第3章 §3.1微分中值定理 燕列雅权豫西王兰芳李琪
第3章 §3.1 微分中值定理 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
一、微分中值定理 定义1设函数f(x)在(a,b)内有定义,x∈(a2b) 若存在x0的一个邻域,如果在该邻域内, (1)f(x)≤f(x)则称x为f(x)的极大值点, 称f(x)为函数的极大值; (2)f(x)2f(x)则称x为f(x的极小值点, 称f(x0)为函数的极小值 极大值点与极小值点统称为极值点;极大值与极小 值统称为极值 定义2导数为零的点称为函数的驻点
定义1 设函数 f (x)在(a,b)内有定义, ( , ), x0 a b 若存在x0的一个邻域， 如果在该邻域内 , 0 (1) f x f x ( ) ( ), 则称 为 的极大值点 , 0 x f x( ) 称 ( ) 为函数的极大值 ; 0 f x 0 (2) f x f x ( ) ( ), 则称 x0 为 f (x) 的极小值点 , 称 ( ) 为函数的极小值 . 0 f x 极大值点与极小值点统称为极值点 ; 值统称为极值. 极大值与极小 一、微分中值定理 定义2 导数为零的点称为函数的驻点
1.罗尔(Roe)定理 费马erma)引理 y=f(x)在U(x0)有定义 0 且/(x)f(x),f(x)存在f(x)=0 (或≥) 证设x0+Ax∈Ux0)2f(x0+△x)≤f(x0) 则f(x0)=1im f(x0+△x)-f(x0) Ax→>0 △ f(x0)≥0(△x→>0-) r(x)s0(Ax→0) f(x0)=0 证毕 即:可导函数的极值点一定是驻点.但反过来不成立
费马(fermat)引理 1. 罗尔( Rolle )定理 ( ) , 在 x0 有定义 且 ( ) 0 f (x) f (x0 ), f x 存在 (或) f (x0 ) = 0 证 设 ( ), ( ) ( ), 0 0 0 0 x + x x f x + x f x 则 ( ) 0 f x x f x x f x x + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0 = ( 0 ) → − f− (x0 ) x ( 0 ) → + f+ (x0 ) x 0 0 ( ) 0 f x0 = x y o 0 y = f (x) x 证毕 即: 可导函数的极值点一定是驻点. 但反过来不成立
罗尔(Roll)定理 ay=f(x) y=f(x)满足: (1)在区间a,b上连续 (在区间(a,D内可导0a4b文 (3)f(a)=f(b) 在(a,b)内至少存在一点5,使f(2)=0. 证因f(x)在[a,b上连续,故在a,bl上取得最大 值M和最小值m 若M=m,则f(x)=M,x∈[a,b 因此v∈(a,b),f()=0
罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) , 使 f () = 0. x y o a b y = f (x) 证 因f (x)在[a , b]上连续， 故在[ a , b ]上取得最大 值M 和最小值 m . 若 M = m , 则 f (x) M, x[a , b], 因此 (a , b), f () = 0 . 在( a , b ) 内至少存在一点
若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等, 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5∈(anb),使 f(2)=M2则由费马引理得f()=0 注意: 1)定理条件不全具备,结论不一定成立.例如, x,0≤x<1 f(x)= 0 xX三 f(x)=x f(x=x X∈[-1,1 x∈ [0,1
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M f (a) , 则至少存在一点 (a,b), 使 f () = M, f () = 0. 注意: 1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, = = 0, 1 , 0 1 ( ) x x x f x 1 x y o 则由费马引理得 [ 1,1] ( ) − = x f x x [0,1] ( ) = x f x x 1 x y −1 o 1 x y o
例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的 正实根 证1)存在性 设f(x)=x32-5x+1,则f(x)在0,连续,且 f(0)=1,f(1)=-3由零点定理知存在x0∈(0,1),使 f(x0)=0,即方程有小于1的正根x0 2)唯一性 假设另有x∈(0,1),x≠x,使f(x1)=0 f(x)在以x0x为端点的区间满足罗尔定理条件, 在x0,x之间至少存在一点点,使f()=0 但f(x)=5(x4-1)<0,x∈(0,1),矛盾,故假设不 真!
