§4三重积分的变量变换 本节将介绍三重积分的变量变换公式,并 用格林公式加以证明.特别对常用的极坐标 变换方法作了详细的讨论 二重积分的变量变换公式 二、二重积分的极坐标变换 二重积分的广义极坐标变换 第页)后页)(回
前页 后页 返回 §4 二重积分的变量变换 本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并 用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标 变换方法作了详细的讨论. 一、二重积分的变量变换公式 返回 三、二重积分的广义极坐标变换 二、二重积分的极坐标变换
一、三重积分的变量变换公式 在定积分的计算中,我们得到了如下结论:设∫(x) 在区间a,b上连续,x=()当t从a变到尸时严格 单调地从a变到b,且y()连续可导,则 f(x)dx=f(p(t)o' (t)dt 当a0)时,记X=|a,b,y=a,月l则 X=p(Y),Y=q(X利用这些记号,公式(1)又可 写成 前页)后页】
前页 后页 返回 一、二重积分的变量变换公式 在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上连续, x t = ( ) 当 t 从 变到 时严格 单调地从a 变到 b, 且 ( )t 连续可导, 则 ( )d ( ( )) ( )d . (1) b a f x x f t t t = 当 (即 ( ) 0 t )时, 记 X a b Y = = [ , ], [ , ], 则 1 X Y Y X ( ), ( ). − = = 利用这些记号, 公式(1)又可 写成
r)ar p(rp(t)p(t)dt 当a>B(即p(2)<0)时,(1)式可写成 f(x)dx ∫(qp(t)yp()dt.(3) y 故当g()为严格单调且连续可微时,(2)式和(3)式可 统一写成如下的形式: f(rdx f∫(φp(t)lp(t)dt.(4) X (X) 下面要把公式(4推广到二重积分的场合为此先给 出下面的引理 前页)后页】
前页 后页 返回 1 ( ) ( )d ( ( )) ( )d . (2) X X f x x f t t t = − 当 (即 ( ) 0 t )时, (1)式可写成 1 ( ) ( )d ( ( )) ( )d . (3) X X f x x f t t t = − − 故当 ( )t 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可 统一写成如下的形式: 1 ( ) ( )d ( ( )) | ( ) |d . (4) X X f x x f t t t = − 下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给 出下面的引理
引理设变换T:x=x(u,),y=y(u,)将u平面 上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△,一对一地 映成xy平面上的闭区域D函数x(n,y),y(u,y)在△ 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u, v) a(x,y, ≠0,(l,v)∈△ 则区域D的面积 u(D)=llJ(u, v)ldudv (5) 前页)后页】
前页 后页 返回 引理 设变换 T x x u v y y u v : ( , ), ( , ) = = 将uv平面 上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 , 一对一地 映成xy平面上的闭区域D. 函数 x u v y u v ( , ), ( , ) 在 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ( , ) ( , ) 0, ( , ) , ( , ) x y J u v u v u v = 则区域 D 的面积 ( ) | ( , ) |d d . D J u v u v = (5)
证下面给出当y(n,v)在△内具有二阶连续偏导数 时的证明(注:对y(u,v)具有一阶连续偏导数条件 下的一般证明,将在本章§9中给出.) 由于T是一对一变换,且J(u,v)≠0,因而T把△的 内点变为D的内点,所以△的按段光滑边界曲线L 也变换为D的按段光滑边界曲线L 设曲线L的参数方程为 u=u(),v=v(t)(a≤t≤B). 由于L按段光滑,因此u(t),yv(t)在[a,B上至多除 前看巡回
前页 后页 返回 证 下面给出当 y u v ( , ) 在 内具有二阶连续偏导数 时的证明. ( 注: 对 y u v ( , ) 具有一阶连续偏导数条件 下的一般证明,将在本章§9 中给出. ) 由于T 是一对一变换, 且 J u v ( , ) 0, 因而T 把 的 内点变为D 的内点 L , 所以 的按段光滑边界曲线 也变换为D 的按段光滑边界曲线 LD . 设曲线 L 的参数方程为 u u t v v t t = = ( ), ( ) ( ). L 由于 按段光滑, 因此 u t v t ( ), ( ) 在 [ , ] 上至多除
