第六节多元函数微分学的几何应用 空间曲线的切线与法平面 类似于平面曲线的切线概念,一条空间曲线r在点M(x0,y0,z0)处的切线是这样 定义的:在曲线上找一异于点M(x0,y0,20)的点M(x+△x,y+4y,z0+△z),做 割线MM,如果当点M沿曲线了趋于M时,割线MM存在极限位置M,则称曲 线MT为曲线工在点M(x0,y020)出的切线 过点M(ny020)且与曲线在点(x0,y020)处的切线垂直的平面称为曲线 在点M处的法平面 下面我们来建立空间曲线r在点M处的切线方程及法平面方程 空间曲线r的参数方程为x=p(,y=(),z=()的情形 设空间曲线r的参数方程为x=p(,y=p(,z=a()(1) 这里假定式(1)的三个函数都可导 在曲线上取对应于t=的一点M(x0,y0,20)及对应于t=40+△t的邻近一点 M(x0+Δx,y+4y,2z0+Δz)根据解析几何,曲线的割线MM的方程是 x-x0y2-y0z-20 x 当M′沿着F趋于M时,割线MM的极限位置MT就是曲线F在点M处的切线 用△t除上式的各分母,得 x-20 y-y0 2-20 令M!→M这时(△t→0),通过对上式取极限,即得曲线在点M处的切线方程为 x-x0y-y0_2-20 (2) 这里当然要假定(),p(40),a(0)不能都为零如果个别为零,则应按空间解析 几何有关直线的对称式方程的说明来理解 切线的方向向量称为曲线的切向量向量 T={q(t0),(0),a(t0) 就是曲线r在点M处的一个切向量 通过点M而与切线垂直的平面称为曲线在点M处的法平面,它是通过点 M(x0,y0,20)而以T为法向量的平面,因此这法平面的方程为 (0)(x-x0)+p(0)-y)+a()(z-20)=0 例8-9求曲线x=∴,y=,z=在点(1,1,1)处的切线及法平面方程 解因为x2=1,y2=2t,z,=3t2,而点(11)所听对应的参数t=1,所以 T=(1,2,3 于是,切线方程为
第六节 多元函数微分学的几何应用 一、 空间曲线的切线与法平面 类似于平面曲线的切线概念，一条空间曲线 在点 处的切线是这样 定义的：在曲线 上找一异于点 的点 ，做 割线 ，如果当点 沿曲线 趋于 时，割线 存在极限位置 ，则称曲 线 为曲线 在点 出的切线. 过点 且与曲线 在点 处的切线垂直的平面 称为曲线 在点 处的法平面. 下面我们来建立空间曲线Г在点 处的切线方程及法平面方程. 1. 空间曲线Г的参数方程为 的情形 设 空 间 曲 线 Г 的 参 数 方 程 为 （ 1 ） 这里假定式(1)的三个函数都可导. 在曲线上取对应于 的一点 及对应于 的邻近一点 .根据解析几何，曲线的割线 的方程是 当 ＇沿着Г趋于M时，割线 的极限位置MT就是曲线Г在点 处的切线. 用△t除上式的各分母，得 令 ＇→ 这时 通过对上式取极限，即得曲线在点 处的切线方程为 = (2) 这里当然要假定 不能都为零.如果个别为零，则应按空间解析 几何有关直线的对称式方程的说明来理解. 切线的方向向量称为曲线的切向量.向量 就是曲线Г在点 处的一个切向量. 通过点 而与切线垂直的平面称为曲线在点 处的法平面，它是通过点 而以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为 例8-29 求曲线 在点 (1,1,1)处的切线及法平面方程. 解 因为 而点 (1,1,1),所对应的参数 ，所以 于是，切线方程为
X y 3 法平面方程为 (x-1)+2(-1)+3(z-1)=0 即 2.空间曲线F的方程为 (x)的情形 如果空间曲线T的方程以 =(x) (x) 的形式给出,取x为参数,它就可以表为参数方程的形式 y=(x), 少(x) 若(x),(x)都在x=x处可导,那末根据上面的讨论可知,T=(1,(x),(x)因 此曲线在点M(x0,y0,20)处的切线方程为 Xo b-v Ao 在点M(x0,y0,20)处的法平面方程为 (x-x0)+y(x)(y-y0)+少(x)(z-20)=0 3.设空间曲线r的方程是 F(x,y,z)=0, G(x,y,2)=0的情形 设空间曲线r的方程以 F(x,y,z)=0, G(x,y,2)=0 (6) 的形式给出,M(x0,y020)是曲线厂上的一个点,又设、G有对各个变量的连续偏导 O(F,G) a, 这时方程组6在点2(x0,y0,z0)的某一邻域内确定了一组函数y=9(x,2z=(x)要 求曲线在点M处的切线方程和法平面方程,只要求出(x),(x),然后代入(4)、(5)两 式就行了为此,我们在恒等式 [x,9(x),(x)]≡0, x,(x),(x)≡0 两边分别对x求全导数,得
, 法平面方程为 即 2. 空间曲线Г的方程为 的情形 如果空间曲线Г的方程以 的形式给出，取x为参数，它就可以表为参数方程的形式 若 都在x=x0处可导，那末根据上面的讨论可知， ,因 此曲线在点 处的切线方程为 (4) 在点 处的法平面方程为 3. 设空间曲线Г的方程是 的情形 设空间曲线Г的方程以 (6) 的形式给出， 是曲线Г上的一个点，又设、G有对各个变量的连续偏导 数，且 这时方程组(6)在点 的某一邻域内确定了一组函数 要 求曲线Г在点M处的切线方程和法平面方程，只要求出 然后代入(4)、(5)两 式就行了.为此，我们在恒等式 两边分别对x求全导数，得
