j阳师范学院一数学与统计学院 《高等数学》第四章—不定积分 (13)若sin2x是 cos ax在(-∞,∞)上的一个原函数,则a=2 练习题(A) f(x) 、判断正误题(判斷下列各题是否正确,正确的划√,错误的划x) dx=In f(x+C ly'-y=0 (1)函数f(x)=x 在区间(-∞,+∞)上一定有原函数 、填空题(将正确答案填写在横线上 g(r)dxo f(x)=g(x) (1)下列结论错误的是() (3)若F()是函数f(x)在区间上一个原函数,则f(x=F(x) A:一切初等函数在定义区间上都有原函数 (4)若函数f(x)在区间/上可导,则f(x)是f(x)在区间/上的一个原函数.() B:若F(x)是函数f(x)在区间上的原函数,则对任意常数C,F(x)+C也 是f(x)在区间/上的原函数 (5)若f(xk=F(x)+C,则∫f(a)hm=F(n)+C C:若F(x)、G(x)均为f(x)在区间/上的原函数,则F(x)-G(x)一定是一 (6)如果f(u),o(x),p(x)都是连续函数,F(u)是f(u)的上一个原函数,则F(o(x)是 个常数 函数f((x)(x)的一个原函数 () D:In(-x)是一一在(-∞,0)上的一个原函数 (7)存在这样的函数f(x),使得∫(x)是它自身的一个原函数 () (2)若F(x)和G(x)分别是f(x)和g(x)在区间/上的原函数,则 (8) arcsin x与- arccos x是同一个函数的原函数 AF(x)G(x)是f(x)g(x)在区间/上的一个原函数 (9)若函数f(x)与g(x)在区间/上连续且f(x)≥g(x),则f(x)≥元」g(xdx 是在区间I上的一个原函数 (10)若f(x)=-,则f(x) C:F(x)±G(x)是f(x)±g(x)在区间上的一个原函数 (1)-x2是函数一2一的一个原函数 D:F(x)G(x)是f(x)G(x)+g(x)在区间/上的一个原函数 (3)若函数f(x)在区间/上连续,则() (12)若函数f(x)在区间上连续,且[f(x)dx=F(x)+C,则 A:y=「f(x)d在区间/上连续但不可导 回m/(=F(x)+C,(x∈D 第1页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 3 页 《高等数学》第四章-——不定积分 练习题（A） 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） （1）函数 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = 在区间(, ) −∞ +∞ 上一定有原函数. （ ） （2） f () () () () x dx g x dx f x g x = ⇔= ∫ ∫ . （） （3）若 F x( )是函数 f ( ) x 在区间 I 上一个原函数，则 f () () x dx F x = ∫ . （） （4）若函数 f ( ) x 在区间 I 上可导，则 f ( ) x 是 f ′( ) x 在区间 I 上的一个原函数. （ ） （5）若 f () () x dx F x C = + ∫ ，则 f () () u du F u C = + ∫ . （） （6）如果 f ( ) u ，ϕ( ) x ，ϕ′( ) x 都是连续函数，F u( )是 f ( ) u 的上一个原函数，则 F x ( ( )) ϕ 是 函数 f ( ( )) ( ) ϕ x x ϕ′ 的一个原函数. （ ） （7）存在这样的函数 f ( ) x ，使得 f ( ) x 是它自身的一个原函数. （ ） （8）arcsin x 与 −arccos x 是同一个函数的原函数. （ ） （9）若函数 f ( ) x 与 g x( ) 在区间 I 上连续且 f () () x gx ≥ ， 则 () () d d f x dx g x dx dx dx ≥ ∫ ∫ . （ ） （10）若 21 f x( ) x ′ = ，则 1 f x( ) x = . （） （11） 2 1− x 是函数 2 1 x − x 的一个原函数. （ ） （12）若函数 f ( ) x 在区间 I 上连续，且 f () () x dx F x C = + ∫ ，则 0 0 lim ( ) ( ) x x f x dx F x C → = + ∫ ， 0 ( ) x ∈ I . （） （13）若 1 sin 2 2 x 是cos ax 在( ,) −∞ ∞ 上的一个原函数，则 a = 2 . （） （14） ( ) ln ( ) ( ) f x dx f x C f x′ = + ∫ . （） （15）设 y = f x( ) ，若 ( ) x f x dx e C = + ∫ ，则 y y ′′ − = 0 . （） 二、填空题（将正确答案填写在横线上） （1）下列结论错误的是（ ） A：一切初等函数在定义区间上都有原函数 B：若 F x( )是函数 f ( ) x 在区间 I 上的原函数，则对任意常数C ， Fx C ( ) + 也 是 f ( ) x 在区间 I 上的原函数 C：若 F x( ) 、G x( ) 均为 f ( ) x 在区间 I 上的原函数，则 Fx Gx () () − 一定是一 个常数. D： ln( ) −x 是 1 x − 在( , 0) −∞ 上的一个原函数. （2）若 F x( )和G x( ) 分别是 f ( ) x 和 g x( ) 在区间 I 上的原函数，则（ ） A： F x( ) G x( ) 是 f ( ) x g x( ) 在区间 I 上的一个原函数 B： ( ) ( ) F x G x 是 ( ) ( ) f x g x 在区间 I 上的一个原函数 C： F x( ) ± G x( ) 是 f ( ) x ± g x( ) 在区间 I 上的一个原函数 D： F x( ) G x( ) 是 2 f () () () xGx g x + 在区间 I 上的一个原函数 （3）若函数 f ( ) x 在区间 I 上连续，则（ ） A： y = f x dx ( ) ∫ 在区间 I 上连续但不可导
j阳师范学院一数学与统计学院 B:y=f(x)在区间上不连续 dx= F(Inx)+C C:y=jf(x)在区间上连续且可导 C: S(r)r c=F()+C,(n>) D:y=Jf(x)在区间上不可微 D:f(e)eax=F(e)+C (4)下列等式中不成立的是( E:J(sinx)cos xr=F(sinx)+C A∫fx=f(x)+C B:df(x)=f(x) F:∫ cosx)sin xdx=-F(sx)+C D:可jf(xh=f(x (5)下列结论不正确的是( (8)若函数f(x)是连续函数,且f(x)=F(x)+C,则下列等式成立的是( A:cosx是sinx在(-∞,∞)上的一个原函数 ∫=”=Fm+C B:akox是tmx在(万,)上的一个原函数 C: arctan x 在(-∞,∞)上的一个原函数 1+x F(a2)(a>0,a≠1) ,(a>0,a≠1)是a在(-∞,∞)上的一个原函数 E:1-sinx是cosx在(-,∞)上的一个原函数 =F(√x)+C (6)下列函数中有一个不是f(x)=-的原函数,它是( (9)下列等式不成立的是( A:cosp(x)do(x)=sino(x)+C AF(x)=l-C(C为任意常数)BF(x)=ln2x C:F(x)=h+C(C为任意常数)D:F(x)=4l E: F(x)=In/cx+1(C#1, C#0) (7)若函数f(x)是连续函数且∫f(x)=F(x)+C,则下列等式不成立的是( A:「f(ax+b)dx=-F(ax+b)+C,(a≠0) dp(x)=arctan(x) 第2页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 3 页 B： y = f x dx ( ) ∫ 在区间 I 上不连续 C： y = f x dx ( ) ∫ 在区间 I 上连续且可导 D： y = f x dx ( ) ∫ 在区间 I 上不可微 （4）下列等式中不成立的是（ ） A： f ′() () x dx f x C = + ∫ B： df x f x () () = ∫ C： () () d f x dx f x dx = ∫ D： d f x dx f x dx () () = ∫ （5）下列结论不正确的是 （ ） A： cos x 是sin x 在( ,) −∞ ∞ 上的一个原函数 B：ln cos x 是 tan x 在( ,) 2 2 π π − 上的一个原函数 C：arctan x 是 2 1 1+ x 在( ,) −∞ ∞ 上的一个原函数 D： , ( 0, 1) ln x a a a a > ≠ 是 x a 在( ,) −∞ ∞ 上的一个原函数 E：1 sin − x 是cos x 在( ,) −∞ ∞ 上的一个原函数 （6）下列函数中有一个不是 1 f x( ) x = 的原函数，它是（ ） A： Fx x C ( ) ln = − （C 为任意常数） B： Fx x ( ) ln 2 = C： Fx x C ( ) ln = + （C 为任意常数） D： Fx x ( ) 4ln = E： F x Cx ( ) ln 1 = + （C C ≠ ≠ 1, 0 ） （7）若函数 f ( ) x 是连续函数,且 f () () x dx F x C = + ∫ ，则下列等式不成立的是（ ） A： 1 f ax b dx F ax b C a ( ) ( ) , ( 0) a + = ++ ≠ ∫ B： (ln ) (ln ) f x dx F x C x = + ∫ C： 1 ( ) ( ) , ( 1) nn n f x x dx F x C n − = + > ∫ D： () () xx x f e e dx F e C = + ∫ E： f (sin ) cos (sin ) x xdx F x C = + ∫ F： f (cos ) sin (cos ) x xdx F x C = − + ∫ （8）若函数 f ( ) x 是连续函数， 且 f () () x dx F x C = + ∫ ，则下列等式成立的是（ ） A： 2 ( sin ) (arcsin ) 1 f arc x dx F x C x = + − ∫ B： 2 (arctan ) (arctan ) 1 1 f x dx F x x = − + ∫ C： ( ) ( ), ( 0, 1) ln x x x f a a dx F a a a a ∫ = >≠ D： ( ) ( ) f x dx F x C x ∫ = + （9）下列等式不成立的是（ ） A： cos ( ) ( ) sin ( ) ϕϕ ϕ x dx xC = + ∫ B： () () ( ) x x e dx e C ϕ ϕ ϕ = + ∫ C： sin ( ) ( ) cos ( ) ϕϕ ϕ x dx xC = − + ∫ D： 1 dx x a C ln x a = + + + ∫ E： 2( ) arctan ( ) 1 () d x x x ϕ ϕ ϕ = + ∫
j阳师范学院一数学与统计学院 10)下列式子不成立的是( 15若jf(x=acmx+C,则f(x) dr=arcsinx+C B: sec'xdr=tanx+C 16若jfx=x2+C,则x( jsecutan udu= secu+C D: esc cot xdr=cscx+C 1.若f(x)=c-2,则(f(xh 三、选择题〔将正确答案的序号填写在插号内) 18若(fx)=xd,则f( jd 19.若f(x)=e',则「xf(xk= 20.若f(x)=1+x,则f(x) 四、计算题 (4)「 xarc tan xdx(5) In xd Ja+3-e sec x 2.一曲线y=∫(x)过点(1,1)且在该曲线上任意点M(x,y)的切线的斜率为2x,求曲线 第3页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 3 页 共 3 页 （10）下列式子不成立的是（ ） A： 2 1 arcsin 1 dx x C x = + − ∫ B： 2 sec tan xdx x C = + ∫ C： sec tan sec u udu u C = + ∫ D： csc cot csc x xdx x C = + ∫ 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 1. d x arctan = ∫ . 2. 2 2 1 x dx x = + ∫ . 3. 9 ( 1) x + = dx ∫ . 4. 2 ln dx x x = ∫ 5. cos 1 sin x dx x = − ∫ . 6. 2 sin 1 cos x dx x = + ∫ . 7. cos xdx x = ∫ . 8. 2 1 1 (1 ) dx x x + = ∫ . 9. 2 sec 1 tan x dx x = + ∫ . 10. 2 1 1 t t e dt e − = − ∫ . 11. (1 sin 2 cos 2 ) ++ = x x dx ∫ . 12. ln xdx = ∫ . 13. x cos xdx = ∫ . 14. ( sin ) xdx ′ = ∫ . 15.若 1 f ( ) arctan x dx x C x = + ∫ ，则 f ( ) x = . 16.若 2 f ( ) x dx x C = + ∫ ，则 2 xf x dx ( ) = ∫ . 17.若 2 ( ) x f x e− = ，则 f x (ln )dx x ′ = ∫ . 18.若 ( () ) x d f x dx xe dx = ∫ ，则 f (ln ) x = . 19.若 2 ( ) x f x e = ，则 xf x dx ( ) = ∫ . 20.若 f ′() 1 x x = + ，则 f ( ) x = . 四、计算题 1.求下列不定积分 （1） cos x e xdx ∫ （2） 1dx− x ∫ （3） x x dx e e− − ∫ （4） xarc xdx tan ∫ （5） 2 1dx− x ∫ （6） 2 x ln xdx ∫ （7） 2 2 dx x x − − ∫ （8） 2 2 2 xdx x x + + ∫ （9） xdx ∫ 2.一曲线 y = f x( ) 过点(1,1) 且在该曲线上任意点 M (, ) x y 的切线的斜率为 2x ，求曲线 的方程
阳师范学院一数学与统计学院 《高等数学》第四章——不定积分 d=lnf(x)+C,(C为任意常数) 练习题(B) 12. (arcsin x+arccos x)'dx=0 、判断正误题(判断下列各题是否正确,正确的划√,错调的划x) 13.若f(x)在区间/上连续则函数族y=f(x)d中每个函数在定义区间内的任意 1.在(一∞,+①)上至少存在一个函数F(x)使得F(x) 其中实数p>0 闭区间上必有最值 14.若∫(x)k=F(x)+C,则jfh=F()+C 2.若f(x)在区间上连续,则∫f(x)是f(x)在区间上的一个原函数.() 15.若dF(x)=di(x),则F(x)=(x) 3.若f(x)连续,则y=「f(x必可微 二、选择题(将正确答案的序号填写在括号内 4.若f(x)在区间上连续,且x∈,则 lim/(r=f(x 1.下列结论正确的是() 5.