东南大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 二元关系

第七章:二元关系 口主要内容 ●有序对与笛卡儿积 ●二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 ●关系的闭包 ●等价关系与划分 ●偏序关系 口本章与后面各章的关系 ●是函数的基础 ●是图论的基础

1 第七章: 二元关系 ❑主要内容 ⚫ 有序对与笛卡儿积 ⚫ 二元关系的定义与表示法 ⚫ 关系的运算 ⚫ 关系的性质 ⚫ 关系的闭包 ⚫ 等价关系与划分 ⚫ 偏序关系 ❑本章与后面各章的关系 ⚫ 是函数的基础 ⚫ 是图论的基础

第七章:二元关系 自第一节:有序对与笛卡儿积

2 第七章: 二元关系 第一节：有序对与笛卡儿积

引言 口关系是数学中最重要的概念之 今父子关系、师生关系 ☆等于、大于、小于关系 直线的平行、垂直关系 口在计算机科学中有广泛应用 ◆人工智能 程序设计 数据库管理一关系数据库

3 引言 ❑关系是数学中最重要的概念之一 ❖父子关系、师生关系 ❖等于、大于、小于关系 ❖直线的平行、垂直关系 ❑在计算机科学中有广泛应用 ❖人工智能 ❖程序设计 ❖数据库管理—关系数据库

97.1有序对与笛卡儿积 口有序对(序偶):由两个元素X,y(允许x=y) 按给定顺序排列组成的二元组合 令符号化: ☆x为第一元素,y为第二元素 例:平面直角坐标系中的一个点的坐标 和是表示平面上两个不同的点 日=≠

4 7.1 有序对与笛卡儿积 ❑有序对（序偶）：由两个元素x，y(允许x=y) 按给定顺序排列组成的二元组合 ❖符号化： ❖x为第一元素，y为第二元素 ❖例：平面直角坐标系中的一个点的坐标 ❖＜1,3＞和＜3,1＞是表示平面上两个不同的点 ❑ = 当且仅当x=u ，y=v ❖如果xy，那么＜x，y＞＜y ，x＞

97.1有序对与笛卡儿积 口例:已知=,求x,y 解:根据有序对等式定义,只需求解方程式 x+2=5和2x+y=4 得到:x=-3,y=-2

5 7.1 有序对与笛卡儿积 ❑例：已知=，求x,y 解：根据有序对等式定义，只需求解方程式 x+2=5 和 2x+y=4 得到： x=3, y=-2

97.1有序对与笛卡儿积 口笛卡尔积AXB:集合A中元素为第一元素, 集合B中元素为第二元素的有序对集 ☆AXB={x,yx∈AAy∈B} 口例:设集合A={,b,C},B={0,1}, 求A×B,B×A,(AXBn(B×A) 令AXB={a,0〉,,,,} ☆(A×B)∩(B×A)=

6 7.1 有序对与笛卡儿积 ❑笛卡尔积A×B：集合A中元素为第一元素， 集合B中元素为第二元素的有序对集 ❖A×B={xA  yB} ❑例：设集合A={a，b，c}，B ={0，1}， 求A×B，B×A，(A×B)∩(B×A) ❖A×B={，，， ，，} ❖B×A={，，， ，，} ❖(A×B)∩(B×A)=

97.1有序对与笛卡儿积 口例:设集合A={1,2},求P(A)A 解 P(A)={,{1},{2},{1,2}} P(A)×A {,1>,,,, ,,}

7 7.1 有序对与笛卡儿积 ❑例：设集合A={1，2}，求P(A)A 解： P(A)={，{1}，{2}，{1，2}} P(A)×A ={，，，， ，， ，}

97.1有序对与笛卡儿积 口说明: 今如A,B均是有限集,A|=m,|B|=n 则必有AxB=mn

8 7.1 有序对与笛卡儿积 ❑说明： ❖如A，B均是有限集，A=m,B=n， 则必有AB=mn

97.1有序对与笛卡儿积 口笛卡儿积的性质: 心对于任意集合A,Ax=0,xA= ◆一般不满足交换律,当A≠,B≠,A≠B时, A×B≠B×A 令一般不满足结合律,即当A,B,C均非空时, (A×B)xC≠Ax(BxC) 9

9 7.1 有序对与笛卡儿积 ❑笛卡儿积的性质： ❖对于任意集合A，A=，A= ❖一般不满足交换律，当A，B，AB时， AB  BA ❖一般不满足结合律，即当A，B，C均非空时， (AB)CA(BC)

97.1有序对与笛卡儿积 口笛卡儿积的性质(续): 心对任意三个集合A,B,C有 (1)A×(B∪C)=(AxB)∪(AxC) (2)A×(B∩C)=(A×B)∩(AxC) (3)(B∪CxA=(B×A)∪(C×A) (4)(B∩cxA=(B×A)n(CxA) (5) AcCABCD→A×BCxD 10

10 7.1 有序对与笛卡儿积 ❑笛卡儿积的性质（续）： ❖对任意三个集合A，B，C有 （1）A(B∪C)=(AB) ∪(AC) （2）A(B∩C)=(AB)∩(AC) （3）(B∪C)A=(BA) ∪(CA) （4）(B∩C)A=(BA)∩(CA) （5）A C  B D  A×BC×D