第一节导数概念 教学目的:理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线了解导数的 物理意义理解函数连续性与可导性之间的关系 教学重点:导数的概念,导数的几何意义 教学难点:导数定义的理解不同形式的掌握 教学内容: 、引例 1.切线问题 圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”,但是对于其它曲线,用“与曲线只有 一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适例如,对于抛物线y=x,在原点O处两个 坐标轴都符合上述定义,但实际上只有x轴是该抛物线在点O处的切线.下面给出切线的定义 设有曲线C及C上的一点M(图2-1),在点M外另取C上一点M,作割线MM.当点 M沿曲线C趋于点M时,如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置M,直线M就称为 曲线C在点M处的切线这里极限位置的含义是:只要弦长MM趋于零,∠MM也趋于零 现在就曲线C为函数y=f(x)的图形的情形来讨论切线问题,设M(xy0)是曲线C上 的一个点(图2-2),则y=f(x6),根据上述定义要定出曲线C在点M处的切线,只要定出 切线的斜率就行了为此,在点M外另取C上的一点2(x,y),于是割线MD的斜率为 y-yo f(x)-(xo) 其中为割线M的倾角.当点M沿曲线C趋于点M时,x→x.如果当x→x0时, 上式的极限存在,设为k,即 k f(x)-f(x0) Ro 存在,则此极限k是割线斜率的极限,也就是切线的斜 率.这里k=taa,其中c是切线M的倾角.于是,通过点 M(xo,f(x)且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M 处的切线.事实上,由∠MMr=-c以及x→x0时 φ→a,可见x→和时(这时M→0),∠Mr→0 因此直线M确为曲线C在点M处的切线 2.质点沿直线运动的速度 设某点沿直线运动在直线上引入原点和单位点(即表示实数1的点),使直线成为数轴 此外,再取定一个时刻作为测量时间的零点设动点于时刻t在直线上的位置的坐标为s(简称 位置s).这样,运动完全由某个函数
第一节 导数概念 教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的 物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系 教学重点：导数的概念,导数的几何意义 教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握 教学内容： 一、引例 1．切线问题 圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”.但是对于其它曲线，用“与曲线只有 一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适.例如，对于抛物线 ，在原点 处两个 坐标轴都符合上述定义，但实际上只有 轴是该抛物线在点 处的切线.下面给出切线的定义. 设有曲线 及 上的一点 （图2-1），在点 外另取 上一点 ，作割线 .当点 沿曲线 趋于点 时，如果割线 绕点 旋转而趋于极限位置 ,直线 就称为 曲线 在点 处的切线.这里极限位置的含义是：只要弦长 趋于零， 也趋于零. 现在就曲线 为函数 的图形的情形来讨论切线问题.设 是曲线 上 的一个点（图2-2），则 .根据上述定义要定出曲线 在点 处的切线，只要定出 切线的斜率就行了.为此，在点 外另取 上的一点 ，于是割线 的斜率为 ， 其中 为割线 的倾角.当点 沿曲线 趋于点 时， .如果当 时， 上式的极限存在，设为 ,即 存在，则此极限 是割线斜率的极限，也就是切线的斜 率.这里 ，其中 是切线 的倾角.于是，通过点 且以 为斜率的直线 便是曲线 在点 处 的 切 线 . 事 实 上 ， 由 以 及 时 ，可见 时（这时 ）， .因此直线 确为曲线 在点 处的切线. 2．质点沿直线运动的速度 设某点沿直线运动.在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴. 此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点.设动点于时刻 在直线上的位置的坐标为 （简称 位置 ）.这样，运动完全由某个函数 图2-1 图2-2
