第一章基础知识 ●背景知识 ●最优化问题举例 ●优化问题的数学模型及其分类 ●最优解与极值点
⚫ 背景知识 ⚫ 最优化问题举例 ⚫ 优化问题的数学模型及其分类 ⚫ 最优解与极值点 第一章 基础知识
§1背景知识 最优化技术是一门较新的学科分支。它是在上世纪五十年 代初在电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展,并成为 门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题 是在一定的限制条件下,在众多的可行方案中怎样选择最合理 的一种方案以达到最优目标。 将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策,搜寻最 优方案的方法称为最优化方法,关于最优化方法的数学理论称 为最优化理论。 最优化问题至少有两要素:一是可能的方案;二是要追求 的目标。后者是前者的函数。如果第一要素与时间无关就称为 静态最优化问题,否则称为动态最优化问题。 本科程专门讲授静态最优化问题
§1 背景知识 最优化技术是一门较新的学科分支。它是在上世纪五十年 代初在电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为 一门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题 是在一定的限制条件下，在众多的可行方案中怎样选择最合理 的一种方案以达到最优目标。 将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策，搜寻最 优方案的方法称为最优化方法，关于最优化方法的数学理论称 为最优化理论。 最优化问题至少有两要素：一是可能的方案；二是要追求 的目标。后者是前者的函数。如果第一要素与时间无关就称为 静态最优化问题，否则称为动态最优化问题。 本科程专门讲授静态最优化问题
最优化技术应用范围十分广泛,在我们日常生活中,在工农 业生产、社会经济、国防、航空航天工业中处处可见其用途。 比如:结构最优设计、电子器件最优设计、光学仪器最优设计 化工工程最优设计、运输方案、机器最优配备、油田开发、水库 调度、饲料最优配方、食品结构优化等等。 最优化技术工作被分成两个方面,一是由实际产生或科技问 题形成最优化的数学模型,二是对所形成的数学问题进行数学加 工和求解。对于第二方面的工作,目前已有一些较系统成熟的资 料,但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型,目 前很少有系统的资料,而这一工作在应用最优化技术解决实际问 题时是十分关键的基础,没有这一工作,最优化技术将成为无水 之源,难以健康发展
最优化技术应用范围十分广泛，在我们日常生活中，在工农 业生产、社会经济、国防、航空航天工业中处处可见其用途。 比如：结构最优设计、电子器件最优设计、光学仪器最优设计、 化工工程最优设计、运输方案、机器最优配备、油田开发、水库 调度、饲料最优配方、食品结构优化等等。 最优化技术工作被分成两个方面，一是由实际产生或科技问 题形成最优化的数学模型，二是对所形成的数学问题进行数学加 工和求解。对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资 料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目 前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问 题时是十分关键的基础，没有这一工作，最优化技术将成为无水 之源，难以健康发展
因此,在学习本科程时要尽可能了解如何由实际问 题形成最优化的数学模型。为了便于大家今后在处理实 际问题时建立最优化数学模型,下面我们先把有关数学 模型的一些事项作一些说明。 数学模型:对现实事物或问题的数学抽象或描述 建立数学模型时要尽可能简单,而且要能完整地描述所 研究的系统,但要注意到过于简单的数学模型所得到的结果 可能不符合实际情况,而过于详细复杂的模型又给分析计算 带来困难。因此,具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验 和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后,通常也 必须对模型进行必要的数学简化以便于分析、计算
因此，在学习本科程时要尽可能了解如何由实际问 题形成最优化的数学模型。为了便于大家今后在处理实 际问题时建立最优化数学模型，下面我们先把有关数学 模型的一些事项作一些说明。 数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。 建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，但要注意到过于简单的数学模型所得到的结果 可能不符合实际情况，而过于详细复杂的模型又给分析计算 带来困难。因此，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验 和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也 必须对模型进行必要的数学简化以便于分析、计算
般的模型简化工作包括以下几类: (1)将离散变量转化为连续变量 (2)将非线性函数线性化。 (3)删除一些非主要约束条件
一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数线性化。 （3）删除一些非主要约束条件
建立最优化问题数学模型的三要素 (1)决策变量和参数。 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示 系统的控制变量,有确定性的也有随机性的。 (2)约束或限制条件。 由于现实系统的客观物质条件限制,模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内,即约束条件,而这通常 是用约束的数学函数形式来表示的 (3)目标函数。 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的 效率,即系统追求的目标
建立最优化问题数学模型的三要素： （1）决策变量和参数。 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示 系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。 （2）约束或限制条件。 由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内，即约束条件，而这通常 是用约束的数学函数形式来表示的。 （3）目标函数。 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的 效率，即系统追求的目标
例 对于规划问题, Find X=(ix2,.,xm, m) Min.i=f(X) s.t.,(X)≤O,j=12,…,J m只能取正整数 其中,f(X)与g,(X)均为非线性函数。 请问,这种设计变量数随时可变的问题如何求解?
例
§2最优化问题举例 最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不 强的实例。 例1.把半径为1的实心金属球熔化后,铸成一个实心圆柱体, 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小? 解:决定圆柱体表面积大小有两个决策变量:圆柱体底面半 径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即 Trh p 4-3 R·p p为金属比重p≠0.R=1
§2 最优化问题举例 最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不 强的实例。 例1. 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即 2 3 4 3 r h R = 为金属比重. 0.R =1
即 丌Fhs 即 h 0 问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即 2mh+2丌r min(2Trh+2Tr 则得原问题的数学模型 e.t. r-h 0 st→> Subject to.(以….条件) 利用在高等数学中所学的 lagrange乘子法可求解本问题 L(x,b,4)=27mh+2x2-21h 4 分别对rh,求偏导数,并令其等于零有:
即 , 即 问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即 min 则得原问题的数学模型： s.t. Subject to.(以…为条件) 利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题 分别对r, h,λ求偏导数,并令其等于零.有: 3 2 4 r h = 0 3 2 4 r h − = ( ) 2 2rh + 2 r ( ) 2 2 min 2 2 4 . . 0 3 rh r s t r h + − = ( ) 2 2 4 , , 2 2 3 L r h rh r r h = + − −
OL 2Th+4Tr-2rh=0 OL 2nr-r2=0 →h=2r ah OL h+-=0 → h=2 此时圆柱体的表面积为6
此时圆柱体的表面积为 2 2 2 4 2 0 2 0 2 4 0 3 L h r rh r L r r h r h L r h = + − = = − = = = − + = . 3 2 r = 3 3 3 2 h = 2 3 2 3 2 6