第2章 §2.4隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§2.4 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数 第2章 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
1.隐函数的导数 若由方程F(x,y)=0可确定是x的函数,则称此 函数为隐函数 由y=f(x)表示的函数,称为显函数 例如,x-y3-1=0可确定显函数y=31-x y3+2y-x-3x7=0可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法:F(x,y)=0 两边对x求导 F(x,y)=0(含导数y的方程) dx
3 y = 1− x 1. 隐函数的导数 若由方程 F(x, y) = 0 可确定 y 是 x 的函数 , 由 y = f (x) 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 1 0 3 x − y − = 可确定显函数 2 3 0 5 7 y + y − x − x = 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: F(x, y) = 0 ( , ) 0 d d F x y = x 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程)
例1求由方程y32+2y-x-3x7=0确定的隐函数 d y=y(x)在x=0处的导数 dxx=0 解方程两边对x求导 d5 dx(y3+2y-x-3x)=0 d 得 4d y 5y d +2-1-21x0=0 X dx :①1+21x6 dx 5 4 y+2 因x=0时y=0,故 dx x=0 2
例1 求由方程 2 3 0 5 7 y + y − x − x = y = y(x) 在 x = 0 处的导数 . d 0 d x x = y 解 方程两边对 x 求导 ( + 2 − − 3 ) = d d 5 7 y y x x x 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 −1 6 − 21x = 0 5 2 1 21 d d 4 6 + + = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 2 1 d 0 d = x x = y 确定的隐函数
例2求椭圆x3 16+。=1在点(23)处的切线方程 解椭圆方程兩边对x求导 x 2 +=yy=0 89 =316y/=2÷-13 9 x …∴yx=2= 4 故切线方程为y-3=-(x-2) 2 4 即 3x+4y-83=0
例2 求椭圆 1 16 9 2 2 + = x y 在点 ( 2 , 3 ) 2 3 处的切线方程. 解 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y y 9 2 = 0 y 2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即 3x + 4y −8 3 = 0
例3求y=x5x(x>0)的导数 解两边取对数,化为隐式 In y=sin x Inx 两边对x求导 sInx y=cosx·lnx+ X sIn x V=x (cosx·lnx+ x 这种先在函数y=f(x)两边取对数,然后利用隐函 数求导法求出的导数的方法称之为对数求导法
例3 求 ( 0) sin y = x x x 的导数 . 解 两边取对数 , 化为隐式 ln y = sin x ln x 两边对 x 求导 y y 1 = cos x ln x x sin x + ) sin (cos ln sin x x y x x x x = + 这种先在函数y=f(x)两边取对数, 然后利用隐函 数求导法求出y的导数的方法称之为对数求导法
说明: 1)对幂指函数y=可用对数求导法求导: In y=vInu y=vInu+ y=l(vlnw≠p 注意: y=u Inu. v+v_\u 按指数函数求导公式按幂函数求导公式
1) 对幂指函数 v y = u 可用对数求导法求导 : ln y = v lnu y y 1 = v lnu u u v + ( ln ) u u v y u v u v = + y u u v v = ln vu u v + −1 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意:
2)有些显函数用对数求导法求导很方便 albx b 刚如,y=b)x a (a>0,b>0,≠1) b 两边取对数 In y=xIn +a[Inb-Inx+bllnx-Ina] b 两边对x求导 y=/q)× a =In y b X O aa n b八(x)(a b X
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, ( 0 , 0 , 1) = b a a b a x x b b a y x a b 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 = y y b a ln x a − x b + = x a b a x x b b a y b a ln x a − x b + + b a x ln a[lnb − ln x ]+b[ln x − ln a]
2.由参数方程确定的函数的导数 若参数方程x=0() y=()可确定一个y与x之间的函数 关系,9(),v()可导,且[o()2+[v()]2≠0,则 (t)≠0时,有 dy dy dt dy 1 *注 x dt dx dt dx '(t) V(t)≠0时,有 d t dxdx dt dx 1 o'( dy dt dy dt dy y'(t dt (此时看成x是y的函数)
2. 由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 可确定一个 y 与 x 之间的函数 (t),(t) 可导, 且 [ ( )] [ ( )] 0 , 2 2 t + t 则 (t) 0 时, 有 = x y d d x t t y d d d d d 1 d d d y t x t = 注 ( ) ( ) t t = (t) 0 时, 有 = y x d d y t t x d d d d t t y x d d 1 d d = ( ) ( ) t t = (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系
※注 设y=f(x)是x=f(y)的反函数,厂(y) 在y的某邻城内单调可导,且[f(y)≠0 f(x)=1 或dy= I OJ d x x d y
f (x) = ※注 在y 的某邻域内单调可导, y f x = ( ) 1 f y( ) − [ ( )] 0 1 − 且 f y d d = x y 或 y x d d 1 [ ( )] 1 − f y 1 设 是 1 x f y( ) − = 的反函数
x=11t 例5抛射体运动轨迹的参数方程为 2 y=v2t-2gt 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向 解先求速度大小 速度的水平分量为=m1,垂直分量为=n2-g d t d t 故抛射体速度大小 ax dy 2 2 + d t d t +(v2-8 再求速度方向(即轨迹的切线方向:p 设a为切线倾角,则 dy d tand= d t dx v2-gt dx dt v,o xX
例5 抛射体运动轨迹的参数方程为 1 x = v t 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解 先求速度大小: 速度的水平分量为 , d d 1 v t x = 垂直分量为 , d d 2 v gt t y = − 故抛射体速度大小 2 2 ) d d ) ( d d ( t y t x v = + 2 2 2 1 = v + (v − gt) 再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角, tan = = x y d d t y d d t x d d 1 2 v v − gt = 则 y o x 2 2 1 2 y = v t − g t