第一节微分中值定理 教学目的:理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和 泰勒中值定理 教学重点:罗尔定理、拉格朗日中值定理 教学难点:罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用. 教学内容: 定义设函数f(x)在x0的某一邻域U(x0)内有定义,如果对于去心邻域U(xo)内 ,有f()f(x0),则称()是函数(x)的一个极大值 任 极小值) 函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点 函数的极大值和极小值概念是局部性的如果f(x0)是函数J(x)的一个极大值,那 只是就x0附近的一个局部范围来说 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点,临界点) 定理(费马引理)设函数f()在点x某邻域U(x)内有定义,并且在x处可 导如果对任意xex,有(s6)(或f(对2()那么了(x)=0 证明:不妨设不∈时,f(x)≤f(x)(若f(x)2f(x),可以类似地证明) 于是对于石+△xeU/(x)有f(+△)≤f(x),从而当△>0时 +△3)-(x≤0 f(x+△x)-f(x) 而当△xm,由于∫(a)=f(),所以M和m至少与一个不等于f(x)在区间[a 端点处的函数值不妨设M≠(a(若m≠f(a,可类似证明)则必定在b有一点占使 f(=M.因此任取x∈[a,小]有f(x)≤f(,从而由费马引理有∫(5)=0.证毕
第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和 泰勒中值定理. 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理. 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用. 教学内容： 定义 设函数 在 的某一邻域 内有定义, 如果对于去心邻域 内的 任一 ，有 （或 ）, 则称 是函数 的一个极大值 （或极小值）. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果 是函数 的一个极大值, 那 只是就 附近的一个局部范围来说. 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 定理 （费马引理） 设函数 在点 的某邻域 内有定义, 并且在 处可 导, 如果对任意 , 有 (或 ), 那么 . 证明：不妨设 时， （若 ，可以类似地证明）. 于是对于 ,有 , 从而当 时, ; 而当 时, ; 根据函数 在 处可导及极限的保号性的得 所以 , 证毕. 一、罗尔定理 定理 （罗尔定理） 如果函数 满足：（1）在闭区间 上连续, （2）在开区 间 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即 , 那么在 内至少在 一点 , 使得函数 在该点的导数等于零，即 . 证明：由于 在 上连续，因此必有最大值M和最小值 ，于是有两种可 能的情形： （1） ，此时 在 上必然取相同的数值M，即 由此得 因此，任取 ，有 （2） ，由于 ，所以M和 至少与一个不等于 在区间 端点处的函数值.不妨设 (若 ,可类似证明),则必定在 有一点 使 . 因此任取 有 , 从而由费马引理有 . 证毕
几何意义:对于在[a上每一点都有不垂直于x轴的切线,且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线f(x)来说,至少存在一点C,使得其切线平行于x轴 y=∫(X) ξ1 二、拉格朗日( Lagrange)中值定理 定理(拉格朗日中值定理)如果函数∫(x)满足(1)在闭区间叵上连续 (2)在开区间(ab)内可导,那么在(a,b内至少有一点引a<5<b,使得等式 f(b)-f(a)=f(9)(-a) 成立 分析与证明:AB的方配多y=/)0)-(a)(x-a)曲线代小减去弦 b AB,所得曲线AB两端点的函数值相等作辅助函数 F(x)=f(x)-[f(a)+ f(b-f(a 于是F(x)满足罗尔定理的条件,则在(,b)内至少存在一点,使得 F()=0 F(x)=了(x) f(b)-f(a 又 b-a,所以(s f(b)-f(a 即在(a,b)内至少有一点引(a<<b),使得f(b)-f(a)=f()(b-a)证毕 说明:1.f(b)-f(a)=f()(b-a)又称为拉格朗日中值公式(简称拉氏公式),此 公式对于b<a也成立 2.拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导 数之间的关系:当设∫(x)在[a上连续,在(ab)内可导时,若x0x+△x∈(b),则 有(x+△x)-f(x)=f(x+x)Ax0<8<1 当y=f(x)时也可写成4y=f(x+的△x)△x(0<6<1) 试与微分的=f()△x比较:=f(x)△x是函数增量4y的近似表达式,而 △y=f(x+x)△x(0<8<1)是函数增量4的精确表达式所以拉格朗日中值公 式又称为有限增量公式,拉格朗日中值定理又称有限增量定理 几何意义
