第九节、常系数非齐次线性微分方程 教学目的:掌握二阶常系数非齐次线性微分方程当f(x)为(x)e”与 e1(x) I Cos ax+2(x) )sin @x]时,特解的形式及解法。 教学重点:当f(x)为2(x)“与(x)c08ax+()imax时特解的形式及 解法 教学难点:当(x)为2(x)与e(x) COS Ox+2(x)sina时特解的不同形 式 教学内容 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为 y+py +qy=f(r),(f(x)#0 这里我们只讨论f(x)为(x)与e[(x) COS x+2(x) sin ax]型。 、f(x)=只(x)e"型 y”+即+四=f(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+p+=0, 通解结构y=Y+ 常见类型P2(x,P(x)e,Pm( x)ecos A,Pm(x)l"sin, 难点:如何求特解? 方法:待定系数法 设非齐方程特解为卩=Qx)代入原方程 e(x)+(2x+p)Q(x)+(x+p+9)Q(x)=Rn(x) (1)若不是特征方程的根,2+p2+q≠0 可设Q(x)=Qn(x),p=Q(x)e (2)若是是特征方程的单根,x+pDA+q=0,2A+p≠0 可设Q(x)=xQm(x),y=x-(x)e* (3)若禔是特征方程的重根, +p+q=0,y=x2n(x) 综上讨论 0不是根 k={1是单根 设p=xe"g(x,2是重根 注意:上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数) 特别地 t py t
第九节、常系数非齐次线性微分方程 教学目的：掌握二阶常系数非齐次线性微分方程当 为 与 时，特解的形式及解法。 教学重点：当 为 与 时特解的形式及 解法。 教学难点：当 为 与 时特解的不同形 式。 教学内容： 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为 ，（ ） 这里我们只讨论 为 与 型。 一、 = 型 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 设非齐方程特解为 代入原方程 综上讨论 注意：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）. 特别地
,不是特征方程的根 A+p4 y=}xx是特征方程的单根, A 禔特征方程的重根 例1求方程y-6y+9y=2x2-x+3的通解 解由特征方程r2-6+9=0 特征根r12=3 对应齐次方程通解Y=(G+C2x)23, 设p=ax2+bx+c, 代入方程,得9ax2+(9b-12a)x+(2a-6b+9)=2x2-x+3 5 解之有 于是9 +一X- 原方程通解为 例2求方程y-3y+2y=xe2x的通解 解特征方程 特征根r1=l,r2=2, 对应齐次方程通解Y=cP"+C2 ∴A=2是单根,设p=x(Ax+ A 代入方程,得2Ax+B+2A=xB=-1 于是y=x(x-1)e2x 原方程通解为y=Cg+C221)e 例3求方程y”-8y+16y=x+e4的通解 解由特征方程r-8r+16=0 特征根12 对应齐次方程通解Y=(C1+C2x)e 设 D= Ax+B+Cx2e4x 代入方程,得(-8A+16B)+16Ax+2Ce4=x+e4x 解之有 16 于是p 原方程通解为y=(C1+C2xe4x+- 16322
例1 求方程 的通解 解 由 特征方程 特征根 对应齐次方程通解 代入方程, 得 解之有 原方程通解为 例2 解 特征方程 特征根 对应齐次方程通解 代入方程, 得 原方程通解为 例3 解 由 特征方程 特征根 对应齐次方程通解 代入方程, 得 解之有 原方程通解为
例4设函数)连续且满足以)=C+00)2-小0),求 解显然有(0)=1等式两端同时对x求导有 (x)=e+xax)-at)dt-xqdx 又有9(0)=1y(x)=e2-(x) 由特征方程r+1=0,有12=±2 对应齐次方程通解=C1C0sx+C2mx, 设P=Be2,代入方程,得B=5于是yp 原方程通解为(x=C1C0x+C2simx×气 由a0)=110)=1代入①、②有 C1=C2 da r)=-cosx+-sin x+e 则 、f(x)=e[(x) Cos ax+R2(xsna]型 f(x)=∈[ cos ax+P2sima]利用欧拉公式 (2+2)(++(2-2)2 =P(x)e1+)x+p(x)e(-x, 设y”+py3+9y=P(xe(+o,1=x2e*o)x 设y”+p+9y=p(x(1-10,2=xne1)x, D=xe[e ela+ xe[ a'(x)cos ax+R(2(x)sin ax]. 其中m(x),2(是m次多项式,m=max,n 0A±a不是根 1±3a是单根 注意:上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 例1求方程y"+y=4smx的通解 解对应齐方通解Y=C1C0sx+C2inx, 作辅助方程y+y=4e, ·A=t是单根故p=Axex, 代入上式2A=4,A 所求非齐方程特解为P=-2xc0sx(取虚部) 原方程通解为J=C1c0sx+C25ix-2xc0sx 例2求方程y+y=xC0s2x的通解 解对应齐方通解Y=C1C0sx+C2nx, 作辅助方程 A=2不是特征方程的根
例4 设 连续,且满足 , . 解 显然有 等式两端同时对 求导有 ……① 又有 由 特征方程 有 对应齐次方程通解 代入方程, 得 原方程通解为 ……② 由 代入 ①、② 有 则 利用欧拉公式 注意：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 例1 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 （取虚部） 原方程通解为 例2 解 对应齐方通解 作辅助方程
设y=(Ax+B)e2,代入辅助方程 4Az-3B=0 3A=1 (3x0(02+m2x) xcos2x+-sin 2x-(-cos 2x+-xsin 2x)i 所求非齐方程特解为 y=--xcos2x+-sin 2x (取实部) 原方程通解为 C1 cosx+ C2 sin x--xcos 2x+=sim 2x 注意:A1 CoS ax, Ae sin ax分别是A4+k的实部和虚部 例3求方程y”+y=anx的通解 解对应齐方通解=C1C0sx+C2in 用常数变易法求非齐方程通解 it y=G1(r)cosx+c2(x)sinx In/secx+tanx+C1 w(x)=1,c2(x)=-cos x+ C2 原方程通解为y=C1c0sx+C2sinx- cosx In /secx+tan V小结与提问 小结:(待定系数法) (1)f(x)=ePn(x,(以是复数) (2)f(x)=e[P(x)cos ax+P(x)sin ax D=xe[R(x)cos ax+R2)(x)sin ax]; 只含上式一项解法:作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原 非齐方程特解 思考题:写出微分方程y-4y+4y=6x2+8e的待定特解的形式 思考题解答:设y”-4y+4y=6x2的特解为n 设y"-4y+4y=8“的特解为y2 则所求特解为y=y+y2 y2-4+4=0:特征根 =Ax2+Bx+Cy2=Dne2(重根) y=y,+y2=Ax2+Bx+C+Dx2e2x
代入辅助方程 所求非齐方程特解为 （取实部） 原方程通解为 注意： 例3 解 对应齐方通解 用常数变易法求非齐方程通解 原方程通解为 V 小结与提问： 小结：(待定系数法) 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原 非齐方程特解. 思考题：写出微分方程 的待定特解的形式. 思考题解答：设 的特解为 设 的特解为 则所求特解为 特征根 （重根）