例1 证明方程 5 1 0 5 x − x + = ( ) 5 1, 5 f x = x − x + f (0) =1, f (1) = −3. ( ) 0, f x0 = (0,1), , 1 1 0 x x x ( ) 5( 1) 4 f x = x − 0, x(0,1), 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 (0,1), x0 使 即方程有小于 1 的正根 . 0 x 2) 唯一性 . 假设另有 ( ) 0, 使 f x1 = f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1之间 至少存在一点 , 使 f () = 0. 但 矛盾, 故假设不 设 真!
2.拉格朗日中值定理 y=f(x) y=f(x)满足: (1)在区间[a,b1上连续 (2)在区间(a,b)内可导 C b x 至少存在一点5∈(ab),使f()= f(b-f(a 证问题转化为证()(b)-f(0=0 b-a b-a 作辅助函数(x)=f(x) f(b-f(a b-a 显然,(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 (a) bf(a-af(b) =q(b),由罗尔定理知至少存在一 b 点ξ∈(a,b)使φ()=0,即定理结论成立.证毕 思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数
2. 拉格朗日中值定理 (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 (a,b) , 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − = x y o a b y = f (x) 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , (x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证※ 问题转化为证 (x) = f (x) x b a f b f a − − − ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一 (a,b),使() = 0, 即定理结论成立 . =(b), b a b f a a f b − − = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a f 点 证毕
注:拉格朗日中值定理对于b<n也是成立的 推论1若函数f(x)在区间Ⅰ上满足f(x)=0,则f(x) 在Ⅰ上必为常数 证在I上任取两点x12x2(x<x2),在[x1,x2]上用拉 日中值公式,得 f(x2)-f(x)=f(2)(x2-x)=0(x1<5<x2 f(x2)=f(x1) 由x,x2的任意性知,f(x)在上为常数 推论2若两个可导函数f(x),g(x)的导数处处相等, 则它们只相差一个常数,即存在常数C,使 f(x=g(x)+C
推论1 若函数 在区间 I 上满足 f (x) 0, 则 f (x) 在 I 上必为常数. f (x) 证 在 I 上任取两点 , ( ), 1 2 1 2 x x x x 在[x1 , x2 ]上用拉 日中值公式 , 得 f (x2 ) − f (x1 ) = f ()(x2 − x1 )= 0 ( ) 1 2 x x ( ) ( ) 2 1 f x = f x 由 x1 , x2 的任意性知, f (x) 在 I 上为常数 . f x g x C ( ) ( ) . = + 推论2 若两个可导函数f (x)，g (x)的导数 处处相等， 则它们只相差一个常数， 即存在常数C， 使 注: 拉格朗日中值定理对于b<a也是成立的
例2证明等式 arcsin x+ arccos x=x,x∈[-1,1 2 证设f(x)= arcsin x+arccos x,则在(-1,1)上 f(x) 0 √1-x2√1-x 由推论可知 f(x)= arcsinx+ arccos=C(常数) 元 令x=0,得C 2 又f(±1)=4,故所证等式在定义域[-1,1上成立
例2 证明等式 , [ 1,1]. 2 arcsin x + arccos x = x − 证 设 f (x) = arcsin x + arccos x ,则在(−1,1)上 f (x) = 由推论可知 f (x) = arcsin x + arccos x = C (常数) 令 x = 0 , 得 . 2 C = 又 , 2 ( 1) f = 故所证等式在定义域 [−1,1] 上成立. 2 1 1 − x 2 1 1 − x − 0
例3证明不等式|sina-sinb图a-b 证设f(x)=sinx,则f(x)在[a,b或,a上满足拉 格朗日中值定理条件,因此应有 f(b)-f(a)=f((b-a)(2在n与b在之间 于是(a)-f(b)=/(5)a-b 因为 f()=(cos引s1 故 sin a-sinb图a-b
例3 证明不等式 证 设 f x x ( ) sin , = f x a b ( ) [ , ] 在 格朗日中值定理条件, 于是 因为 故 f b f a ( ) ( ) − = f b a ( )( ) − 因此应有 | sin sin | | | . a b a b − − 则 或[b, a]上满足拉 ( 在a与b在之间) f a f b ( ) ( ) − = f a b ( ) − f ( ) cos 1 = | sin sin | | | . a b a b − −