第一节二重积分的概念与性质 △利用直角坐标计算二重积分 交换积分顺序 利用极坐标计算二重积分 ②小结思考题 wM
第一节 二重积分的概念与性质 利用直角坐标计算二重积分 交换积分顺序 利用极坐标计算二重积分 小结 思考题
利用直角坐标系计算二重积分 如果积分区域为:a≤x≤b,φ(x)≤y≤φ2(x) X一型] y=2(x) q2( y=p,(r) y=q,(r) 其中函数q1(x)、2(x)在区间Ia,b上连续
如果积分区域为： a x b, ( ) ( ). 1 x y 2 x 其中函数 ( ) 、 在区间 上连续. 1 x ( ) 2 x [a,b] 一、利用直角坐标系计算二重积分 ［X－型］ ( ) 2 y = x a b D ( ) 1 y = x D a b ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x
f(x,y)do的值等于以D为底,以曲面z f(x,y)为曲顶柱体的体积 z=f(r, y) 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, A(x0) d q2(x) y=(1(x) 得‖f(x,y)do=|axf(x,y)y q1(x)
为曲顶柱体的体积． 的值等于以 为底，以曲面 ( , ) ( , ) f x y f x y d D z D = 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, a 0 x b z y x ( ) 0 A x z = f (x, y) ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D b a x x f x y d dx f x y dy 得
例1.计算Ⅰ=xydo,其中D是直线y=1,x=2,及 D y=x所围的闭区域 解法1.将D看作X-型区域,则△:∫1sy≤x 1<x<2 say xl,xy Xy x dx= 298 1 x 2x
x y 2 1 1 y = x o 2 例1. 计算 d , = D I xy 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1. 将D看作X–型区域, 则 D : I = 2 1 d x xyd y = 2 1 d x = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 = 1 2 2 1 x xy y 1 x 1 y x 1 x 2
例2求(x2+y)h,其中D是由抛物线 y=x2和x=y2所围平面闭区域 解两曲线的交点 2 y=r →(0,0),(1,1) 0.40.60.8 ∫jcx2+y)d小=aJ(x2+y)y 33 x(x-x)+(x-x ldx 2 140
例 2 求 + D (x y)dxdy 2 ，其中D是由抛物线 2 y = x 和 2 x = y 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点(0,0) , (1,1), 2 2 = = x y y x + D (x y)dxdy 2 = + 1 0 2 2 ( ) x x dx x y dy x x x (x x )]dx 2 1 [ ( ) 2 4 1 0 2 = − + − . 140 33 = 2 y = x 2 x = y 2 y = x 2 x = y
如果积分区域为:c≤y≤d,q1(y)sx≤卯2(y Y一型] x=q1( x=φ1(y) D x=2(y) D x=p2(y) ∫(x,y=∫d φ2(y) f(a, y)dx. q1(y)
( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D d c y y f x y d dy f x y dx 如果积分区域为： c y d, ( ) ( ). 1 2 y x y ［Y－型］ ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D c d c d ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D
例3.计筧xydo,其中D是抛物线y2=x及直线 x-2所围成的闭区域 解:为计算简便,先对x后对y积分,y 则 D x≤y+2 4x 1≤y≤2 X +2 xydo= dy tax y+2 2 4 3 ccn d y(+2)]dy +2 1.61245 2-43 18
例3. 计算 d , D xy 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, D : xy d x D xyd − = 2 1 dy − + = 2 1 2 2 2 1 x y 2 dy y y − = + − 2 1 2 5 [ ( 2) ] d 2 1 y y y y D y = x 2 y = x − 2 2 −1 4 o y x y 2 2 y x y + −1 y 2 2 y y + 2 及直线 则
X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点 若区域如图,则必须分割 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 ∫=」』∫+』+』
X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， D3 D2 D1 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 . 1 2 3 = + + D D D D 则必须分割
、交换积分顺序 例4改变积分f(x,y)的次序 解积分区域如图 原式 ∫ y=1-x f∫(x,y)hx 0.2l0.40.60.81
y = 1− x 例 4 改变积分 − x dx f x y dy 1 0 1 0 ( , ) 的次序. 原式 − = y dy f x y dx 1 0 1 0 ( , ) . 解 积分区域如图 二、交换积分顺序
例5改变积分 2x-r 0 0 f(x,y)+nf(x,y的次序 解积分区域如图 2 =√2x 原式=小f(x,y
y = 2 − x 2 y = 2x − x 例 5 改变积分 − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) 2 的次序. 原式 − − − = 1 0 2 1 1 2 ( , ) y y dy f x y dx. 解 积分区域如图