第四节有理函数的积分 教学目的:使学生基本掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。 教学重点:有理函数的积分 教学难点:三角函数有理式、简单无理式的积分。 教学内容 、有理函数的积分 形如 P(x)ao a Q(x)b0x+b1x+…+bx+an 称为有理函数。其中40,41,a2…,an及b,2,…,b为常数,且40≠0,b≠0 如果分子多项式P(x)的次数n小于分母多项式e(x)的次数m,称分式为真分式:如果分 子多项式P(x)的次数n大于分母多项式Q(x)的次数m,称分式为假分式。利用多项式除法可 得,任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如: x3+x+1 因此,我们仅讨论真分式的积分 根据多项式理论,任一多项式Q(x)在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘积, Qx)=b0(x-a)“…(x-b)°(x2+px+q)2…(x2+x+)“(4-2) 4s<0 如果(4-1)的分母多项式分解为(42)式,则(41)式可分解为 P(x) A B (x2+Px+)2(x2+px+0+…+M1x+M M1x+N, M2x+N2 (x+px+q Rx+ ws R (x"+rx +s) +rx+s x"+rx +s) (4-3) x+3 例1 5x+6
第四节 有理函数的积分 教学目的：使学生基本掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。 教学重点：有理函数的积分。 教学难点：三角函数有理式、简单无理式的积分。 教学内容： 一、有理函数的积分 形如 (4-1) 称为有理函数。其中 及 为常数，且 ， 。 如果分子多项式 的次数 小于分母多项式 的次数 ，称分式为真分式；如果分 子多项式 的次数 大于分母多项式 的次数 ，称分式为假分式。利用多项式除法可 得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如： 因此，我们仅讨论真分式的积分。 根据多项式理论，任一多项式 在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘积， 即 (4-2) 其中 。 如果(4-1)的分母多项式分解为(4-2)式，则(4-1)式可分解为 (4-3) 例1． 求
解:因为 x+3 x+ 5x+6(x-2)(x-3)x-2x 得 +3 56 dx x2-5x+6 X 5n|x-2|+6lh|x-3|+C 2 例2 解:由于分母已为二次质因式,分子可写为 1 (2x+2)-3 X dx x2+2x+3 x2+2x+3 1r2x+2 dx 1ra(x2+2x+3) d(x+1) (x+1)2+(√2 √2√2 例3.求(1+2x(1+x2) 解:根据分解式(4-3),计算得 4 X (1+2x)(1+ 因此得 4 (1+2(1+x)=∫_5 dx dx+ d 511+2x511+ 1+2x d(1+2x)-51+x2 d(+x2)+5 In|1+2x|-=hn(1+x2)+=arctan x+C
解：因为 得 例2． 求 解：由于分母已为二次质因式，分子可写为 得 例3． 求 解：根据分解式(4-3)，计算得 因此得
可化为有理函数的积分举例 三角函数有理式的积分 如果R(a,)为关于2,V的有理式,则2(sinx,cosx)称为三角函数有理式。我们不深入讨 论,仅举几个例子说明这类函数的积分方法 1+sin x 例4.求simx(1 u =tan x 解:如果作变量代换 ,可得 sin x d du 1 1+ 因此得 1+sin x (1+2) 2 x(1+ In u)+C X A In tan<l+C a)简单无理式的积分 求1+x+2 解:令x+2=,得x=13-2,=32如,代入得 1+ 3(--a+hn|1+a1) 3 (x+2-33x+2+31+3x+2|+C 例6.求(+3x)√x 解:令 得ax=6t5at,代入得
二、可化为有理函数的积分举例 1．三角函数有理式的积分 如果 为关于 的有理式，则 称为三角函数有理式。我们不深入讨 论，仅举几个例子说明这类函数的积分方法。 例4． 求 解：如果作变量代换 ，可得 ， ， 因此得 a) 简单无理式的积分 例5． 求 解：令 ，得 ， ，代入得 例6． 求 解： 令 ，得 ，代入得
+5 6t dt (1+t2) 1+t ∫- 6(t-arctan t)+C arctan Vx)+C 小结:本节学习了有理函数的积分,并通过例题了解了三角函数有理式和简单无理式的积分。同 学们可以通过多做一些练习题来熟悉本节介绍的几种积分方法
小结：本节学习了有理函数的积分，并通过例题了解了三角函数有理式和简单无理式的积分。同 学们可以通过多做一些练习题来熟悉本节介绍的几种积分方法