若F(x)和G(x)分别是函数f(x)与g(x)在区间上的一个原函数,则F(x)G(x) A:F(x)=sgnx必是某一连续函数在(-,+∞)上的原函数 必是f(x)g(x)在区间/上的一个原函数 () B:F(x)=|nx必是某一连续函数在(-2,+)上的原函数 6.函数F(x)和G(x)都是f(x)的原函数的充要条件是F(x)=G(x) () C:F(x)=x3必是某一连续函数在(-,+∞)上的原函数 7.若函数f(x)在区间/上连续且f(x)>0(或f(x)<0,则函数族y=∫f(xk中每 D: F(x) 必是某一连续函数在(-,+∞)上的原函数 8.若函数f(x)单调可导,则曲线族y=Jf(x)无拐点 2.函数族y=∫sm2d中过点(,)的函数的极大值为( 9.若函数F(x)是f(x)的一个原函数,叫(x)可导,则F((x)是f(o(x)的一个原函数 () 3.下列结论正确的是( 10.设(x)单调可导,p(x)≠0,若F(x)是f(o(x)9(x)的原函数,则F(p-(x)是 A:奇函数的原函数必是偶函数 B:偶函数的原函数必是奇函 数 f(x)的原函数 () C:周期函数的原函数必是周期函数 D:单调函数的原函数必是单调函数 第1页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 3 页 ( , 《高等数学》第四章-——不定积分 练习题（B） 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 1.在 ) 上至少存在一个函数 使得 F x( ) 1 sin , 0 ( ) 0, 0 p x x F x x x ，其中实数 . （ ） p 0 2. 若 f (x) 在区间 I 上连续，则 f ( ) x dx 是 f ( ) x 在区间 I 上的一个原函数. （ ） 3. 若 f ( ) x 连续，则 y f x dx ( ) ) 必可微. （ ） 4. 若 f (x 在区间 I 上连续，且 0 x I ，则 0 0 lim ( ) ( ) x x f x dx f x dx ) G x ( ) . （ ） 5. 若 F x( 和 分别是函数 ( ) f x 与 在区间 g x( ) I 上的一个原函数，则 F xGx () ( ) 必是 f ()( x g x) 在区间 I 上的一个原函数. （ ） 6. 函数 F x( () () )和 都是 G x f x Fx Gx () () ( ) 的原函数的充要条件是 . （ ） 7. 若函数 f x 在区间 I 上连续且 （或 f x() 0 f x( ) 0），则函数族 y f x dx ( ) ( ) 中每 一个函数无极值. （ ） 8. 若函数 f x 单调可导，则曲线族 y f x dx ( ) 无拐点. （ ） 9. 若函数 F x( ( )是 f x) 的一个原函数，( ) x 可导，则 F x (() ) 是 f (() x )的一个原函数. （ ） 10.设(x) 单调可导，( ) x 0，若 F x( )是 f ( ( )) x (x) 的原函数，则 )) 是 1 F x ( ( f ( ) x 的原函数. （ ） ( ) ln ( ) , ( ( ) f x dx f x C C f x (arcsin arccos ) 0 x x dx 11. 为任意常数）. （ ） 12. . （ ） 13. 若 f ( ) x 在区间 I 上连续，则函数族 y f x dx ( ) 中 () () 每个函数在定义区间内的任意 闭区间上必有最值. （ ） 14. 若 f x dx F x C ，则 f () () u du F u C . （ ） dF x dG x () () 15. 若 ，则 Fx Gx () () . （ ） 二、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 1. 下列结论正确的是（ ） A： Fx x ( ) sgn 必是某一连续函数在( , ) 上的原函数 B： Fx x ( ) sin 必是某一连续函数在( , ) 上的原函数 C： 1 3 Fx x ( ) 必是某一连续函数在( , ) 上的原函数 D： 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x F x x x ( , sin 2 必是某一连续函数在 ) 上的原函数 2. 函数族 y xdx 中过点 ,0 4 1 的函数的极大值为（ ） A： B： C： 1 1 2 D： 1 2 3. 下列结论正确的是（ ） A：奇函数的原函数必是偶函数 B：偶函数的原函数必是奇函数 C：周期函数的原函数必是周期函数 D：单调函数的原函数必是单调函数
