 0 | ( ) ( ) | n f x f x − 定义 则称 f x I n ( )在 上一 设 f x I f x n ( ) ( ) 在点集 上逐点收敛于 ，且对 任意 0, 存在与x N 无关 ( ), , 使得当n N 时 对一 切x I , ( ) ( ) , n 都有 f x f x − 致收敛于f x( )
定理记:B,=supf(x)-f(x),则{f(x)在/上 x∈ 致收敛于f(x) e lim B=0 n→00 证明:若{n(x)}在上一致收敛于f(x),则vE>0, 丑N(E)>0,st.n>N()时,对x∈/都有, (x)-f(x)0,丑N()>0,n>N(B)时 n→0 <a ∈,J(x)-f(x)sBn<E f(x)}在上一致收敛于f(x)
证明： 反之， 定理 : sup ( ) ( ) n n x I f x f x 记 = − ，则 f x I n ( )在 上 ( ) lim 0 n n f x → 一致收敛于 = 。 { ( )} ( ), n 若 f x I f x 在 上一致收敛于 则 0, N( ) 0, s t n N . . ( ) , 时 对 x I都有, ( ) ( ) 2 n f x f x − sup ( ) ( ) 2 n n x I f x f x = − lim 0. n n → = lim 0, 0, ( ) 0, ( ) n n N n N → 若 = 则 时 , n , ( ) ( ) . n n − x I f x f x { ( )} ( ). f x I f x n 在 上一致收敛于
例.求证f(x)= 在(-∞,+∞)上一致收敛 1+n2x 证明:Vx∈(-∞,+∞), lim f, (x)=lim 0,逐点收敛于f(x)=0 n→)∞1+n2x 1 2nlx ∵fn(x)-f(x) < 2 1+n2x 2n1+n2x22n Bn=supx)-f(x)s2n→0 x∈(-∞,+∞0) f(x)致收敛于0,x∈(-∞,+0)
例. 证明： 2 2 ( ) ( , ) . 1 n x f x n x = − + + 求证 在 上一致收敛 − + x ( , ), 2 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 n x n x f x f x n x n n x n − = = + + 2 2 lim ( ) lim 0, ( ) 0. 1 n n n x f x f x → → n x = = = + 逐点收敛于 ( , ) 1 sup ( ) ( ) 0. 2 n n x f x f x n − + = − → ( ) 0, ( , ). n − + f x x 一致收敛于
例判断n(x)=,.22在(0,1)和(1,+∞)上是否一致收敛? nx 解:Vx,Iimf(x)=0 当10致收敛 x∈(1,+∞) n 当0<x<1时, 而月,=supf(x)-f(x)≥,()-0 x∈(0,1) n 1+12 不→0,故在(0,1)上不一致收敛
例. 解： 一致收敛 故在(0,1)上不一致收敛. 2 2 ( ) (0,1) (1, ) 1 n nx f x n x = + + 判断 在 和 上是否一致收敛？ , lim ( ) 0. n n x f x → = 当1 , + x 时 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 n nx nx f x f x n x n x nx n − = = + (1, ) 1 sup ( ) ( ) 0 n n x f x f x n + = − → 当0 1 , x 时 (0,1) 1 1 1 sup ( ) ( ) ( ) 0 , 1 1 2 n n n x f x f x f n = − − = = + 而 不→ 0
定义.设Sx)为∑n(x)在区间/上的和函数若对 任意给定的E>0,都有一个只依赖于s的自然数N,使 当n>N时,对区间I上的一切x都有 n(x)=S(x)Sn(x)<8 则称该级数在区间Ⅰ上一致收敛于和函数x) 显然在区间上 ∑un(x)-致收敛于和函数S(x) 部分和序列Sn(x)一致收敛于Sx) ←余项n(x)-致收敛于0
定义. 设 S(x) 为 ( ) 1 u x n n = 若对 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有 r (x) = S(x) − S (x) n n 则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 在区间 I 上的和函数, 任意给定的 > 0, 显然, 在区间 I 上 ( ) 1 u x n n = 一致收敛于和函数S(x) 部分和序列 S (x) n 一致收敛于S(x) 余项 r (x) n 一致收敛于 0
几何解释:(如图) VE>0,N∈N+,当n>N时,S(x)-Sn(x)<E表示 曲线y=Sn1(x)总位于曲线y=S(x)-E与y=S(x)+E 之间 =S(x)+E y=S(x y=Sno y=S(r)-8
几何解释 : (如图) y = S(x) + y = S(x) − I x y = S(x) 0, , N N+ 当n > N 时, S(x) − Sn (x) 表示 曲线 总位于曲线 y = S(x) −与y = S(x) + y S (x) = n y S (x) = n 之间
定理柯西收敛原理) ∑u1(x)在/上一致收敛于S(x)→vE>0,3N()∈N+, 当n>N(a)时,x∈1,vp∈N,mn(x)+…+m(x)<a 推论若∑u1(x)在上一致收敛,则{1(x)在/上一致 n=l 收敛于0。 逆否命题 若{n(x)在/上不一致收敛于0,则∑4(x)在/上不一致收敛 例讨论∑ne在(,+)上的一致收敛性 n=1
定理(柯西收敛原理) 1 ( ) ( ) n n u x I S x = 在 上一致收敛于 0, ( ) , N N+ 1 , , ( ) ( ) . n n p x I p N u x u x + + + + + 当n N ( ) , 时 推论 逆否命题: 收敛于0。 1 ( ) { ( )} n n n u x I u x I = 若 在 上一致收敛，则 在 上一致 1 { ( )} 0, ( ) . n n n u x I u x I = 若 在 上不一致收敛于 则 在 上不一致收敛 例 1 (0, ) . nx n ne − = 讨论 在 + 上的一致收敛性