§2连续函数的性质 在本节中,我们将介绍连续函数的局 部性质与整体性质熟练地攣握和运用 这些性质是具有分析修养的重要标 连续函数的局部性质 二、闭区间上连续函数的性质 三、反函数的连续性 致连续性 前页)后页)(回
前页 后页 返回 §2 连续函数的性质 在本节中,我们将介绍连续函数的局 一、连续函数的局部性质 四、一致连续性 三、反函数的连续性 二、闭区间上连续函数的性质 这些性质是具有分析修养的重要标志. 部性质与整体性质.熟练地掌握和运用 返回
一、连续函数的局部性质 所谓连续函数局部性质就是指:若函数∫在点x 连续(左连续或右连续),则可推知∫在点x的某 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保 号性、四则运算的保连续性等性质 前页】后页)返回
前页 后页 返回 一、连续函数的局部性质 x0 所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点 连续(左连续或右连续),则可推知 f 在点 x0的某 号性、四则运算的保连续性等性质. 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保
定理42(局部有界性)若函数∫在点x连续,则 ∫在某邻域U(x)上有界 证因为∫在x连续,所以对a=1,存在8>0, 当x-x0|0”,这样可求得 f(x)|的一个明确的上界. 前页】后页)返回
前页 后页 返回 0 | ( ) | | ( ) | 1. f x f x + 0 当| | , x x − 时 0 | ( ) ( ) | 1, f x f x − 故 | f (x) | 的一个明确的上界. 0 证 因为 在 连续， f x 所以对 = 1 ,存在 0 , 注意:我们在证明有界性时, 取 = 1 , 这个特定的值 而不是用术语 “对于任意的 0 , ” 这样可求得 0 f U x 在某邻域 ( ) . 上有界 定理4.2（局部有界性） 若函数 f 在点 x0 连续， 则
定理43(局部保号性)若函数∫在点x连续,且 f(x0)>0(或f(x0)0,当x∈(x0-6,x0+δ)时, f(x)>r(或∫(x)0,当x∈(x-8,x0+8)时,有 f(x)-f(x)<E0=f(x0)-r, 前页)后页级回
前页 后页 返回 f (x) r (或 f (x) −r 0), 0 0 存在 0, 当 时 有 x x x − + ( , ) , 0 0 0 | ( ) ( ) | ( ) , f x f x f x r − = − 0 0 0 ( ) ( ( ) 0) , − r f x f x r r 或 的正数 存在 0 定理4.3（局部保号性） 若函数 f x 在点 连续,且 ( ) 0 ( ( ) 0 ) , f x0 或 f x0 则对任意一个满足 证 因为 在 连续 所以对正数 f x f x r 0 0 0 , , = − ( ) 0 0 − + 0, ( , ) , 当 时 x x x
于是证得f(x)>r>0 注在具体应用保号性时,我们经常取r=f(x 2 定理44(连续函数的四则运算)若函数f(x),g(x) 均在点x连续,则函数 (1)f(x)+g(x),(2)f(x)-g(x), (3)f(x)·g(x),(4)f(x)/g(x),g(x)≠0 在点x也是连续的. 前页】后页)返回
前页 后页 返回 (1) ( ) ( ), f x g x + (2) ( ) ( ), f x g x − . 2 ( ) x0 f 注 在具体应用保号性时,我们经常取 r = 于是证得 f (x) r 0. 定理4.4（连续函数的四则运算） 若函数 f x g x ( ), ( ) 均在点x0连续,则函数 0 (3) ( ) ( ), f x g x (4) ( )/ ( ), ( ) 0 f x g x g x 0 在点 也是连续的 x
此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得 到,具体过程请读者自行给出 我们知道,常函数y=c与线性函数y=x都是R上 的连续函数,故由四则运算性质,易知多项式函数 P(x)=a0+a1x+…+anx 也是连续函数 前页】后页)返回
前页 后页 返回 此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得 0 1 ( ) n P x a a x a x = + + + n 也是连续函数. 我们知道,常函数 y = c 与线性函数 y = x 都是 R 上 到, 具体过程请读者自行给出. 的连续函数, 故由四则运算性质, 易知多项式函数
同理,有理函数 P(x)_4+a1x+…+anx (x)bn+bx+…+bnx" e(r) (分母不为零)同样是连续函数 下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下 是不变的 定理45若函数f(x)在点x连续,g(a)在点 连续,u=f(x)则复合函数g(f(x)在点x连续 前页】后页)返回
前页 后页 返回 0 1 0 1 ( ) ( ) n n m m P x a a x a x Q x b b x b x + + + = + + + 同理,有理函数 (分母不为零)同样是连续函数. 下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下 0 0 连续, ( ). u f x = 0 则复合函数 在点 连续 g f x x ( ( )) . 0 定理4.5 若函数 f x x ( )在点 0 连续，g u u ( )在点 是不变的
证由于g()在点连续,因此对于任意的E>0, 存在81>0,当|u-u0|0, 存在8>0,当x-x0<8时,有 I f(x-f(o=u-uo 1<81, 于是 g(f(x)-g((x)=g(u)-g(u0)<6, 前页】后页)返回
前页 后页 返回 0 , 存在 1 0 1 当 | | , u u − 时 有 0 | ( ) ( ) | , g u g u − 证 因此对于任意的 0 , 0 由于 g u u ( ) , 在点 连续 0 1 又因为 在点 连续 故对上述 f x x ( ) , 0 , 0 存在 − 0, | | , 当 x x 时 有 0 0 1 | ( ) ( ) | | | , f x f x u u − = − 0 0 | ( ( )) ( ( )) | | ( ) ( ) | , g f x g f x g u g u − = − 于是
这就证明了g(f(x)在点x连续 对这个定理我们再作一些讨论,以加深大家对该定 理的认识. (1)由img(a)=A,imf(x)=u不一定有 ulo x→>x0 lim gff(r =a 请大家仔细观察定理45的证明,看看此时究竞哪 里通不过 前页】后页)返回
前页 后页 返回 0 这就证明了 g f x x ( ( )) . 在点 连续 对这个定理我们再作一些讨论,以加深大家对该定 0 0 0 (1) lim ( ) , lim ( ) , u u x x g u A f x u → → 由 = = 不一定有 请大家仔细观察定理4.5 的证明, 看看此时究竟哪 0 lim ( ( )) . x x g f x A → = 理的认识. 里通不过
(2)若g(au)在a连续,im∫(x)=l,则有 lim g(f(x)=g(uo)=g(lim f(x)). (* 事实上,只要补充定义(或者重新定义)f(x0)=Lo 使得∫(x)在点x连续.应用定理45,就得到所 需要的结论.若将limf(x)=ln改为 lim f(x)=o, lim f(x)=uo EX limf(x)=o, x→+0 x→0 (*)式相应的结论仍旧是成立的 前页】后页)返回
前页 后页 返回 lim ( ( )) ( ) (lim ( )). 0 0 g f x g u0 g f x x→x x→x = = (*) 使得 f x x ( ) . 在点 0 连续 应用定理4.5,就得到所 (*)式相应的结论仍旧是成立的. (2) ( ) , lim ( ) , 0 0 0 g u u f x u x x = → 若 在 连续 则有 0 0 lim ( ) x x f x u → 需要的结论.若将 = 改为 lim ( ) , x u0 f x = →+ 0 lim f (x) u x = →− lim ( ) , x u0 f x = → 或 事实上,只要补充定义（或者重新定义） 0 0 f x u ( ) =