j阳师范学院一数学与统计学院 9.若(/=aimF+C.则下列式子成立的是( 4.下列式子成立的是( A:e"“ada=e"+C, B:+sm=x4=a如smnx+1 A: f(r)d Lr=Inx+C B:Jef(")dr=arcsine+C E: jcos p(x)dp(x))=sno(x)-1(其中C为常数) C:J/(sin x)cos xdx=arcsin(sin x)+C 5.若(x)= arctan+C,则∫f(amnx) sec@xdx=( A: x tanx+C B: arctan x+C 10.若函数F(x)是f(x)的原函数,则(x)d=() C: x tan"x+C A: F(x)+C B: xf(x)+C C: xF(x)+C D: xf(x)-F(x)+C 6.若 tan ax是sec2x的原函数,则a=() 、填空题(将正确答案填写在横最上 7.若(x)=xe+C,则/=() 2. d]sinx'dr c:-1 8.若f(x)可导,则下列等式不成立的是() 5.((tan.x+cot)d A:∫f(2x+3)=5/2x+3)+C 6.j-1x= B: r(r)dx=/(r2)+C 7. rIn(I+x)dx= x=f(arctan x)+C 8.若|f(sinx)atr=sinx+x+C,则f(x)= D:∫ f(sec x)tan xsec xdx=/x)+C(其中C为常数) 第2页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 ( ) arcsin f x dx x C x 4.下列式子成立的是（ ） 第 2 页 共 3 页 u 1 u e A： B： u 1 e d C, 2 cos arctan sin 1 sin x dx x ln x 1 C： ln xdx x x x D： 2 ln ln x dx x C x E： cos ( ) x d ( ) ( ) 1 x x （其中 为常数） C sin 5. 若 f ( ) x dx arctan x 2 x C ，则 f (tan )sec x xdx tan （ ） A： x x C B： x arctan x C C： 2 x tan x C 2 D： x arctan x C 6. 若 tan ax 是sec2 x 的原函数，则 a （ ） A： B： C： 2 1 2 D：1 7. 若 2 x f ( ) x d x xe C ，则 21 1 f ( )dx x x （ ） A： 2 1 1 x e x B： 2 1 1 x e C x C： 2 1 1 x e x D： 2 1 1 x e C x 8. 若 f ( ) x 可导，则下列等式不成立的是（ ） A： 1 (2 3) 2 f (2 3) x dx f x C B： 2 2 ( ) 1 ( ) 2 xf x dx fx C C： 2 (arctan ) 1 f x dx x f x C (arctan ) D： f (sec ) tan sec x x ( ) 9. 若 ，则下列式子成立的是（ ） x fx dx C （其中 为常数） C A： 1 ( ) arcsin 2 f x dx x C ( ) arcsin x x x e f e dx e C B： f (sin )cos arcsin(sin ) x xdx x C C： D： 2 (arcsin ) arcsin(arcsin ) 1 f x dx x C x 10. 若函数 F x( )是 f ( ) x 的原函数，则 xf x dx ( ) （ ） A： Fx C ( ) B： xfx C ( ) C： xFx C ( ) D： xf x Fx C () () 三、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. 2 2 x d e dx dx _ _ 2 d x dx sin 2. 3. 2 3 2 3 2 1 x x dx x x 4. 2 1 x x e dx e . (tan cot ) x x dx 5. 6. x 1 dx 7. x ln(1 ) x dx 8. 若 f (sin ) sin x dx x x C ，则 f ( ) x
阳师范学院一数学与统计学院 9.若f(x2) f(r)x= 3.已知f(e)=1+e2,f(0)=1,求f(x)及f( xf(x)dx=arccos+C 4.设曲线y=f(x)过点(0,0),其上任一点M(xy)的法线斜率为1+x2,求此曲线的 1若jf(x)k=(x2-3)+C,则f(x)在上最大值点是一 方程 五、证明题 12.若f(x)=xm+C,则f(x)的单增区间为 的一个原函数,证明e2是f(x)的 单减区间为 2.若x是f(x)的一个原函数,证明∫x(x)k=x“"(+hnx)-x+c 四、计算题 求下列不定积 (1)」 je(sinx+ -cos x)dx (2)|√1-x2dx (3)∫a (5)(arctan (6)/arcane 2.求函数f(x)= x=0的原函数F(x) 第3页共3页
