第五节对坐标的曲面积分 教学目的:理解和掌握对坐标的曲面积分的概念和性质 教学重点:对坐标曲面积分的计算 教学难点:对坐标曲面积分的计算 教学内容 、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.有向曲面 侧:设曲面z=z(x,y),若取法向量朝上(n与z轴正向的夹角为锐角),则曲面取 定上侧,否则为下侧:对曲面x=x(y,z),若n的方向与x正向夹角为锐角,取定 曲面的前侧,否则为后侧,对曲面y=y(x,2),n的方向与y正向夹角为锐角取定 曲面为右侧,否则为左侧:若曲面为闭曲面,则取法向量的指向朝外,则此时取定 曲面的外侧,否则为内侧,取定了法向量即选定了曲面的侧,这种曲面称为有向曲 2.投影 设∑是有向曲面,在∑上取一小块曲面△S,把ΔS投影到x°y面上,得一投影域 △a(表示区域,又表示面积),假定Δ上任一点的法向量与z轴夹角的余弦 △ Ox cos yz 通过闭区域A流向n所指一侧的流量均称为A2时,流量为负任称为流体 解:但所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面,且流速ν也不是常向量,故采用元素 法把∑分成n小块△S,设∑光滑,且P,Q,R连续,当△S很小时,流过△S2的体积 近似值为以△S为底,以男,与)为斜高的柱体,任(与2,男,41)∈△8,2为 (5,m,9)处的单位法向量n;={53,7,5},故流量:v(,2,与)nAS
第五节 对坐标的曲面积分 教学目的：理解和掌握对坐标的曲面积分的概念和性质 教学重点：对坐标曲面积分的计算 教学难点：对坐标曲面积分的计算 教学内容： 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 1．有向曲面 侧：设曲面 ，若取法向量朝上（ 与 轴正向的夹角为锐角），则曲面取 定上侧，否则为下侧；对曲面 ，若 的方向与 正向夹角为锐角，取定 曲面的前侧，否则为后侧，对曲面 ， 的方向与 正向夹角为锐角取定 曲面为右侧，否则为左侧；若曲面为闭曲面，则取法向量的指向朝外，则此时取定 曲面的外侧，否则为内侧，取定了法向量即选定了曲面的侧，这种曲面称为有向曲 面 2．投影 设 是有向曲面，在 上取一小块曲面 ，把 投影到 面上，得一投影域 （表示区域，又表示面积），假定 上任一点的法向量与 轴夹角 的余弦 同号，则规定投影 为 实质将投影面积附以一定的 符号，同理可以定义 在 面， 面上的投影 ， 3．流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩的流体（设密度为1）的速度场为 = + + ， 为 其 中一片有向曲面， 在 上连续，求单位时间内流向 指定侧的流体在此闭域上各点处流速为常向量 ，又设 为该平面的单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流 体组成一底面积为 ，斜高为 的斜柱体，斜柱体体积为 时，此即为通过区域 流向 所指一侧的流 量.当 时，流量为0，当 时，流量为负任称为流体 通过闭区域 流向 所指一侧的流量均称为 . 解：但所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速 也不是常向量，故采用元素 法.把 分成 小块 ，设 光滑，且 连续，当 很小时，流过 的体积 近似值为以 为底，以 为斜高的柱体，任 ， 为 处的单位法向量 ，故流量
∑vnAS∑[ Pcos ay+gcos月+Rcos%]S 又cosa△S3=△S A3·△S2=△ y3△S BASin+RASin] 凡最大曲面直径 定义 设∑为光滑的有向曲面,R(x,y,2)在∑上有界,把∑分成n块△,△S3在x°y面 lm∑R(点,n,5)△S 上投影(AS),(5,n,)是A上任一点,若2→0,1幻 存在,称此极限值为2(x,y2)在∑上对坐标x,的曲面积分,或2(x,y2)xd在有曲 面∑上的第二类曲面积分,记为 R(x,y2)ax类似P,已对y°2及z0x曲面积分 分别为 Ⅱ21m2(点,)△m Ⅱhim2(4,m,)△m 说明:(1)∑有向,且光滑 (2)2P,g,R在∑上连续,即存在相应的曲面积分 (3) Paydz gdzdx Rdxdy Paydz+ gdzdx+Rdxdy (4)稳定流动的不可压缩流体,流向∑指定侧的流量④2的动Qa8 5)若E=21+2,则2的=P的,P (6)设∑为有向曲面,一∑表示与∑相反的侧 则J2Pz=小Pa Cdzdx 2Rd-ⅡRad 二、对坐标的曲面积分的计算方法 定理:设∑由z=2(xy)给出的曲面的上侧,∑在x°y面上的投影为D 2=2(0)Dn内具有一阶连续偏导数,在E上连续,则8b 风x,a()] ∵Σ取上侧,则cosy>0,即(AS)x=(A),又(与,7,)为∑上的点,则 5=2(7,51), R(5,7,5)AS)∑R(9,7,2(5,n,)(Aa)