ax ay dx az +2(+2出=0 由假设可知,在点M的某个邻域内 a(F, G) F2 Fx Fr F 中=(. 故可解得 于是=(1,(x,(x)是曲线在点M处的一个切向量,这里 Pa F F. F GG o'(x FF 分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点M(x0,y0,20)的值把上面的切向量T乘以 2,F 得 F G 这也是曲线在点M处的一个切向量,由此可写出曲线r在点M(x0,y0,20)处的切线 方程为 oFG 曲线r在点M(x0,y0,20)处的法平面方程为 F F r Fx (-y0) z0) G G O(F,G) 0 a(F, G a(F, c 如果2(y,2)。而0(,x)b3(x)中至少有一个不等于零,我们可得同样的结 例830求曲线x2+y2+2=6,x+y+z=0在点(121)处的切线及法平面方程 解这里可直接利用公式(7)及(8)来解,但下面我们依照推导公式的方法来做 将所给方程的两边对x求导并移项,得
由假设可知，在点M的某个邻域内 故可解得 于是 是曲线在点 处的一个切向量，这里 分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点 的值.把上面的切向量T乘以 得 这也是曲线 在点 处的一个切向量，由此可写出曲线Г在点 处的切线 方程为 曲线Г在点 处的法平面方程为 (8) 如果 而 中至少有一个不等于零，我们可得同样的结 果. 例8-30 求曲线 , 在点 (1,-2,1)处的切线及法平面方程. 解 这里可直接利用公式(7)及(8)来解，但下面我们依照推导公式的方法来做. 将所给方程的两边对x求导并移项，得
dy dz dx d 由此得 少 dz 0, =-1 (L-21) 从而 T=1,0,-1), 故所求切线方程为 1y+2 法平面方程为 (x-1)+0×(y+2)-(z-1)=0 =0 、曲面的切平面与法线 我们先讨论由隐式给出曲面方程 x,y),2)=0 的情形,然后把由显式给出的曲面方程z=(x,y)作为它的特殊情形 设曲面∑由方程9)给出,M(x0,y020)是曲面∑上的一点,并设函数(xy2)的偏 导数在该点连续且不同时为零在曲面∑上,通过点M任意引一条曲线(图8-8),假 定曲线的参数方程为 c(t),y=例(t),z=a(), (10) t=4对应于点M(x0)y0,20)且(0),列(),a(0)不全为零,则由(2)式可得这曲线 的切线方程为 c(0)=()a"(t0) 我们现在要证明,在曲面∑上通过点M且在点M处具有切线的任何曲线,它们在 点M处的切线都在同一个平面上事实上,因为曲线r完全在曲面∑上,所以有恒等式 [a(t),(),a()]≡0 又因(xy2)在点(x00,z0)处有连续偏导数,且(0,少(0)和a(0)存在,所以这 恒等式左边的复合函数在=时有全导数,且这全导数等于零 d plo(0), p(0, o(01=0 即有
由此得 从而 故所求切线方程为 法平面方程为 , 即 二、曲面的切平面与法线 我们先讨论由隐式给出曲面方程 ( ) = 0 (9) 的情形，然后把由显式给出的曲面方程 作为它的特殊情形. 设曲面∑由方程(9)给出， 是曲面∑上的一点，并设函数( )的偏 导数在该点连续且不同时为零.在曲面∑上，通过点 任意引一条曲线（图8―8），假 定曲线的参数方程为 (10) 对应于点 且 不全为零，则由(2)式可得这曲线 的切线方程为 = 我们现在要证明，在曲面∑上通过点 且在点 处具有切线的任何曲线，它们在 点 处的切线都在同一个平面上.事实上，因为曲线Г完全在曲面∑上，所以有恒等式 , 又因( )在点 处有连续偏导数，且 和 )存在，所以这 恒等式左边的复合函数在 时有全导数，且这全导数等于零: 即有
px0,z0)()+F,(x,y0,20)(40)+F2(列,0,2)a(0)=0(1 引入向量 n=(Fx(,y0,20),F,(x,0,20),B2(x,y,20) 则(1)试式表示曲线(10)在点M处的切向量 T=(q(t0),四(0),a(t0) 与向量垂直因为曲线(10是曲面上通过点M的任意一条曲线,它们在点M的切线都与 同一个向量n垂直所以曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上 (图8-8)这个平面称为曲面∑在点M的切平面这切平面的方程是 2,(x,,270)x-x0)+2,(xny10,0)0-y0)+22(x0,y0,z0)(2-z0)(12) 通过点M(x0,y0,20)而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线法线方程 是 B(x0,y0,20)F,(x0,y0,20)F2(x0,y0,z0 (13) 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,向量 月=(F(x0,y0,20),F,(x,,20),2(70,y,20),就是曲面∑在点M处的一个法 向量 1.