4. 设曲线 y fx ( ) 过点 ，其上任一点 (0,0) M (, ) x y 的法线斜率为 2 1 x ，求此曲线的 方程. 2. 若 x x 是 f ( ) x 的一个原函数，证明 1 ( ) (1 ln ) x x xf x dx x x x C x 是 f (ln ) x x 的一个原函数，证明 x e 是 f ( ) x 的一个原函数 3. 已知 2 ( ) 1 , (0) 1 x x fe e f ，求 f ( ) x 及 f ( ) x dx . 五、证明题 南阳师范学院—数学与统计学院 1. 若 第 3 页 共 3 页 12. 若 f ( ) ln x dx x x C ，则 f ( ) x 的单增区间为 ， 11. 若 2 2 f () 3 x dx x C ，则 f ( ) x 在上最大值点是 ， 10. 若 xf x dx x C ( ) arccos ，则 21( ) dx f x 9. 若 2 1 f x( ) x ，则 f ( ) x dx 最小值点是 单减区间为 （7） 1 sin dx x （8） 2 2 2 2 2 x dx x x （1） (sin cos ) （2） x e x x dx 2 1 x dx （3） 1 dx x （4） 2 2 1 (1 ) dx x x （5） 2 2 tan 1 x arc x dx x （6） arctan x x e dx e （9） 2 1 dx x x （10） x e dx 2. 求函数 2 1 0 2 () 1 0 0 x x x x fx x e x 的原函数 F x( ) . 1. 求下列不定积分 四、计算题
j阳师范学院一数学与统计学院 单项选择题(在每小题的备选答案中选出一个正确答案,并将正确答案的代码填在 《高等数学》第四章—不定积分 题干上的括号内。每小题2分,共10分) 1.若函数f(x)在区间1上连续,则下列结论不正确的是() 自测题(A) A:jf(xk是f(x)在区间1上的一个原函数 分 B:f(x)ktx连续但不可导 判断题(判断下列各题是否正确,正确的划√,错误的划×。每小题2分,共20分) C:[f(x)kx连续且可微 D:f(x)在区间1上的任意两个原函数最多相差一个常数项 1.存在无数多个导数都是f(x)= 的函数 2.若f(x)=1,则f(x)=() 2.函数f(x)=|一定可以作为某函数在(-,+)上的原函数 3.若F(x)是连续函数在区间I上的原函数,则F(sinx)必是∫(sinx)osx在区间I上 D:-+C(其中C为常数) 的原函数 3.若f(x)连续且∫(xh=F(x)+C,则Je/e')=( 4.(arcsinx+arccos xy'dr=0 () A: F(e+C) (x)+C 5.若[dF(x)=[do(x),则F(x)=C(x) 6.若函数f(x)在区间1上可导,则f(x)dx=f(x 4.若∫f(x)=xe+C,则∫x/(nxk=() 7.曲线族y=e中每条曲线 )内都是凸的 A: xe+C B: Inx+C 8.若f( tan x)sec x=F(umx)+C,则∫f(x)d=F(x)+C D: xInx+c 9.若函数f(x)具有连续的导函数,则∫f(x)k=f(x) 5.若ja(x)d(x)=F(x)+C,则下列等式不成立的是() 10若f(x)与g(x)在区间1上连续,且f(x)2g(x,则(f(x))≥2(g A: Ju(xh(r)dx=F(x)+C B: u(t)'()dr=F(o)+C C:ja(smnxoh(smx=F(sinx)+CD:∫vx)x)=(x)(x)-F(x)+C E: du(xjv(x)dx=u(x)v(x) 第1页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 2 页 《高等数学》第四章-——不定积分 自测题（A） 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 20 分） 1. 存在无数多个导数都是 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = 的函数. （ ） 2. 函数 f ( ) x x = 一定可以作为某函数在(, ) −∞ +∞ 上的原函数. （ ） 3. 若F( ) x 是连续函数在区间I 上的原函数，则F(sin ) x 必是 f (sin ) cos x x 在区间I 上 的原函数. （ ） 4. (arcsin arccos ) 0 x x dx + = ′ ∫ . （） 5. 若 dF x dG x () () = ∫ ∫ ，则 Fx Gx () () = . （） 6. 若函数 f ( ) x 在区间I 上可导，则 f ′() () x dx f x = ∫ . （） 7. 曲线族 2 x y e dx − = ∫ 中每条曲线在(, ) −∞ +∞ 内都是凸的. （ ） 8. 若 2 f (tan ) sec (tan ) x xdx F x C = + ∫ ，则 f () () x dx F x C = + ∫ . （） 9. 若函数 f ( ) x 具有连续的导函数，则 f ′() () x dx f x = ∫ . （ ） 10. 若 f ( ) x 与 g x( ) 在区间I 上连续，且 f () () x gx ≥ ，则 ( () ) ( () ) d d f x dx g x dx dx dx ≥ ∫ ∫ （ ） 二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在 题干上的括号内。每小题 2 分，共 10 分） 1. 若函数 f ( ) x 在区间 I 上连续，则下列结论不正确的是（ ） A： f ( ) x dx ∫ 是 f ( ) x 在区间 I 上的一个原函数 B： f ( ) x dx ∫ 连续但不可导 C： f ( ) x dx ∫ 连续且可微 D： f ( ) x 在区间 I 上的任意两个原函数最多相差一个常数项 2. 