所确定.这函数对运动过程中所出现的t值有定义,称为位置函数.在最简单的情形,该动 点所经过的路程与所花的时间成正比.就是说,无论取哪一段时间间隔,比值 经过的路程 花的时间 总是相同的.这个比值就称为该动点的速度,并说该点作匀速运动如果运动不是匀速的 那么在运动的不同时间间隔内,比值①会有不同的值.这样,把比值①笼统地称为该动点的速 度就不合适了,而需要按不同时刻来考虑那么,这种非匀速运动的动点在某一时刻(设为 )的速度应如何理解而又如何求得呢? 首先取从时刻4到t这样一个时间间隔,在这段时间内,动点从位置5=/()移动到 5,=f()这时由①式算得的比值 f()-f(t0) 可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度.如果时间间隔选得较短,这个比值②在实践中也 可用来说明动点在时刻的速度.但对于动点在时刻的速度的精确概念来说,这样做是不够 的,而更确切地应当这样:令→0,取②式的极限,如果这个极限存在,设为v,即 mn型)-n) vt-t,这时就把这个极限值v称为动点在时刻的(瞬时)速度 导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数 定义设函数y=f(x)在点不的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量△x (点不0+△x仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量4y=f(x0+△x)-f(x)如果4y 与△x之比当△x→>0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数y=f(x)在点x处的导数,记为y1-,即 4y_f(x+△x)-f(o) 4AM-0△xx0 df(x)I 也可记作(),或 函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点不0具有导数或导数存在 导数的定义式③也可取不同的形式,常见的有 f(xo) Co 和 lim f(a)-/(xo) 如果函数y=f(x)在开区间内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间内可导 求导举例 例1求函数f(x)=C(C为常数)的导数 解()= f(x+h) -f(x) 即(C)=0.这就是说,常数的导数 等于零 例2求函数f(x)=x2(n为正整数)在x=a处的导数 解: f(x)-ffa) A-c
① ② ③ ④ ⑤ 所确定.这函数对运动过程中所出现的 值有定义，称为位置函数.在最简单的情形，该动 点所经过的路程与所花的时间成正比.就是说，无论取哪一段时间间隔，比值 经过的路程 所花的时间 总是相同的.这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动.如果运动不是匀速的， 那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值.这样，把比值①笼统地称为该动点的速 度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑.那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为 ）的速度应如何理解而又如何求得呢？ 首先取从时刻 到 这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置 移动到 .这时由①式算得的比值 可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度.如果时间间隔选得较短，这个比值②在实践中也 可用来说明动点在时刻 的速度.但对于动点在时刻 的速度的精确概念来说，这样做是不够 的，而更确切地应当这样：令 ,取②式的极限，如果这个极限存在，设为 ，即 ，这时就把这个极限值 称为动点在时刻 的（瞬时）速度. 二、导数的定义 1．函数在一点处的导数与导函数 定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ；如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函 数 在点 处的导数，记为 ，即 也可记作 ， 或 . 函数 在点 处可导有时也说成 在点 具有导数或导数存在. 导数的定义式③也可取不同的形式，常见的有 和 2．求导举例 例 1 求函数 （ 为常数）的导数. 解： ，即 .这就是说，常数的导数 等于零. 例 2 求函数 （ 为正整数）在 处的导数. 解：