去有限个第一类间断点外,在其他的点上都连续又 因LD=T(L△),所以LD的参数方程为 x=x(t=x(u(t),v(t) (a≤tsB) y=y(t)=y(u(t), v(t)) 若规定t从a变到B时,对应于LD的正向,则根据格 林公式,取P(x,y)=0,Q(x,y)=x,有 B 八(D)=φ,xdy=|x(y()dr B x(a(,v()m()+v(t)dr.(6 Oy 前页)后页】
前页 后页 返回 去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又 ( ), 因 L T L D = 所以 LD 的参数方程为 ( ) ( ( ), ( )) ( ). ( ) ( ( ), ( )) x x t x u t v t t y y t y u t v t = = = = 若规定 t 从 变到 时 LD , 对应于 的正向, 则根据格 林公式, 取 P x y Q x y x ( , ) 0, ( , ) , = = 有 ( ) d ( ) ( )d LD D x y x t y t t = = ( ( ), ( )) ( ) ( ) d . (6) y y x u t v t u t v t t u v = +
另一方面,在平面上 xiu. v o,du ov +dy +x(u(t),v(o))u(t)+v(t)dt,(7) Oy 其中正号及负号分别由t从a变到时,是对应于L 的正方向或负方向所决定由(6及(7)式得到 山(D)=t,x(u,以xd +dy O ay 前页)后页】
前页 后页 返回 另一方面, 在 uv 平面上 ( , ) d d L y y x u v u v u v + ( ( ), ( )) ( ) ( ) d , (7) y y x u t v t u t v t t u v = + 其中正号及负号分别由 t 从 变到 时 L , 是对应于 的正方向或负方向所决定. 由(6)及(7)式得到 ( ) ( , ) d d L y y D x u v u v u v = +
ay top, x(u,v)du+x(u, v)dv. ou Oy 令P(,)=x(,n0,Q(,)=x(,),在四平 面上对上式应用格林公式,得到 (D)=土 dudy △ 由于函数y(u,)具有二阶连续偏导数,即有 a y 因此 do aP J(u,v),于是 Ovau 前页)后页】
前页 后页 返回 ( , ) d ( , ) d . L y y x u v u x u v v u v = + 令 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , y y P u v x u v Q u v x u v u v = = 在uv平 面上对上式应用格林公式, 得到 ( ) d d . Q P D u v u v = − y u v ( , ) 2 y u v = 由于函数 具有二阶连续偏导数, 即有 , 2 y v u ( , ), Q P J u v u v − = 因此 于是
(D)=土J(u,v)dndv 又因为山(D)总是非负的,而J(u,v)在△上不为零且 连续,故其函数值在△上不变号,所以 八(D)=|J(u,y)dudv △ 定理21.13设∫(x,y)在有界闭区域D上可积,变换 T:X=x(u,ν),y=y(u,v)将平面由按段光滑封 闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成xy平面上 的闭区域D,函数x(,v),y(n,v)在△内分别具有 前页)后页】
前页 后页 返回 ( ) ( , )d d . D J u v u v = 又因为 ( ) D 总是非负的, 而 J u v ( , ) 在 上不为零且 连续, 故其函数值在 上不变号, 所以 ( ) | ( , ) |d d . D J u v u v = 定理21.13 设 f x y ( , ) 在有界闭区域D 上可积, 变换 T x x u v y y u v : ( , ), ( , ) = = 将uv 平面由按段光滑封 闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成xy 平面上 的闭区域D, 函数 x u v y u v ( , ), ( , ) 在 内分别具有
阶连续偏导数且它们的函数行列式 儿 0(x,y)≠0 ,(u,v)∈△ d(u, v) 则有 I f(x, y)dxdy=f(x(u,v),y(u, v)IJ(u, v)ldudv 证用曲线网把△分成n个小区域△,在变换T作用 下,区域D也相应地被分成n个小区域D.记△及 D的面积为以(△)及以(D)(i=1,2,…,n).在对y的 前页)后页】
前页 后页 返回 一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ( , ) ( , ) 0, ( , ) , ( , ) x y J u v u v u v = 证 用曲线网把 分成 n个小区域 i , 在变换T作用 下 Di i , 区域D 也相应地被分成n 个小区域 . 记 及 Di ( ) i ( )( 1,2, , ). 的面积为 及 D i n i = 在对 y 的 ( , )d d ( ( , ), ( , )) | ( , ) |d d . D f x y x y f x u v y u v J u v u v = 则有