若 21 f x( ) x ′ = ，则 f ( ) x =（ ） A： 1 C x − + B： 1 1 x − + C： 1 1 x + D： 1 C x + （其中C 为常数） 3. 若 f ( ) x 连续且 f () = () x dx F x C+ ∫ ，则 ( ) x x e f e dx = ∫ （ ） A： ( ) x Fe C+ B： Fx C ( ) + C： ( )x Fe C+ D： Fu C ( ) + 4. 若 ( ) x f x dx xe C = + ∫ ，则 1 x f x dx (ln ) − = ∫ （ ） A： x xe C+ B：ln x +C C：ln C x xe + D： x ln x C+ 5. 若 u x dv x F x C () () () = + ∫ ，则下列等式不成立的是（ ） A： u x v x dx F x C () () () ′ = + ∫ B： u t v t dt F t C () () () ′ = + ∫ C： u x dv x F x C (sin ) (sin ) (sin ) = + ∫ D： v x du x u x v x F x C () () ()() () = −+ ∫ E：d u x v x dx u x v x () () () () ′ = ′ ∫
j阳师范学院一数学与统计学院 三.填空题(将正确答案填写在空格上,每小题2分,其16分) (5)-sin'-dx 2.求函数f(x)=max{x,l的原函数F(x).(6分) 3.已知(xM=e”+C,求「c如m型.(4分) 4.已知曲线y=f(x)过点(0)且在该曲线上任意一点M(x,y)的切线的斜率 为2x,求曲线的方程.(4分) 1.若y=je,证明y-2xy=0.(4分) 若∫xf(x)dx= arctan x+C,证明 8.若f(x)d=e+C,则可(x)= 四.计算题(共44分) 1.求下列不定积分(每小题5分,共30分) (4)
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 2 页 三．填空题（将正确答案填写在空格上，每小题 2 分，共 16 分） 1. 2 sin d x dx dx = ∫ . 2. 2 x xe dx = ∫ . 3. 2 ( tan ) x e x dx + = ∫ . 4. 2x dx = ∫ . 5. x x dx = ∫ . 6. 2 arcsin 1 x dx x = − ∫ . 7. 2 12 2 dx x x = + + ∫ . 8. 若 1 ( ) x f x dx e C x = + ∫ ，则df x( ) = . 四．计算题（共 44 分） 1. 求下列不定积分（每小题 5 分，共 30 分） （1） sin x e xdx ∫ （2） 2 2 x dx x x − − ∫ （3） 2 x ln xdx ∫ （4） arctan x dx x ∫ （5） 2 21 1 sin dx x x ∫ （6） 1 x x dx e e− − ∫ 2. 求函数 f ( ) max{ ,1} x x = 的原函数 F x( ) .（6 分） 3. 已知 ( ) x f x dx e C − = + ∫ ，求 2 (arctan ) 1 f x dx x ′ + ∫ .（4 分） 4. 已知曲线 y = f x( ) 过点(1, 0) 且在该曲线上任意一点M (, ) x y 的切线的斜率 为2x ，求曲线的方程.（4 分） 五．证明题（共 10 分） 1. 若 2 x y e dx = ∫ ，证明 y xy ′′ ′ − 2 0 = .（4 分） 2. 若 2 x f x dx x C ( ) arctan = + ∫ ，证明 2 1 1 ( ) arctan (1 ) xf x dx x C xx x ′ = +− + + ∫ .（6 分）
j阳师范学院一数学与统计学院 《高等数学》第四章—不定积分 单项选择题 的备选答案中选出一个正确答案,并将正确答案的代码填在题 自测题(B) 内。每小题2分,共10分) 分 1.下列函数中可以作为某些函数在(-①,+①)上的原函数的是() A: F(x)=inx B: F(x)=x 判断题(判断下列各题是否正确,正确的划√,错误的划×。每小题2分,共24分) C: F(x=sgx x≠0 1.函数f(x) x=0在(-,+∞)上有无数多个原函数 2.若xlx是函数f(x)的一个原函数,则[ef(k=() 2.偶函数的原函数一定是奇函数 Ct xe-I D:xe+C(其中C为常数) 3.ln(-4x)是一的一个原函数 4.(arctan x+arccot xy'dx=0 () m*C,则f 5.若f(x)可导,则∫(xhk=f(x 6.d 7. #/(sin x)cos xdr=F(x)+C, g//()cos xdx=F(arcsinx)+C. 8.若∫x(x)dx=mx+C,则∫f(x)dk=-+C 4.若f(x)的导数是如x,则(x)有一个原函数为( 9.