83.6 Properties of Fourier Transform 根据傅里叶变换的概念,一个非周期信号可以表述为指数 函数的积分,即 f(t)= FAedo 2π 式中: Fgjo) f(te Jou dt 时间函数f()与频谱函数F(ja)有一一对应的关系,可记为 f(t) F(jo)
1 根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数 函数的积分，即 §3.6 Properties of Fourier Transform
36傅里叶变换的性质 线性 Linearity 奇偶虚实性 Conjugation and Conjugate Symmetry 对称性 Duality 尺度变换特性 Time Scaling 时移特性和频移特性 Time and Frequency shifting 微分和积分特性 Differentiation and Integration 卷积定理 Convolution Property Parseval定理 Pasevals relation
2 • 线性 Linearity • 奇偶虚实性 Conjugation and Conjugate Symmetry • 对称性 Duality • 尺度变换特性 Time Scaling • 时移特性和频移特性 Time and Frequency Shifting • 微分和积分特性 Differentiation and Integration • 卷积定理 Convolution Property • Paseval定理 Paseval’s Relation 3.6 傅里叶变换的性质
1、线性 Linearity 若f(1)<>F(),f2()>F2(jO) 且设a1,a2为常数,则有 a1f1(t)+a22(1)<>a1f1(i0)+a22(i0 FTL(J-F(o) 若 F∑a0=∑aF(O) 说明:相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。3
3 1、线性 Linearity 若 则 ( ) () i Fi FT f t = = = = n i i i n i FT ai f i t a F 1 1 ( ) () 若 ( ) ( ), ( ) ( ), f 1 t F1 j f 2 t F2 j 且设a1 , a2为常数，则有 ( ) ( ) ( ) ( ) a1 f 1 t + a2 f 2 t a1 f 1 j + a2 f 2 j 说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和
求:f(t)的傅立叶变换 f(t) f()=[(t+)-l(t-)+[v(+)-(t-z) FOO=tlSa(ot /2)+2Saot] 2丌
4 求： f (t) 的傅立叶变换 2 2 − − f (t) 1 2 t 2 2 f t u t u t u t u t ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] = + − − + + − − F() =[Sa( / 2) + 2Sa( )] 2
2、奇偶虚实性 Conjugation and Conjugate Symmetry 无论是实函数还是复函数,下面两式均 成立 时域反摺 频域也反摺F[f()=F(a) FTf(-)]=F(-) 时域共轭 FTL(t=F(o) 频域共轭 并且反摺 FTLf (t=F(o)
5 2、 奇偶虚实性 Conjugation and Conjugate Symmetry 无论f(t)是实函数还是复函数，下面两式均 成立 [ ( )] ( ) * * FT f −t = F FT[ f (t)] = F() FT[ f (−t)] = F(−) [ ( )] ( ) * * FT f t = F − 时域反摺 频域也反摺 时域共轭 频域共轭 并且反摺
(一)、f(t)是实函数 F(a)= f(t)cos@ tdt-jl f(t)sin a tdt 偶函数 奇函数 R(o jX(O) R(O)=R(-O) X(0)=-X(-0) 实函数的傅立叶变换的实部为偶函数, 而虚部为奇函数 6
6 (一)、f(t)是实函数 − − F() = f (t)cos tdt − j f (t)sin tdt R() 偶函数 jX() 奇函数 实函数的傅立叶变换的实部为偶函数， 而虚部为奇函数R() = R(−) X () = −X (−)
f(-t)的频谱 FT()=()d=f()md(-) I f(r)e o dr=F(o) F(-O)=R(-c)+jX(-) R(O-jX(O=F(O) 实部为偶函数,虚部为奇函数 T[f(-t)=F(-O) FTlfGt=F(o) L FGO=F(O)
7 f(-t)的频谱 ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t j t j j FT f t f t e dt f e d f e d F − = − − − − − − − = − = − = = − 实部为偶函数，虚部为奇函数 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F R jX R jX F − = − + − = − = [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) * FT f t F FT f t F − = − = − ( ) ( ) * F − = F
F(a)=√R2(a)+X2(O) 9()=mg/、 R(O) F(o=F(o 0(0)=-(-0) 实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数, 而相位谱为奇函数
8 实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数， 而相位谱为奇函数 F() = F(−) () = −(−) = = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 R X arctg F R X
若f(是实偶函数,则f(O) sin ot是t的奇函 数,X(O)=0,因此 F(o=R(O)= f(t)cos atdt =2 f(t)cos atdt 频谱函数F()是O的实偶函数。 若f(是实奇函数,则(t)SmO是t的偶函 数,R(OD)=0,因此 F()=jX()= f(tsin atdt j2 f(t)sin atdt 频谱函数F(a)是O的虚奇函数
9 若 是实偶函数，则 是t的奇函 数， ，因此 频谱函数 是 的实偶函数。 若 是实奇函数，则 是t的偶函 数， ，因此 频谱函数 是 的虚奇函数。 X () = 0 f (t) f (t)sin t F R f t tdt − () = () = ( )cos f t tdt = 0 2 ( )cos F() f (t) f (t)sin t R() = 0 F j X j f t tdt − () = () = − ( )sin j f t tdt = − 0 2 ( )sin F()
(二)、f()=jg(t)是虚函数 F(O)=g(t)sin a tdt+ tdt g(t)cosa to 奇函数 偶函数 R() j(0) R(O)=-R(-O) X(0)=X(-0) F(O)=|F(-O 0(0)=-0(-0) F(-O)=-F(o)
10 (二)、f(t) = jg(t)是虚函数 − − F() = g(t)sin tdt + j g(t)cos tdt jX() 偶函数 R() 奇函数 R() = −R(−) X () = X (−) ( ) ( ) * F − = −F F() = F(−) () = −(−)