几何意义：对于在 上每一点都有不垂直于 轴的切线，且两端点的连线与 轴平行的不间断的曲线 来说，至少存在一点C，使得其切线平行于 轴. 二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 定理 （拉格朗日中值定理） 如果函数 满足（1）在闭区间 上连续, （2）在开区间 内可导, 那么在 内至少有一点 , 使得等式 成立. 分析与证明：弦AB的方程为 曲线 减去弦 AB，所得曲线AB两端点的函数值相等. 作辅助函数 于是 满足罗尔定理的条件，则在 内至少存在一点 ，使得 . 又 , 所以 即在 内至少有一点 ，使得 .证毕 说明: 1. 又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）, 此 公式对于 也成立; 2．拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导 数之间的关系；当设 在 上连续, 在 内可导时, 若 , 则 有 当 时, 也可写成 试与微分 比较: 是函数增量 的近似表达式, 而 是函数增量 的精确表达式. 所以拉格朗日中值公 式又称为有限增量公式, 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 几何意义:
B 上述等式可变形为()f(b)-f(a) b-a,等式右端为弦AB的斜率,于是在区间p 上不间断且其上每一点都有不垂直于x轴切线的曲线上,至少存在一点C,使得过C点 的切线平行于弦AB.当J(a)=f(b)时,罗尔定理变为拉格朗日中值定理,即罗尔定理 是拉格朗日中值定理的特例,而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广,下面用罗尔定理 证明拉格朗日中值定理 推论若函数f(在区间I上导数恒为零,则f(x)在区间上是一个常数 In( +x)0时,1+x 证明:设f(x)=n(1+x),则f(Q在[0,x上满足拉氏定理的条件,于是 0)-()=(x-0,0<5<x,又(0)=0rx)=、1 1+x,于是 1+5,而0<5<x,所以1<1+5 <X <n(1+x)<x 从而1+x1+5,即1+x 丌 arcsinx+ arccos=-(-1≤x≤1) 例3-2证明 证明:设f(x)= arcsinx+ arccos,x∈[-1,1],由于 f(x)= 所以∫(x)≡C,x∈[-1 f()= arcsin0+aco00x72必C。r 刀 arcsin x+ arccos= 故 三、柯西中值定理 定理(柯西中值定理)如果函数(x及P在闭区间[a2]上连续在开区间 内可导,且F(在(,内每一点处均不为零,那末在()内至少有一点 f(b)-(a) f(a 2a<5<b),使等式b)-()F(9)成立
上述等式可变形为 ，等式右端为弦AB的斜率, 于是在区间 上不间断且其上每一点都有不垂直于 轴切线的曲线上，至少存在一点C，使得过C点 的切线平行于弦AB. 当 时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理 是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理 证明拉格朗日中值定理. 推论 若函数 在区间I上导数恒为零，则 在区间I上是一个常数. 例3-1 证明当 时, 证明: 设 , 则 在 上满足拉氏定理的条件,于是 ,又 , 于是 ,而 , 所以 , 故 , 从而 , 即 例3-2 证明 证明：设 ,由于 , 所以 ,又 , 即 ., 故 . 三、柯西中值定理 定理 （柯西中值定理） 如果函数 及 在闭区间 上连续,在开区间 内可导, 且 在 内 每 一 点 处 均 不 为 零 ， 那 末 在 内 至 少 有 一 点 ,使等式 成立
X=F(r) 几何解释:设曲线弧C由参数方程Y=f(x)(a≤x≤b)表示其中x为参数如果曲 线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么在曲线C上必有一点x=与,使曲线 上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB,曲线C上点x=5处的切线的斜率为 dy f(c) f(b)-J(a)f(6)-f(a_f( axP(),弦AB的斜率为F(b)-F(a).于是F()-F(a)F(9),即在曲线弧AB 上至少有一点C(P(5),(),在该点处的切线平行于弦AB 证明:作辅助函数 px)=f(x)-f( fob)-f(a F()-F(a) 则9(x)满足罗尔定理的条件,于是在(a,b)内至少存在一点5,使得四(=0,即 fob)-f( fb-f(a)f(s f() F()=0 所以F(b)-F(a)F(5)证毕 特别地当()=x时,F(6)-F(a)=b-a,F"(x)=1 f(b)-f(a)f"(9)f(b)-f(a) 由F()-P(a)F(9)有b-a=f(2) J(b)-f(a)=f()(b-a),故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,而柯西中 值定理是拉格朗日中值定理的推广 X=F( B °F(a)P()F(x) F(2)F(b)
几何解释: 设曲线弧C由参数方程 ( )表示, 其中 为参数. 如果曲 线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C上必有一点 , 使曲线 上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C上点 处的切线的斜率为 , 弦AB的斜率为 . 于是 , 即在曲线弧AB 上至少有一点 ,在该点处的切线平行于弦AB. 证明: 作辅助函数 则 满足罗尔定理的条件，于是在 内至少存在一点 ，使得 , 即 , 所以 .证毕 特别地 当 时, 由 有 即 , 故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中 值定理是拉格朗日中值定理的推广