53n维向量空间的正交化 内 二、标准正文基 施密特正立化方法 曰、正文矩除
返回 5.3 n维向量空间的正交化 一、内积 二、标准正交基 三、施密特正交化方法 四、正交矩阵 返回
内积 1定义:设a=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn) (a, B)=a,b,+a2b2+.+a,b 称为a与B的内积 2.性质: (1)(a,B)=(B,a); (2)(a+B,y)=(a,y)+(B,y) ka,B)=k(a,B) (3)(a,a)≥0,当且仅当a=0时等号成立
返回 ( ) ( ) a a an b b bn 1. : , , , , , , , 定义 设 = 1 2 = 1 2 ( ) = a1b1 + a2b2 ++ anbn , 称为 与 的内积 . 2.性质: (1) (, ) = ( ,); (2) ( + , ) = (, )+ ( , ) (k, ) = k(, ); (3) (,) 0,当且仅当 = 0时等号成立. 一 . 内积
内积还满足以下关系: (a,B)=l(a,B),l∈R; (a,B+y)=(a,B)+(a,y) 3.长度 (1)定义ar 1+2+∴+a (a,a) (2)性质 1°非负性(a|≥0; 20齐次性ka|=kal; B 3三角不等式 a+B≤a+B| a-
返回 3. 长度 (1) (,) 2 2 2 2 定义 = a1 + a ++ an = (2) 性质 1 o 非负性 0； 2 k k ; o 齐次性 = 3 o 三角不等式 + + . + 内积还满足以下关系 ： (, l ) = l(, ), l R; (, + ) = (, )+ (, )
(3)单位向量 a=1:a为单位向量 设a≠0,令a=a,则 a, a 4.夹角 (a, B=arccos :a与B的夹角 aB 问题:(aB <1 aB
返回 (3) 单位向量 = 1: 为单位向量 . 设 ， 令 ,则 1 0 e = ( ) ( , ) 1 . 1 , 2 = = = e e e 4. 夹角 ( ) : . , , arccos 与 的夹角 = ( ) 1 ? ， 问题：
柯西不等式(a,B)≤ap, 当且仅当a与B线性相关时等号成立 证()a,B线性无关:t∈R,ta+B≠0, (a+,ta+B)=t(,a)+2t(a,月)+(B,B)>0, [2(a,B)-4(a,a)B,B)<0, (a,B)< B2,(a, B)<a B (2)a,B线性相关设B=ka,则 (a,B)2=(a,ka)2=k2(a,a)2=(a,a)ka,ka) a|2|B (a,B)=a Bl
返回 柯西不等式 (, ) , 当且仅当 与 线性相关时等号成立. 证 (1)， 线性无关：t R , t + 0 , ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0 , 2 t + t + = t + t + 2( , ) 4( , )( , ) 0 , 2 − ( ) 2 , < , 2 2 (, ) < . (2), 线性相关：设 = k ,则 ( ) ( k) k (,) (,)(k, k) 2 2 2 2 ， = ， = = , 2 2 = (, ) =
二.规范正交基 1.正交向量组 a与B正交:(a,B)=0 a为正交向量组 两两正交且不含零向量 如:a1=(,1,1),a2=(-1,2,-1),ax3=(-1,0,1) (a1,a2)=(an,a3)=(a2,a3)=0 a,a2a3为正交向量组
返回 二 . 规范正交基 1. 正交向量组 与 正交：(， ) = 0 . . , , , 1 2 两两正交且不含零向量 s 为正交向量组： (1 1 1) ( 1 2 1) ( 1 0 1) 如：1 = ，， ， 2 = − ，，− ， 3 = − ，， (1 , 2 ) = (1 , 3 ) = ( 2 , 3 ) = 0 , , . 1 2 3 为正交向量组
例1设A是n阶反对称矩阵,x是n维列向量, 且Ax=y,证明:x与y正交 证:(x,y)=x2y=xAx (,x)=y2x=(4x)x=x7x=-x7Ax, 由(x,y)=(J,x)可知: (x,y)=0
返回 例1 设 A 是 n 阶反对称矩阵，x 是 n 维列向量， 且 Ax=y , 证明：x 与 y 正交 . (x y) x y x Ax T T 证： , = = ( y, x) y x (Ax) x x A x x Ax , T T T T T = = = = − 由 (x, y) = ( y, x)可知： (x, y) = 0
定理1正交向量组线性无关 证设a1,a2…,a,为正交向量组,且 K,a,+k k,a=0 则(a1k1a1+k2a2+…+k,a, =k1(a1,a1)+k2(x1,a2)+…+k,、(x1,a,) k1(an,a1)=0 1c1 >0 k1=0 同理:k2=k3 =0 1929 a线性无关
返回 定理1 正交向量组线性无关 . 证 设1， 2，， s 为正交向量组，且 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 ( ) s s 则 1，k11 + k2 2 ++ k ( ) ( ) ( ) k k ks s , , , = 1 1 1 + 2 1 2 ++ 1 ( , ) 0 , = k1 1 1 = ( , ) 0 , 0 , 1 1 k1 = 0 , 同理：k2 = k3 == ks = , , , . 1 2 s 线性无关
线性无关向量组未必是正交向量组 如:a1=(,0,0)a2=(1,1,0)ax3=(l,1,1) 例2a1=(1,1,1)a2=(U,-2,1 求a3使ax1a2,C3为正交向量组 解设a3=(x1,x2,x3则 (a1,a3)=x1+x2+x3=0 aα= 0 (1,0,-1)
返回 线性无关向量组未必是正交向量组 . (1 0 0) (1 1 0) (1 1 1) 如：1 = ，， ， 2 = ，， ， 3 = ，， 例2 1 = (1，1，1)， 2 = (1，− 2，1)， . 求 3，使1， 2， 3 为正交向量组 解 设 3 = (x1 , x2 , x3 ),则 (1 , 3 ) = x1 + x2 + x3 = 0 ( 2 , 3 ) = x1 − 2x2 + x3 = 0 (1, 0, 1). 3 = −
2.规范正交向量组 ax1,a2,…,a,满足: ()(a,a,)=0,(≠1a1≠0,a1≠0) (2)(a1|=1,(i=1,2,…,s) 则称a1,a2…,a为规范(标准正交向量组 如G1=(1,0,…,0)ea2=(0,1,…,0)…,En=(0,0,…,1) 是R"的规范正交基 0 √202/a3=(0,0) 是R3的规范正交基
返回 2. 规范正交向量组 (1) ( , ) 0 ,( , 0, 0) , , , 1 2 i j = i j s i j 满足： ( ) (i s) i 2 = 1, = 1, 2, , ( ) . 则称1， 2，， s 为规范 标准 正交向量组 (1 0 , 0), (0, 1, , 0), , (0, 0, , 1) 如 1 = ，， 2 = n = 是 的规范正交基 . n R (0 1 0) 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 1 ，， ， 2 ，， ， 3 = ，， = − = . 是 R 3 的规范正交基