若函数f(x)可导,则曲线族y=Jf(x)中每条曲线都是 B: Inx--In'x 凸的充分条件是f(x)>0 C: In x+In2x D: Inx+=In2 10.函数族y=je'中每个函数在(+x)内都是单调递增 d=kln2x+C,则k=() 第1页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 2 页 《高等数学》第四章-——不定积分 自测题（B） 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 24 分） 1. 函数 sin , 0 ( ) 1, 0 , 0 x x x x fx x e x ⎧ > ⎪⎪ = = ⎨⎪ . （） 10. 函数族 2 x y = e dx ∫ 中每个函数在(, ) −∞ +∞ 内都是单调递增. （ ） 二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在题 干上的括号内。每小题 2 分，共 10 分） 1. 下列函数中可以作为某些函数在(, ) −∞ +∞ 上的原函数的是（ ） A： Fx x ( ) sin = B： 2 3 Fx x ( ) = C： Fx x ( ) sgn = D： 3 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x F x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = 2. 若 x ln x 是函数 f ( ) x 的一个原函数，则 ( ) x x e f e dx = ∫ （ ） A： x xe B： 1 x xe + C： 1 x xe − D： x xe C+ （其中C 为常数） 3. 若 ( ) arctan f x dx x C x = + ∫ ，则 f ( ) x =（ ） A： 1 1+ x B： 1 1+ x C： ( ) 2 1 2 1+ x D： ( ) 1 2 1+ x 4. 若 f ( ) x 的导数是 ln x x ，则 xf x ′′( )有一个原函数为（ ） A：ln x B： 1 2 ln ln 2 x − x C： 2 ln ln x + x D： 1 2 ln ln 2 x + x 5. 若 1 dx k x C ln 2 x = + ∫ ，则k =（ ） A：1 B：−1 C：2 D：3
j阳师范学院一数学与统计学院 填空题(将正确答案填写在空格上,每小题2分,共14分) 1.若f(x)=xe,且f(0)=1,则f(x)= tan x+I d (6)arctan 3.若F(x)=f(x),则f(x+)t (7) 若∫-d=amx+C,则r(xh= 5. 2.求函数f(x)=max{x,的原函数F(x).(5分) 3.求函数族y=[os2xh中过 的函数的 一dx= 五.证明题(每小题7分,其14分) 四.计算题(42分) 1.设= sin"xx,证明:L 1.求下列不定积分(每小题4分) 2.若二是f(x)的一个原函数,证明:∫xf(x)d=cor2snx+C x+1 (2)sin'rcos'xdx
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 2 页 三．填空题（将正确答案填写在空格上，每小题 2 分，共 14 分） 1. 若 () , x f ′ x xe = 且 f (0) 1 = ，则 f ( ) x = . 2. 2 1 1 dx x = − ∫ . 3. 若 Fx fx ′() () = ，则 f ( 1) x dx + = ∫ . 4. 若 ( ) arctan f x dx x C x = + ∫ ，则 f ′( ) x dx = ∫ . 5. 1 1 dx x = − ∫ . 6. 2 arcsin 1 x dx x = − ∫ . 7. 2 14 5 dx x x = + + ∫ . 四．计算题（42 分） 1. 求下列不定积分（每小题 4 分） （1） 9 4 10 5 10 11 2 1 x x dx x x + + + ∫ （2） 2 5 sin cos x xdx ∫ （3） 3 1 dx x + x ∫ （4） ( ) 2 ln 1 x − + x dx ∫ （5） 2 tan 1 cosx dx x+ ∫ （6） 2 arctan x dx x ∫ （7） 1 sin dx − x ∫ （8） ( ) 2 2 1 1 4 dx x x + ∫ 2. 求函数 f ( ) max{ ,1} x x = 的原函数 F x( ) .（5 分） 3. 求函数族 y = cos 2xdx ∫ 中过点 , 0 4 ⎛ ⎞ π⎜ ⎟ ⎝ ⎠的函数的极值.（5 分） 五．证明题（每小题 7 分，共 14 分） 1. 设 sinn n I = xdx ∫ ，证明： 1 2 1 1 sin cos n n n n I xx I n n − − − =− + . 2. 若 sin x x 是 f ( ) x 的一个原函数，证明： 2sin ( ) cos x xf x dx x C x ′ =− + ∫