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第五章数与微 §5.1导数的概念 导数是微分学的核心概念,是研究函数 与自变量关系的产物,又是深刻研究函数性 态的有力工具.无论何种学科,只要涉及“变 化率”,就离不开导数 、实例四、导函数 二、导数的概念 三、例 五、导数的几何意义
导数是微分学的核心概念,是研究函数 §5.1 导数的概念 一、实 例 化率” , 就离不开导数. 三、例 二、导数的概念 态的有力工具. 无论何种学科,只要涉及“变 与自变量关系的产物, 又是深刻研究函数性 第五章 导数与微分 四、导函数 五、导数的几何意义
般认为,求变速运动的瞬时速度,求已知曲线 上一点处的切线,求函数的最大、最小值,这是 微分学产生的三个源头.牛顿和莱布尼茨就是分 别在研究瞬时速度和曲线的 切线时发现导数的.下面是 newton 两个关于导数的经典例子 牛顿(1642-172,英国)
一、实 例 一般认为, 求变速运动的瞬时速度，求已知曲线 别在研究瞬时速度和曲线的 牛顿 ( 1642－1727, 英国 ) 两个关于导数的经典例子. 切线时发现导数的. 下面是 微分学产生的三个源头. 牛顿和莱布尼茨就是分 上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是
瞬时速度设二质点作直线运动,质点的臼 时间t的函数,即其运动规律是s=s(1),则在某 时刻t0及邻近时刻t之间的平均速度是 当τ越来越接近时,平均速度就越来越接近 时刻的瞬时速度.严格地说,当极限 lim s()=s(to)
1. 瞬时速度 设一质点作直线运动, 质点的位置 s 是 ( ) ( ) . 0 0 t t s t s t v − − = 当 t 越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近 t0 时间 t 的函数, 即其运动规律是 s = s(t), 则在某 ( ) ( ) v t t s t s t t t = − − → 0 0 0 lim (1) 时刻的瞬时速度. 严格地说, 当极限 时刻 t0 及邻近时刻 t 之间的平均速度是
率在时这命极限就是质点在而时刻 2.切线的斜率如图所示需要寻找曲线y=f(x)在 其上一点P(x,y0)处的切线 PT为此我们在P的邻近取 Q 点Q,作曲线的割线PQ,这 y=∫(x) T 条割线的斜率为 xn式x = f(r-f(o) d-d 点击上图动画渡示
2. 切线的斜率 如图所示, . ( ) ( ) 0 0 _ x x f x f x k − − = 存在时, 这个极限就是质点在 t0 时刻的瞬时速度. 其上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线 点击上图动画演示 点 Q , 作曲线的割线 PQ ，这 PT. 为此我们在 P 的邻近取一 需要寻找曲线 y = f (x) 在 条割线的斜率为 Q T 0 O x x x y P • • y f x = ( )
设想二本,当动点Ω沿此曲线无限接近尹时 的极限若存在,则这个极限 k= lim f(x)-∫( x→>xo 会是什么呢? 答:它就是曲线在点P的切线PT的斜率
答: 它就是曲线在点 P 的切线 PT 的斜率. 的极限若存在，则这个极限 会是什么呢？ 设想一下,当动点 Q 沿此曲线无限接近点 P 时， k 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x k x x − − = → (2)
上面两个问题虽然出发点相异。但都囯结为同 类型的数学问题:求函数∫在点x处的增量 △y=∫(x)-∫(xo)与自变量增量△x=x-x之比 的极限.这个增量比称为函数f关于自变量的平 均变化率,增量比的极限(如果存在)称为∫在点 i0处关于x的瞬时变化率(或简称变化率)
上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同 x0 处关于 x 的瞬时变化率(或简称变化率). 均变化率，增量比的极限 (如果存在) 称为 f 在点 的极限. 这个增量比称为函数 f 关于自变量的平 D y = f (x) – f (x0 ) 与自变量增量 D x = x – xo 之比 一类型的数学问题： 求函数 f 在点 x0 处的增量
导数的椰A要 定义1设函数yf(x)在点x的某邻域内有定 义,如果极限limf(x)-f(x0) (3) d-d 存在,则称函数∫在点x可导,该极限称为∫在 xo的导数,记作∫(x0) 如果令△x=x-x,Ay=∫(xo+△x)Jf(xo),导数就 可以写成 4x-0A s lim 5(x+4x)-f(o) (4) f(xo= lim ay Ax→>0 AX
定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定 义，如果极限 0 0 0 ( ) ( ) lim (3) x x f x f x → x x − − 存在, 则称函数 f 在点 x0可导, 该极限称为 f 在 如果令 Dx = x – x0 , Dy = f (x0 +Dx) –f (x0 ), 导数就 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim . (4) x x y f x x f x f x D D x x D D → → D D + − = = x0 的导数，记作 ( ). x0 f 可以写成 二、导数的概念
这说明导数是函数增量亼υ与自变量増量A之比 的极限,即f(x0)就是f(x)关于x在x0处的变化 率.如果(3)或(4)式的极限不存在,则称∫(x)在 点x0不可导 三、例 例1求函数y=x3在x=1处的导数,并求该曲 线在点P(1,1)的切线方程 解因为4y=f(1+△x)-f(1)=(1+△x)3-1 =3^x+3△x2+△x3
这说明导数是函数增量 D y 与自变量增量 D x之比 例1 求函数 y = x 3 在 x = 1 处的导数，并求该曲 线在点 P (1,1) 的切线方程. 解 (1 ) (1) (1 ) 1 3 因为 Dy = f + Dx − f = + Dx − 3 3 , 2 3 = Dx + Dx + Dx 的极限,即 f (x0 ) 就是 f (x) 关于 x 在 x0 处的变化 点 x0 不可导. 率. 如果 (3) 或 (4) 式的极限不存在, 则称 f x( ) 在 三、例
f(1=△y=im(3+3△x+△x2)=3 △x→>0△x△x→>0 由此可知曲线y=x3在点P(1,1)的切线斜率为 k=f(1)=3, 于是所求切线方程为y-1=3(x-1), 即 3x-2
(1) lim lim ( 3 3 ) 3 . 2 0 0 = + D + D = D D = D → D → x x x y f x x 由此可知曲线 y = x 3 在点 P(1, 1) 的切线斜率为 k = f (1) = 3, 所以 于是所求切线方程为 y −1 = 3(x −1), 即 y = 3x − 2