曲面∑的方程为z=f(x,y)的情形 现在来考虑曲面方程 (14) 令 y,z)=f(x, y) 可见Fxy2)(x),F√(x)2)=、(x,),Fx,yz)=1 于是,当函数J(xy)的偏导数J(xy)、J(x)在点(xy0)连续时,曲面 (14)在点M(x,y20)处的法向量为 n={(x0,y0),f(x0,y0),-1 切平面方程为 Jx(x0,y0)(x-x0)+J(x0,y0)(-y0)-(z-20)=0, 或 z-20=f(x0,y0(x-x)+J,(x0,y0y-%0)(5 而法线方程为 X-x Do Z-Z 这里顺便指出,方程(15)右端恰好是函数z=(x,y)在点(x0,y0)的全微分,而左端 是切平面上点的竖坐标的增量因此,函数2=(x,y)在点(x,0)的全微分,在几何上 表示曲面2=(x,y)在点(x0,y0,20)处的切平面上点的竖坐标的增量 如果用a、B、Y表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的, 使得它与z轴的正向所成的角Y是一锐角,则法向量的方向余弦为
(11) 引入向量 则(11)式表示曲线（10）在点M处的切向量 与向量垂直.因为曲线(10)是曲面上通过点 的任意一条曲线，它们在点 的切线都与 同一个向量 垂直,所以曲面上通过点 的一切曲线在点 的切线都在同一个平面上 （图8―8）.这个平面称为曲面∑在点 的切平面.这切平面的方程是 (12) 通过点 而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线.法线方程 是 (13) 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量 就是曲面∑在点 处的一个法 向量. 1．曲面∑的方程为 的情形 现在来考虑曲面方程 (14) 令 ( ) = — z, 可见 x ( )= x , y ( )= y , z ( )=-1. 于是，当函数 的偏导数 x 、 y 在点 连续时，曲面 （14）在点 处的法向量为 = 切平面方程为 或 (15) 而法线方程为 这里顺便指出，方程(15)右端恰好是函数 在点 的全微分，而左端 是切平面上点的竖坐标的增量.因此，函数 在点 的全微分，在几何上 表示曲面 在点 处的切平面上点的竖坐标的增量. 如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即 使得它与 轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为
COS C= fx +fy 2+f 这里,把(xn00,(x,)分别简记为Jf了 例831求球面x2+y+z2=14在点(1,3)处的切平面及法线方程 解(x,y,z)=x2+y+≥2 n={FxFy,F2}=(2x2y,2), nl(12,3)={2,46} 所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为 (x-1)+4(y-2)+6( x+2y+3z-14=0, 法线方程为 x y Z 即 123 由此可见,法线经过原点(即球心) 小结:本节在空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线两方面研究了 微分法的应用利用导函数的几何性质,针对空间曲线的一般表现方 式,给出了空间曲线的切向量,从而确定了空间曲线的切线与法平面 方程;同时针对由隐式给出的曲面方程,推导出曲面的切平面与法线 方程,并给出了曲面法向量的方向角 作业 t 丌 x=t- 求曲线 sin t, y=1-cost, z= 4 2在点(2 2√2)处的切 线及法平面方程 2.求曲线1+t,y=t,z=t在对应于t=1的点处的切线及法平面方 程 求曲线y2=2mx,z2=m-x在点(x,y020)处的切线及法平面方程
这里，把 分别简记为 x , y . 例 8-31 求球面 在点(1,2,3)处的切平面及法线方程. 解 ( ) = , = { x , y , z} = |(1 ,2 ,3) = {2,4,6}. 所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为 即 法线方程为 即 由此可见，法线经过原点(即球心). 小结：本节在空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线两方面研究了 微分 法的应用.利用导函数的几何性质，针对空间曲线的一般表现方 式，给出了空间曲线的切向量，从而确定了空间曲线的切线与法平面 方程；同时针对由隐式给出的曲面方程，推导出曲面的切平面与法线 方程，并给出了曲面法向量的方向角. 作业： １．求曲线 在点（ －１，１， ）处的切 线及法平面方程． ２．求曲线 ， ， 在对应于 的点处的切线及法平面方 程． ３．求曲线 在点 处的切线及法平面方程．