= 又 ， ∴ ∴ 最大曲面直径 4．定义 设 为光滑的有向曲面， 在 上有界，把 分成 块 ， 在 面 上投影 ， 是 上任一点，若 ， 存在，称此极限值为 在 上对坐标 的曲面积分，或 在有曲 面 上的第二类曲面积分，记为 .类似 对 及 曲面积分 分别为 = = 说明：（1） 有向，且光滑 （2） 在 上连续，即存在相应的曲面积分 （3） + + = （4）稳定流动的不可压缩流体，流向 指定侧的流量 = （5）若 ，则 + （6）设 为有向曲面， 表示与 相反的侧 则 = = = 二、对坐标的曲面积分的计算方法 定理：设 由 给出的曲面的上侧， 在 面上的投影为 ， 在 内具有一阶连续偏导数， 在 上连续，则 = . ∵ 取上侧，则 ，即 ，又 为 上的点，则 ，∴ = ，令
2→0,取极限则盈风xy2(x 说明:(1)将z用z=z(x,y)代替,将∑投影到x°y面上,再定向,则 Rdxdy Ax, y, z(x, y)kxdy (2)若Σ:z=z(x,y)取下侧,则cosy0),取外侧 解:Σ1:园锥面上底,z=h,z“=x+y2上侧 ∑2园锥面侧面,∑2为前侧,∑2为后侧 x(-z)a小ydz (z- xdzdx Ⅱ(x-)a=D(xyd-”(9-my (x-ydxdy (x-y)dxdy= 0 (-)dydz x(y-z)dydz y2(-2)yz √2-y2(-2)d v-y2=2 '(-zry (-)dzdx dzdx x)dzdx ∴原式=4
，取极限则 = 说明：（1）将 用 代替，将 投影到 面上，再定向，则 = （2）若 ： 取下侧，则 ， ∴ = （3） ， 与此类似 ： 时，右侧为正，左侧为负 ： 时，前侧为正，后侧为负 例1． 计算 ， 为 ， 的上侧 解：将 向 面投影为半圆 ， ， = = = 由对称性 = ， = ∴原式= = 注意： 必须为单值函数，否则分成 片曲面 例2． 为 与 围成 ，取外侧. 解： ；园锥面上底， ， 上侧 园锥面侧面， 为前侧， 为后侧 = ， ， ， ∴ + = = + = ∴原式=
两类曲面积分间的关系 若Σ:z=2(xy),Σ在x°y面的投影域D,z在D上有一阶连续偏导数,R 在∑上连续,∑取上侧 Kx,y, x,ydxdy Cos a Cos COSy= +zx+zy R(x,y dds x,y,z(z,y)]cosy√1 R[ x,y, z(x, y)ldxdo 若∑取下侧 Ⅱ&x=-JDxy2(xy) Ⅱ Rcos xds_8aoy+2+2b 延x,y,z(x,y)]a 类似 paydz Pcos ads _ odzdx PCos &ds Paydz+Odzdx+Rdxdy IL[Pcos a+e cos B+Rcos ylds (cosa,cosA,cosy)为∑在点(x,y,2)处的法向量的方向余弦 z=-(x-+y 例2.计算 ∑是2 介于z=0和z=2之间 部分的下侧 (z+x)dydz=L(2+x)cos ads COS C +xty (z+ x)aydz 1+ x2 2、2 (z*+ xdxdy lardy D JI-zdxdy=[-2 cos xis=J-2 +z+y say dr 原式= LIx+a+y))xo r delr2cos g
三、两类曲面积分间的关系 若 ： ， 在 面的投影域 ， 在 上有一阶连续偏导数， 在 上连续， 取上侧 = ， ， = = 若 取下侧， = = = 类似 = ， = ∴ = 为 在点 处的法向量的方向余弦. 例2． 计算 是 介于 和 之间 部分的下侧 解： ， ∴ = = = ∴原式= = =
练习:设是球面x2+y2+z2=a2的外侧,投影域D:x2+y2≤a2,下面等式 是否成立?将错的更正 (1)Jxyzds 2(x+y)x=D(2+y)× (xyzdxdy 两类曲面积分间的关系用向量形式表示如下: Ads 其中A={P,Q,R,n={cosa,cos,cor)为有向曲面∑上点(x,y,2),处的单位法 向量,d=nd=(小, dzdx, dxdy称为有向曲面元,A,为向量A在向量 n上的投影 小结:(1)对坐标的曲面积分的感念和性质 (2)对坐标的曲面积分的计算 (3)两类曲面积分的联系 作业:P167,2,5
练习： 设 是球面 的外侧，投影域 ： ，下面等式 是否成立？将错的更正 （1） = （2） （3） 两类曲面积分间的关系用向量形式表示如下： 其中 = ， 为有向曲面 上点 ，处的单位法 向量， ={ }称为有向曲面元， 为向量 在向量 上的投影 小结：（1）对坐标的曲面积分的感念和性质 （2）对坐标的曲面积分的计算 （3）两类曲面积分的联系 作业：P167，2 ，5