第3章 §3.4函数的单调性与曲线的 凹凸性 燕列雅权豫西王兰芳李琪
第3章 §3.4 函数的单调性与曲线的 凹凸性 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
三、函数的单调性与凹凸性 1.函数单调性的判定法 定理1设函数f(x)在开区间I内可导,若f(x)>0 (f(x)0,x∈,任取x1,x2∈1(x10 5∈(x1,x2)cI 故∫(x)<∫(x2).这说明f(x)在I内单调递增 证毕
1. 函数单调性的判定法 定理 1 设函数 f (x) 若 f (x) 0 ( f (x) 0), 则 f (x) 在 I 内单调递增(递减) . 证 无妨设 f (x) 0, x I, 任取 , ( ) 1 2 1 2 x x I x x 由拉格朗日中值定理得 ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 f x − f x = f x − x ( , ) 1 2 x x I 0 故 ( ) ( ). 1 2 f x f x 这说明 f (x) 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕 三、函数的单调性与凹凸性
说明: 1)驻点是函数单调区间可能的分界点1y=x2 例如,y=x,x∈(-∞0,+0) y=2x y x=0 0 x=0是函数单调区间的分界点 x 而y=x3,x∈(-∞,+∞) 3x2y1x=0=0 x=0不是函数单调区间的分界点 2)导数不存在的点也可能是函数单调区间的分界点 例如,y=3x2,x∈(∞,+∞) y=vx 1′2 33/x Vx=
y o x 说明: 2) 导数不存在的点也可能是函数单调区间的分界点. 例如, , ( , ) 3 2 y = x x − + 3 3 2 x y = y x= 0 = 3 2 y = x 1) 驻点是函数单调区间可能的分界点. 例如, 2 y x x = − + , ( , ) y x = 2 , 0 y x=0 = y o x 3 y = x , ( , ) 3 y = x x − + 2 y = 3x 0 y x=0 = 2 y = x y o x x=0是函数单调区间的分界点. 而 x=0不是函数单调区间的分界点
例1确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解f(x)=6x2-18x+12=6(x-1(x-2) 令∫(x)=0,得x=1,x=2 x(-∞,)1(1,2)2(2,+∞) f(x)+0-0+ f(x) 2 故f(x)的单调增区间为(-∞,12,+∞)27 f(x)的单调减区间为[1,2] 12x
例1 确定函数 ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 的单调区间. 解 ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 f (x) 的单调增区间为 ( , 1], − [2, ); + f (x) 的单调减区间为 [1 , 2]. 1 2 o x y 1 2
2.函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 注意:1)函数的极值是函数的局部性质 2)对常见函数,极值可能出现在驻点或导数 不存在的点 3)函数的最值是函数的全局性质 x1,x4为极大点 x2,xs为极小点 x3不是极值点 oax x2 x3 x4 x5 b
注意: 3 x 1 x 4 x2 x 5 a x x o b y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 1) 函数的极值是函数的局部性质. 3) 函数的最值是函数的全局性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点. 2. 函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点
定理1(取得极值的充分条件) 设函数f(x)在x0的某邻域内连续,且在空心邻域 内有导数,当x由小到大通过x0时 (1)f(x)“左正右负”,则f(x)在x取极大值 (2)f(x)“左负右正”,则f(x)在x0取极小值; (证明略) 例如,容易验证=0是y=x2,x∈(-∞,+∞)的极小 值点 而x=0不是y=x3,x∈(-∞,+∞)的极值点
定理 1 (取得极值的充分条件) ( ) , 设函数 f x 在x0的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则f x 在x0 取极小值 ( ) . 则f x 在x0 取极大值 (证明略) 例如, 2 y x x = − + , ( , ) 3 而 y x x = − + , ( , ) 容易验证x=0是 的极小 值点. x=0不是 的极值点
例3求函数f(x)=(x-1)x3的极值 解1)求导数f(x)=x3+(x-1)x5+3 2)求极值可疑点 3 令f()=0,得x=2:令f(x)=∞,得x2=0 5 3)列表判别 x|(∞0)003)3(3,+ ● f(x)+ f(x) 0 0.33 x=0是极大值点,极大值为f(0)=0 x=2是极小值点,极小值为f(3)=-0.33
例3 求函数 3 2 f (x) = (x −1)x 的极值 . 解 1) 求导数 2 3 f x x ( ) = + 1 3 2 ( 1) 3 x x − − 3 2 5 5 3 x x − = 2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 1 2 ; 5 x = 令 f (x) = , 得 0 x2 = 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 + x = 0 是极大值点， 极大值为 f (0) = 0 是极小值点， 极小值为 5 2 x = ( ) 0.33 5 2 f = −
3.曲线的凹凸与拐点 定义称曲线弧PQ是叫(或凸) 的,若其上每一点都有切线,且切点 附近曲线总在切线的上方(或下方) 这时也称曲线弧PQ为四弧(或凸弧), 相应的函数称为凹(或凸)函数.连续曲线上凹弧与 凸弧的分界点称为拐点 定理2(四凸判定法)设函数f(x)在区间上有 二阶导数,则 (1)在内f(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的; (2)在内/"(x)<0,则f(x)在/内图形是凸的
定义 3. 曲线的凹凸与拐点 PQ PQ 称曲线弧 是凹 凸弧的分界点 都有切线，且切点 这时也称曲线弧 为凹弧 称为拐点． 定理2 (凹凸判定法) f (x) (1) 在 I 内 f (x) 0, 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 f (x) 0,则 f (x)在 I 内图形是凸的 . + − 设函数 在区间I 上有 O y x P Q 的,若其上每一点 附近曲线总在切线的上方 相应的函数 称为凹 二阶导数, 则 （或凸） （或下方）． （或凸弧）, （或凸）函数. 连续曲线上凹弧与
例4判断曲线y=x的凹凸性 解y=4x3,y”=12x2 当x≠0时,y”>0;x=0时,y”=0 故曲线y=x在(-∞,+∞)上是凹的 说明: 1)若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变 号,则曲线的凹凸性不变 2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法 如下: 若曲线y=f(x)在点x连续f(x0)=0或不存在, 但∫"(x)在x0两侧异号,则点(x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的一个拐点
例4 判断曲线 4 y = x 的凹凸性. 解 4 , 3 y = x 2 y =12x 当x 0时，y 0; x = 0时, y = 0, 故曲线 4 y = x 在 (−, + ) 上是凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法 若曲线 y = f (x) , 在点x0 连续 f (x0 ) = 0 或不存在, 但 f (x) 在 两侧异号, 0 x 则点( , ( )) 0 0 x f x 是曲线 y = f (x)的一个拐点. 号, 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变 x y o 如下:
例5求曲线y=3x的拐点 解y=x3,y x(-=0,0)0(0,+∞) 不存在 y凹 凸 因此点(0,0)为曲线y=3x的拐点
例5 求曲线 3 y = x 的拐点. 解 , 3 2 3 1 − y = x 3 5 9 2 − y = − x x y y (−,0) 0 (0,+ ) 不存在 0 + − 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 3 y = x 的拐点 . 凹 凸