把以上结果中的a换成x得f()=mx2,p(2)=mx2 更一般地,对于幂函数y=x“(4为常数),有(“)=1x1,这就是幂函数的导数公 式.利用这公式,可以很方便地求出幂函数的导数,例如: 2时,y=x (x>0)的导数为 y=x"= 当从=-1时 x(x≠0)的导数为 ()=(1)x2= 例3求函数∫(x)=sinx的导数 ,()+小)-()细(+)m k =妈方2cx+5mn 2 即 (sin x)=cos x 这就是说,正弦函数的导数是余弦函数 用类似的方法,可求得(csx)=-mx,这就是说,余弦函数的导数是负的正弦函数 例4求函数f(x)=a2(a>0,a≠1)的导数 解.了()=m(x+)(x),am-=h=a'ha 即 ) 这就是指数函数的导数公式特殊地,当a=e时,因ne=1,故有 上式表明,以e为底的指数函数的导数就是它自己,这是以e为底的指数函数的一个重要特 例5求函数y=lg2x(a>0,a≠1的导数 )-log,x lg2(1 k X -limlog,(1+-)=-log, e doga x)=-log, e. (n x) 3、单侧导数 根据函数f(x)在点x处的导数f(x)的定义,是一个极限,而极限存在的充分必要条件 是左、右极限都存在且相等,因此f(x0)在即f(x)在点x处可导的充分必要条件是左、右 极限
把以上结果中的 换成 得 ，即 . 更一般地，对于幂函数 （ 为常数），有 .这就是幂函数的导数公 式.利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如： 当 时， （ ）的导数为 ，即 当 时， （ ）的导数为 ，即 例 3 求函数 的导数 解： 即 这就是说，正弦函数的导数是余弦函数. 用类似的方法，可求得 ，这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数. 例 4 求函数 （ ）的导数. 解： 即 这就是指数函数的导数公式.特殊地，当 时，因 ，故有 上式表明，以 为底的指数函数的导数就是它自己，这是以 为底的指数函数的一个重要特 性. 例 5 解： 即 3、单侧导数 根据函数 在点 处的导数 的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件 是左、右极限都存在且相等，因此 存在即 在点 处可导的充分必要条件是左、右 极限
f(x0+)-f(x),f(x0+h)-f(x) 及 都存在且相等这两个极限分别称为函数f(x)在点不0处的左导数和右导数,记作(x) 及J+(x0),即 f(zo)=lin f(x0+)-f(x) f()=b<(x0+h)-() k 现在可以说,函数在点x0处可导的充分必要条件是左导数∫(x)和右导数f(x0) 存在且相等 如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(a)及∫()都存在,就说f(x)在闭区间 b」上可导 例6讨论函数f(x)=k在x=0处的可导性 f(0+h)-f( 解 k lm f(0+A)-f(0)=m k f(0+l)-f(0) 即f(0)≠∫(0),函数y=f(x)在x=0点不可导 、导数的几何意义 f(x)是曲线y=f(x)在(x,f(x)点的切线斜率 路程S=S()对时间t的导数S(o)是4时刻的速度 在抽象情况下,f"(x0)表示y=(x)在x=x0点变化的快慢 四、函数的可导性与连续性的关系 定理如果函数y=f(x)在点x处可导,则函数在该点必连续 设函数f(x)在点x可导 f(xo)+a X→ 20 g(x0)△x+c△ 函数f(x)在点x连续 y=f()在x点处连续是可导的必要条件,而不是充分条件 例7讨论 2x,x≥1在点x=1连续性与可导性 解: f(x)在x=1不连续,即∫(x)在x=1不可导 fx) x2+1,x<1 例8讨论 2x,x21在点x=1连续性与可导性
及 都存在且相等.这两个极限分别称为函数 在点 处的左导数和右导数，记作 及 ，即 ， 现在可以说，函数在点 处可导的充分必要条件是左导数 和右导数 都 存在且相等. 如果函数 在开区间 内可导，且 及 都存在，就说 在闭区间 上可导. 例 6 解： =1 三、导数的几何意义 是曲线 在 点的切线斜率； 路程 对时间 的导数 是 时刻的速度； 在抽象情况下， 表示 在 点变化的快慢 四、函数的可导性与连续性的关系 定理 如果函数 在点 处可导，则函数在该点必连续. 证： ， ， =0 在 点处连续是可导的必要条件，而不是充分条件. 例 7 讨论 在点 连续性与可导性 解： 在 不连续，即 在 不可导. 例 8 讨论 在点 连续性与可导性 解：
f (1)=lim f(x)-()=mx2+1-2 :()=m()-/0=m.2x-2=2 f(=2,f(x)在x=1可导,当然在x=1点连续 f(x)= 例9讨论 2-x,x> 解(x)=mx=1m,(2=1m2-2=1 f(x)在x=1连续 f() f(x) 二 f (1)=lim f(x) lm f(x)在x=1不可导
在 可导，当然在 点连续. 例 9 讨论 解： 在 连续 在 不可导